高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习35《计数原理、排列组合、二项式定理》 (教师版)

刷题增分练 35　计数原理、排列组合、二项式定理

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一、选择题

1．用两个1，一个2，一个0，可组成不同四位数的个数是(　　)

A．18　　 B．16

C．12     D．9

答案：D

解析：当1在最高位时，可以组成的四位数的个数是A＝6；当2在最高位时，可以组成的四位数的个数为C＝3，故可以组成不同的四位数的个数为9.故选D.

2．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有(　　)

A．10种  B．25种

C．52种  D．24种

答案：D

解析：每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．

3．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为(　　)

A．6   B．12

C．18  D．19

答案：D

解析：通解　在物理、政治、历史中选一科的选法有CC＝9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有CC＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种．所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19(种)，故选D.

优解　从六科中选考三科的选法有C种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C－1＝19(种)，故选D.

4．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有(　　)

A．250个  B．249个

C．48个   D．24个

答案：C

解析：①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.

5．9的展开式中x3的系数为(　　)

A．－     B．－

C.         D.

答案：A

解析：二项展开式的通项Tr＋1＝Cx9－rr＝rCx9－2r，令9－2r＝3，得r＝3，展开式中x3的系数为3C＝－×＝－，选A.

6．(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为(　　)

A．－10  B．－5

C．5  D．10

答案：B

解析：(x＋y)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x5－r·yr，令5－r＝1，得r＝4，令5－r＝2，得r＝3，

∴(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为C×1＋(－1)×C＝－5.故选B.

7．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(　　)

A．－180   B．180

C．45      D．－45

答案：B

解析：令t＝1－x，则x＝1－t，所以有(2－t)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a10t10，则Tr＋1＝C210－r(－t)r＝C210－r(－1)rtr，令r＝8，则a8＝C×22＝180.

8．在二项式n的展开式中第5项是二项式系数最大的唯一项，则展开式中含有x2项的系数是(　　)

A．35        B．－35

C．－56      D．56

答案：C

解析：∵在二项式n的展开式中第5项是二项式系数最大的唯一项，

∴展开式中第5项是正中间项，展开式共有9项．

∴n＝8，展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－rr＝(－1)rCx8－2r，

令8－2r＝2，得r＝3，

∴展开式中含x2项的系数是(－1)3C＝－56.故选C.

二、非选择题

9．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)

答案：16

解析：解法一　按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C2C4种，有2位女生参加有C2C4种．故共有C2C4＋C2C4＝2×6＋4＝16(种)．

解法二　间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C6种情况，没有女生参加的情况有C4种，故共有C6－C4＝20－4＝16(种)．

10．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有4种颜色可供选择，则共有________种不同的染色方案．

答案：96

解析：先染A，B，C有A种方案，若A，F不相同，则F，E，D唯一；若A，F相同，讨论E，C，若E，C相同，D有2种，则有A×1×2种，若E，C不相同，D有1种，则有A×1×1种方案．所以一共有A＋A×1×2＋A×1×1＝96种方案．

11．设(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值为________．

答案：－1

解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.

12．多项式n展开式中所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项为________．

答案：141

解析：令x＝1可得展开式中所有项的系数之和为2n＝64，故n＝6，则n＝6＝C6＋C5＋…＋C，常数项为C·C(－2)3＋C·C(－2)2＋C·C×(－2)＋C＝141.

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一、选择题

1．5的展开式中x4的系数为(　　)

A．10  B．20

C．40  D．80

答案：C

解析：5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C5·(x2)5－r·r＝C5·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C5·22＝40.故选C.

2．(x＋2y)5的展开式中含x3y2项的系数为(　　)

A．5     B．10

C．20    D．40

答案：D

解析：(x＋2y)5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r(2y)r，所以含x3y2项的系数即r＝2时的系数，即C×22＝40.

3．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每一级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数为(　　)

A．336  B．84

C．343  D．210

答案：A

解析：由题意知需要分2类解决，(1)若每一个台阶上只站1人，站法有A＝210(种)；(2)若1个台阶有2人，另1个台阶有1人，站法有CA＝126(种)．根据分类加法计数原理可得，不同的站法种数为210＋126＝336.

4．将“福”、“禄”、“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有(　　)

A．288种  B．144种

C．576种  D．96种

答案：C

解析：依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)任意的两个汉字既不同行也不同列，第二汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法．根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种)．

5．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则n的值为(　　)

A．4  B．6

C．8  D．10

答案：A

解析：各项系数之和M＝4n，二项式系数之和N＝2n，所以M－N＝240＝4n－2n，解得n＝4.

6.7的展开式中不含x的项的系数之和为(　　)

A．－CC43－47  B．－CC43＋47

C．－47          D．47

答案：A

解析：7＝7的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·7－r·(－4y)r，7－r的展开式的通项公式为Mk＋1＝C·x，0≤k≤7－r,0≤r≤7，k，r均为整数，令7－r＝，解得k＝0，r＝7或k＝3，r＝3，则不含x的项的系数之和为(－4)7＋CC(－4)3＝－CC43－47.

7．某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(　　)

A．120种  B．156种

C．188种  D．240种

答案：A

解析：解法一　记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别有AA，AA，CAA，CAA，CAA种，故总编排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120种．故选A.

解法二　记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48种方案；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36种方案；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36种方案，所以编排方案共有48＋36＋36＝120种方案．故选A.

8．如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　)

A．400种  B．460种

C．480种  D．496种

答案：C

解析：完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360(种)方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120(种)方法．由分类加法计数原理可知：不同涂法有360＋120＝480(种)．

二、非选择题

9．若n的展开式的各个二项式系数的和为256，则n的展开式中的常数项为________．

答案：70

解析：依题意得2n＝256，解得n＝8，所以Tr＋1＝C8－r·(－x)r＝(－1)rCx2r－8，

令2r－8＝0，则r＝4，所以T5＝(－1)4C＝70，所以n的展开式中的常数项为70.

10．若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中至多有1门相同的选法种数为________．

答案：200

解析：根据题意，分两种情况讨论：①甲、乙所选的课程全不相同，有CC＝20种选法；②甲、乙所选的课程有1门相同，有CCC＝180种选法．

∴甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有20＋180＝200种．

11．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．

(1)选5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排成一排，女生必须站在一起；

(5)全体排成一排，男生互不相邻．

解析：(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．

(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5 040(种)．

(3)解法一　(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种)．

解法二　(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种)．

(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种)．

(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种)．