高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习33《抛物线的定义、标准方程及性质》 (教师版)

刷题增分练 33　抛物线的定义、标准方程及性质

刷题增分练        小题基础练提分快

一、选择题

1．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　)

A．y2＝12x      B．y2＝－12x

C．x2＝－12y    D．x2＝12y

答案：D

解析：由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.

2．抛物线x＝4y2的准线方程为(　　)

A．y＝       B．y＝－1

C．x＝－    D．x＝

答案：C

解析：将x＝4y2化为标准形式为y2＝x，所以2p＝，p＝，开口向右，所以抛物线的准线方程为x＝－.

3．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)

A．y2＝－x            B．x2＝－8y

C．y2＝－8x或x2＝－y  D．y2＝－x或x2＝－8y

答案：D

解析：设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.故选D.

4．抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为(　　)

A．2      B．1

C．2        D．3

答案：A

解析：根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.根据抛物线定义，得yP＋1＝3，解得yP＝2，代入抛物线方程求得xP＝±2，∴点P到y轴的距离为2.故选A.

5．已知双曲线－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为1，则p的值为(　　)

A．1        B.

C．2      D．4

答案：B

解析：双曲线－x2＝1的渐近线y＝±2x与抛物线y2＝2px的准线x＝－的交点分别为A，B，则|AB|＝2p，△AOB的面积为×2p×＝1，p>0，解得p＝.

6．已知点Q(0,2)及抛物线y2＝4x上一动点P(x，y)，则x＋|PQ|的最小值为(　　)

A．4         B．2

C．6         D.

答案：B

解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，则由抛物线的定义得其准线方程为x＝－1.设d为点P(x，y)到准线的距离．

∴x＋|PQ|＝d－1＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1，

∴x＋|PQ|的最小值是|QF|－1.

∵点Q(0,2)，∴|QF|＝3.

∴x＋|PQ|的最小值是|QF|－1＝3－1＝2.故选B.

7．直线x－y＋1＝0与抛物线y2＝2px的对称轴及准线相交于同一点，则该直线与抛物线的交点的横坐标为(　　)

A．－1      B．1     C．2        D．3

答案：B

解析：由题意可得，直线x－y＋1＝0与抛物线y2＝2px的对称轴及准线交点的坐标为，代入x－y＋1＝0，得－＋1＝0，即p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x.将y2＝4x与直线方程x－y＋1＝0联立可得交点的坐标为(1,2)．故选B.

8．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．如果x1＋x2＝6, 那么|AB|＝(　　)

A．6  B．8    C．9  D．10

答案：B

解析：由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.

∵ 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，

B(x2，y2)两点，∴|AB|＝x1＋x2＋2.又∵x1＋x2＝6，

∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8.故选B.

二、非选择题

9．抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点到直线y＝2的距离为5，则p＝________.

答案：6

解析：由题意得2＋＝5，∴p＝6.

10．已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点．若|AB|＝，则抛物线C2的方程为________．

答案：y2＝x

解析：由题意得圆C1与抛物线C2的其中一个交点B为原点，设A(x，y)，圆C1的圆心为C(0,2)．

∵|AB|＝，∴sin∠BCA＝＝，cos∠BCA＝.

∴y＝|AB|sin∠BCA＝×＝，x＝|AB|·cos∠BCA＝×＝，∴点A的坐标为.∵点A在抛物线C2上，∴2p×＝2，解得p＝，

∴抛物线C2的方程为y2＝x.

11．已知焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上一点A(m，2)，若以A为圆心，|AF|为半径的圆A被y轴截得的弦长为2，则m＝________.

答案：2

解析：因为圆A被y轴截得的弦长为2，所以＝|AF|＝m＋　①，

又A(m,2)在抛物线上，故8＝2pm　②

由①与②可得p＝2，m＝2.

12．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则的最小值是________．

答案：

解析：根据抛物线的定义，可求得|PF|＝x＋1，又|PA|＝，

所以＝　①.

因为y2＝4x，令＝t，则①式可化简为，其中t∈(0,2]，即可求得的最小值为，所以的最小值为.

刷题课时增分练        综合提能力　课时练　赢高分

一、选择题

1．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为(　　)

A．y2＝4x　　　　　 B．y2＝36x

C．y2＝4x或y2＝36x  D．y2＝8x或y2＝32x

答案：C

解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则P(x0，±6)．因为P到抛物线的焦点F的距离为10，所以由抛物线的定义得x0＋＝10　①.因为P在抛物线上，所以36＝2px0　②.由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，则抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.

2．已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P(x，y)在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝(　　)

A.          B.          C.         D.

答案：C

解析：由y＝2x2，得x2＝，则p＝.

由x＝1得y＝2.由抛物线的性质，得|PF|＝2＋＝2＋＝.故选C.

3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，P是抛物线上一点，若|PF|＝5，则△PKF的面积为(　　)

A．4  B．5

C．8  D．10

答案：A

解析：通解　由抛物线y2＝4x，知＝1，则焦点F(1,0)．设点P，则由|PF|＝5，得 ＝5，解得y0＝±4，所以S△PKF＝×p×|y0|＝×2×4＝4，故选A.

优解　由题意知抛物线的准线方程为x＝－1.过点P作PA⊥l于点A，由抛物线的定义知|PF|＝xp＋＝xp＋1＝5，所以xp＝4，代入抛物线y2＝4x，得yp＝±4，所以S△PKF＝×p×|yp|＝×2×4＝4，故选A.

4．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为(　　)

A．±     B．±       C．±1      D．±

答案：D

解析：设M(x，y)，由题意知F，由抛物线的定义，可知x＋＝2p，故x＝，由y2＝2p×，知y＝±p.当M时，kMF＝＝，

当M时，kMF＝＝－，故kMF＝±.故选D.

5．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)

A．5     B．6

C．7     D．8

答案：D

解析：由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，

联立直线与抛物线的方程，得解得或

不妨设M为(1,2)，N为(4,4)．

又∵抛物线焦点为F(1,0)，∴＝(0,2)，＝(3,4)．

∴·＝0×3＋2×4＝8.

故选D.

6．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为准线上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为(　　)

A.      B.      C.     D．3

答案：C

解析：如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)，因为∠MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|＝|EF|＝|EN|，又E在抛物线C上，所以EN⊥准线x＝－1，E，所以N(－1，)，M(0,2)，所以|NF|＝，|NM|＝，所以△MNF的面积为，故选C.

7．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2,3)，M在抛物线C上．若点N(1,2)，则|MN|＋|MF|的最小值为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

答案：B

解析：由题意得l：x＝－2，抛物线C：y2＝8x.过点M作MM′⊥l，垂足为点M′，过点N作NN′⊥l，垂足为点N′.由抛物线的几何性质，得|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MM′|≥|NN′|＝3.∴当点M为直线NN′与抛物线C的交点时，|MN|＋|MF|取得最小值3.故选B.

8．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)

A．5      B．6    C.      D.

答案：C

解析：

解法一　如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，解得y1＝2，所以A(3,2)，又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得，3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.

解法二　如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.

解法三　如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.故选C.

二、非选择题

9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为________．

答案：±4

解析：由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．由定义知P到准线的距离为4，故＋2＝4，即p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y，代入点P的坐标得m＝±4.

10．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．

答案：

解析：

解法一　如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，所以切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝.

解法二　由y＝－x2，得y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝，所以m＝，即切点T，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是.

11．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且满足·＝－.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若点M在抛物线C的准线上运动，其纵坐标的取值范围是[－1,1]，且·＝9，点N是以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线的一个公共点，求点N的纵坐标的取值范围．

解析：(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，其焦点F的坐标为，直线l的方程为x＝ty＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去x得：y2－2pty－p2＝0，所以y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，x1x2＝×＝＝.因为·＝x1x2＋y1y2＝－＝－，解得p＝1，所以所求抛物线C的标准方程为y2＝2x.

(2)设点M，－1≤m≤1，由(1)知，x1x2＝，y1y2＝－1，y1＋y2＝2t，所以x1＋x2＝2t2＋1，因为·＝＋(y1－m)(y2－m)＝(t－m)2，所以(t－m)2＝9得t＝m＋3或t＝m－3，因为－1≤m≤1，∴2≤t≤4或－4≤t≤－2，由抛物线定义可知，以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，所以点N的纵坐标为＝t，所以点N的纵坐标的取值范围是[－4，－2]∪[2,4]．