数学第十五章 四边形综合与测试综合训练题

京改版八年级数学下册第十五章四边形专项练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列图形中，是中心对称图形的是（   ）

A． B． C． D．

2、下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ）

A．1：2：3：4 B．1：4：2：3

C．1：2：2：1 D．3：2：3：2

3、四边形的内角和与外角和的数量关系，正确的是（　　）

A．内角和比外角和大180° B．外角和比内角和大180°

C．内角和比外角和大360° D．内角和与外角和相等

4、若一个直角三角形的周长为，斜边上的中线长为1，则此直角三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．

5、下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

6、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

7、垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（       ）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

8、已知正多边形的一个外角等于45°，则该正多边形的内角和为（　　）

A．135° B．360° C．1080° D．1440°

9、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若D为斜边AB上的中点，AB的长为10，则DC的长为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

10、如图，在中，，，AD平分，E是AD中点，若，则CE的长为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、能使平行四边形ABCD为正方形的条件是___________(填上一个符合题目要求的条件即可)．

2、一个正多边形的内角和为540°，则它的一个外角等于 ______．

3、在矩形ABCD中，点E在AD边上，△BCE是以BE为一腰的等腰三角形，若AB＝4，BC＝5，则线段DE的长为 _____．

4、如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是 _____．

5、正五边形的一个内角与一个外角的比______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．

（1）请在下面①②③三个网格图中分别涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形（3个图形中所涂三角形不同）；

（2）在④⑤两个网格图中分别涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形（2个图形中所涂三角形不同）．

2、在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是     ，BC与CE的位置关系是     ；

（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；

（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出APE的面积．

3、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E恰是CD的中点．

求证：（1）△ADE≌△FCE；

（2）BE⊥AF．

4、如图1，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点G在CD上，且DG＝5，点P从点B出发，以1单位每秒的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x秒．

（1）△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求y＝34时x的值；

（2）在点P从B向C运动的过程中，是否存在使AP⊥GP的时刻？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，M，N分别是AP、PG的中点，在点P从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形是什么形状　   　，并直接写出它的面积　   　．

5、如图，在正方形ABCD中，DF＝AE，AE与DF相交于点O．

（1）求证：△DAF≌△ABE；

（2）求∠AOD的度数．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【详解】

选项、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2、D

【分析】

两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．

【详解】

解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．

故选：D．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．

3、D

【分析】

直接利用多边形内角和定理分别分析得出答案．

【详解】

解：A．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；

B．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；

C．六四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；

D．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述正确．

故选：D．

【点睛】

本题考查了四边形内角和和外角和，解题关键是熟记四边形内角和与外角和都是360°．

4、B

【分析】

根据直角三角形斜边上中线的性质，可得斜边为2，然后利用两直角边之间的关系以及勾股定理求出两直角边之积，从而确定面积．

【详解】

解：根据直角三角形斜边上中线的性质可知，斜边上的中线等于斜边的一半，得AC=2BD=2．

∵一个直角三角形的周长为3+，

∴AB+BC=3+-2=1+．

等式两边平方得（AB+BC）2= (1+) 2，

即AB2+BC2+2AB•BC=4+2，

∵AB2+BC2=AC2=4，

∴2AB•BC=2，AB•BC=，

即三角形的面积为×AB•BC=．

故选：B．

【点睛】

本题考查直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，巧妙求出AC•BC的值是解此题的关键，值得学习应用．

5、A

【分析】

中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义，可知A选项的图形为中心对称图形，

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．

6、D

【详解】

解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
 

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

7、C

【分析】

从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．

【详解】

解：正三角形每个内角是60°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；

正方形每个内角是90°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；

正五边形每个内角是108°，不能被360°整除，所以不能单独镶嵌成一个平面；

正六边形每个内角是120°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面．

故只购买一种瓷砖进行平铺，有3种方式．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了平面镶嵌．解这类题，根据组成平面镶嵌的条件，逐个排除求解．

8、C

【分析】

先利用正多边形的每一个外角为 求解正多边形的边数，再利用正多边形的内角和公式可得答案.

【详解】

解： 正多边形的一个外角等于45°，

这个正多边形的边数为：

这个多边形的内角和为：

故选C

【点睛】

本题考查的是正多边形内角和与外角和的综合，熟练的利用正多边形的外角的度数求解正多边形的边数是解本题的关键.

9、A

【分析】

利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案．

【详解】

解：∵∠C=90°，若D为斜边AB上的中点，
∴CD=AB，
∵AB的长为10，
∴DC=5，
故选：A．

【点睛】

此题主要考查了直角三角形斜边的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

10、B

【分析】

根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义∠DAB=∠B，求出AD，根据直角三角形的性质解答即可．

【详解】

解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=90°-30°=60°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAB=∠BAC=30°，

∴∠DAB=∠B，

∴AD=BD=a，

在Rt△ACB中，E是AD中点，

∴CE=AD=，

故选： B．

【点睛】

本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．

二、填空题

1、AC=BD且AC⊥BD（答案不唯一）

【分析】

根据正方形的判定定理，即可求解．

【详解】

解：当AC=BD时，平行四边形ABCD为菱形，

又由AC⊥BD，可得菱形ABCD为正方形，

所以当AC=BD且AC⊥BD时，平行四边形ABCD为正方形．

故答案为：AC=BD且AC⊥BD（答案不唯一）

【点睛】

本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．

2、72°

【分析】

根据题意求得正多边形的边数，进而求得答案

【详解】

解：∵一个正多边形的内角和为540°，即

∴

由

故答案为：

【点睛】

本题考查了正多边形的内角和和外角和公式，根据内角和公式求得边数是解题的关键．

3、2.5或2．

【分析】

需要分类讨论：①BE1＝E1C，此时点E1是BC的中垂线与AD的交点；②BE＝BC，在直角△ABE中，利用勾股定理求得AE的长度，然后求得DE的长度即可．

【详解】

解：①当BE1＝E1C时，点E1是BC的中垂线与AD的交点，；

②当BC＝BE＝5时，在直角△ABE中，AB＝4，则，

∴．

综上所述，线段DE的长为2.5或2．

故答案是：2.5或2．

【点睛】

本题考查矩形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，在此题中，没有确定等腰三角形的底边，所以需要分类讨论，以防漏解．

4、10

【分析】

根据正方形的性质，结合题意易求证，，，即可利用“ASA”证明，得出．最后根据勾股定理可求出，即正方形的面积为10．

【详解】

∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

∴．

根据题意可知：，，

∴，，

∴在和中，，

∴，

∴．

∵在中，，

∴正方形ABCD的面积是10．

故答案为：10．

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．

5、

【分析】

根据公式分别求出一个内角与一个外角的度数，即可得到答案．

【详解】

解：正五边形的一个内角的度数为，正五边形的一个外角的度数为，

∴正五边形的一个内角与一个外角的比为，

故答案为：．

【点睛】

此题考查了正五边形的内角度数及外角度数，熟记多边形的内角和与外角和公式是解题的关键．

三、解答题

1、（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；

（2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案．

【详解】

解：（1）如图所示：①②③都是轴对称图形；

（2）如图所示：④⑤都是中心对称图形．

．

【点睛】

此题主要考查了利用轴对称设计图案、利用旋转设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．

2、（1）BP＝CE，CE⊥BC；（2）仍然成立，见解析；（3）31

【分析】

（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；

（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP≌△CAE即可；

（3）分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE＝90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．

【详解】

解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°；

∵△APE是等边三角形，

∴AP＝AE，∠PAE＝60°，

∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，

∴△BAP≌△CAE（SAS），

∴BP＝CE；

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABP＝∠ABC＝30°，

∴∠ABP＝∠ACE＝30°，

∵∠ACB＝60°，

∴∠BCE＝60°+30°＝90°，

∴CE⊥BC；

故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；

（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：

如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，

∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，

∴△ABC和△ACD都是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，

∵△APE是等边三角形，

∴AP＝AE，∠PAE＝60°，

∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，

∴∠BAP＝∠CAE，

∴△ABP≌△ACE（SAS），

∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，

∴∠DCE＝30°，

∵∠ADC＝60°，

∴∠DCE+∠ADC＝90°，

∴∠CHD＝90°，

∴CE⊥AD；

∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立；

（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD   BD平分∠ABC，

∵∠ABC＝60°，AB＝2，

∴∠ABO＝30°，

∴AO＝AB＝，OB＝AO＝3，

∴BD＝6，

由（2）知CE⊥AD，

∵AD∥BC，

∴CE⊥BC，

∵BE＝2，BC＝AB＝2，

∴CE＝＝8，

由（2）知BP＝CE＝8，

∴DP＝2，

∴OP＝5，

∴AP＝＝＝2，

∵△APE是等边三角形，

∴S△AEP＝×（2）2＝7，

如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP＝＝＝2，

∴S△AEP＝×（2）2＝31，

【点睛】

此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．

3、（1）见解析；（2）见解析．

【分析】

（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠D＝∠ECF，则可证明△ADE≌△FCE（ASA）；

（2）由平行四边形的性质证出AB＝BF，由全等三角形的性质得出AE＝FE，由等腰三角形的性质可得出结论．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠D＝∠ECF，

∵E为CD的中点，

∴ED＝EC，

在△ADE和△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（ASA）；

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝CD，AD∥BC，

∴∠FAD＝∠AFB，

又∵AF平分∠BAD，

∴∠FAD＝∠FAB．

∴∠AFB＝∠FAB．

∴AB＝BF，

∵△ADE≌△FCE，

∴AE＝FE，

∴BE⊥AF．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．

4、（1）y=-2.5x+54，x=8；（2）存在，x=6；（3）平行四边形；15．

【分析】

（1）PB=x，PC=12-x，然后依据△APG的面积=矩形的面积-三个直角三角形的面积可得到y与x的函数关系式，然后将y=34代入函数关系式可求得x的值；

（2）先依据勾股定理求得PA、PG、AG的长，然后依据勾股定理的逆定理列出关于x的方程，从而可求得x的值；

（3）确定出点P分别与点B和点C重合时，点M、N的位置，然后依据三角形的中位线定理可证明M1M2∥N1N2，N1N2=M1M2，从而可判断出MN扫过区域的形状，然后依据平行四边形的面积公式求解即可．

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴DC=AB=9，AD=BC=12．

∵DG=5，

∴GC=4．

∵PB=x，PC=12-x，

∴y=9×12-×9×x-×4×(12-x)-×5×12，整理得：y=-2.5x+54．

当y=34时，-2.5x+54=34，解得x=8；

（2）存在．

∵PB=x，PC=12-x，AD=12，DG=5，

∴PA2=AB2+BP2=81+x2，PG2=PC2+GC2=(12-x)2+16，AG2=AD2+DG2=169．

∵当AG2=AP2+PG2时，AP⊥PG，

∴81+x2+(12-x)2+16=169，整理得：x2-12x+36=0，配方得：(x-6)2=0，

解得：x=6；

（3）如图所示：

∵当点P与点B重合时，点M位于M1处，点N位于点N1处，

∴M1为AB的中点，点N1位GB的中点．

∵当点P与点C重合时，点M位于M2处，点N位于点N2处，

∴M2为AC的中点，点N2位CG的中点．

∴M1M2∥BC，M1M2=BC，N1N2∥BC，N1N2=BC．

∴M1M2∥N1N2，N1N2=M1M2．

∴四边形M1M2N2N1为平行四边形．

∴MN扫过的区域为平行四边形．

S=BC•(AB-CG)=6×2.5=15，

故答案为：平行四边形；15．

【点睛】

本题主要考查了列函数关系式、三角形的面积公式、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用，画出MN扫过的图形是解题的关键．

5、（1）见解析；（2）90°

【分析】

（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，再证明Rt△DAF≌Rt△ABE即可得出结论；
（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠BAE+∠DFA=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，

在Rt△DAF和Rt△ABE中，

，

∴Rt△DAF≌Rt△ABE（HL），即△DAF≌△ABE．

（2）解：由（1）知，△DAF≌△ABE，

∴∠ADF＝∠BAE，

∵∠ADF+∠DFA＝∠BAE+∠DFA＝∠DAB＝90°，

∴∠AOD＝180°﹣（∠BAE+∠DFA）＝90°．

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出Rt△DAF≌Rt△ABE是解本题的关键．