高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习38《统计案例》 (教师版)

刷题增分练 38　统计案例

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一、选择题

1．一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1～50，为了了解他们的课外兴趣，要求每班编号为40的同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是(　　)

A．抽签法　　B．分层抽样

C．随机数法  D．系统抽样

答案：D

解析：根据系统抽样的定义知选D.

2．总体由编号为01,02,03，…，49,50的50个个体组成，利用随机数表(以下摘取了随机数表中第1行和第2行)选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为(　　)

66　67　40　67　14　64　05　71　95　86　11　05　64　09　68　76　83　20　37　90

57　16　00　11　66　14　90　84　45　11　75　73　88　05　90　52　27　41　14　86

A．05  B．09

C．11  D．20

答案：B

解析：从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，依次是14,05,11,09，则第四个数字是09，故选B.

3．某校高三年级有1 000名学生，随机编号为0001,0002，…，1 000.现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是(　　)

A．0927  B．0834

C．0726  D．0116

答案：A

解析：系统抽样就是等距抽样，被抽到的编号满足0122＋5k，k∈Z.因为0927＝0122＋5×161，故选A.

4．一组数据共有7个数，其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则这个数的所有可能值的和为(　　)

A．3       B．17

C．－11    D．9

答案：D

解析：设这个数是x，则平均数为，众数为2，若x≤2，则中位数为2，此时x＝－11，若2<x<4，则中位数为x，此时2x＝＋2，所以x＝3，若x≥4，则中位数为4，此时8＝＋2，所以x＝17，所以这个数的所有可能值的和为(－11)＋3＋17＝9.

5．某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别为(　　)

A．28,27,26  B．28,26,24

C．26,27,28  D．27,26,25

答案：A

解析：根据题意得用分层抽样在各层中的抽样比为＝.

则在高一年级抽取的人数是560×＝28，

在高二年级抽取的人数是540×＝27，

在高三年级抽取的人数是520×＝26.

故选A.

6．如表提供了某厂节能降耗改造后生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是(　　)

A.回归直线一定过点(4.5,3.5)

B．产品的生产能耗与产量成正相关

C．t的取值必定是3.15

D．A产品每多生产1吨，相应的生产能耗约增加0.7吨

答案：C

解析：由题意知，＝×(3＋4＋5＋6)＝＝4.5，则＝0.7×4.5＋0.35＝3.5，即回归直线一定过点(4.5,3.5)，故A正确；∵0.7>0，∴产品的生产能耗与产量成正相关，故B正确；∵＝×(2.5＋t＋4＋4.5)＝3.5，∴t＝3，故C错误；A产品每多生产1吨，相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确．故选C.

7．已知某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)具有线性相关关系，其统计数据如下表：

由上表可得线性回归方程＝x＋，据此模型预测广告费用为8万元时的销售额是(　　)

参考公式：＝＝，＝－.

A．59.5万元  B．52.5万元

C．56万元  D．63.5万元

答案：A

解析：由表可知＝4.5，＝35，所以计算得＝7，＝3.5，所以线性回归方程为＝7x＋3.5，所以广告费用为8万元时销售额的预测值为59.5万元，故选A.

8．某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均数为91，如图，该选手的7个得分的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则剩余5个得分的方差为(　　)

A.  B.  C．6  D．30

答案：C

解析：由茎叶图知，最低分为87分，最高分为99分．依题意得，×(87＋93＋90＋9×10＋x＋91)＝91，解得x＝4.则剩余5个得分的方差s2＝×[(87－91)2＋(93－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝×(16＋4＋1＋9)＝6.故选C.

二、非选择题

9．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．

答案：分层抽样

解析：因为客户数量大，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以最合适的抽样方法是分层抽样．

10．某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表：

由最小二乘法得到回归方程＝0.67x＋54.9，则a＝________.

答案：68

解析：计算可得，＝30，＝，所以＝0.67×30＋54.9，解得a＝68.

11．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有________辆．

答案：80

解析：时速在区间[40,60)内的汽车有200×(0.01＋0.03)×10＝80辆．

12．某班收集了50位同学的身高数据，每一个学生的性别与其身高是否高于或低于中位数的列联表如下：

为了检验性别是否与身高有关系，根据表中的数据，得到K2的观测值k＝≈4.84，因为K2≥3.841，所以在犯错误的概率不超过________的前提下认为性别与身高有关系．

答案：0.05

解析：由于K2的观测值k＝≈4.84，P(K2≥3.841)＝0.05，在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为性别与身高有关系．

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一、选择题

1．完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是(　　)

A．①简单随机抽样，②系统抽样

B．①分层抽样，②简单随机抽样

C．①系统抽样，②分层抽样

D．①②都用分层抽样

答案：B

解析：因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以①用分层抽样法；从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样法，故选B.

2．某班组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　)

A．45　　 B．50

C．55     D．60

答案：B

解析：由题图可知，数据落在[20,40)，[40,60)内的频率为(0.005＋0.010)×20＝0.3，∴该班的学生人数是＝50.

3．下面四个残差图中反映出回归模型的拟合精度较高的为(　　)

A．图①　　B．图②  C．图③　　D．图④

答案：A

解析：根据残差图显示的分布情况即可看出，图①显示的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度最窄，所以拟合精度较高，故选A.

4．某学校为了制订治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查．根据从中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表：

则认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”的把握约为(　　)

A．0.1%   B．0.5%

C．99.5%  D．99.9%

附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

答案：C

解析：因为K2＝≈8.333>7.879，所以约有99.5%的把握认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”．

5．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为(　　)

A．95,94  B．92,86

C．99,86  D．95,91

答案：B

解析：由茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故92为中位数，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.

6．下表是x，y的对应数据，由表中数据得线性回归方程为＝0.8x－.那么，当x＝60时，相应的为(　　)

A.38     B．43

C．48   D．52

答案：B

解析：由表中数据，得＝25，＝15.∵回归直线必过点(，)，∴15＝0.8×25－，解得＝5，∴线性回归方程为＝0.8x－5.

∴当x＝60时，相应的＝0.8×60－5＝43.

7.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如右图：

根据右图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中不正确的是(　　)

A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差

B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数

C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值

D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

答案：D

解析：根据茎叶图可知，甲运动员的13场比赛得分分别为19,18,18,26,21,20,35,33,32,30,47,41,40；乙运动员的13场比赛得分分别为17,17,19,19,22,25,26,27,29,29,30,32,33.对于A，极差是数据中最大值与最小值的差，由茎叶图中的数据可得甲运动员得分的极差为47－18＝29，乙运动员得分的极差为33－17＝16，故甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，因此A正确；对于B，甲运动员的得分从低到高依次为18,18,19,20,21,26,30,32,33,35,40,41,47，处于中间的数是30，所以甲运动员得分的中位数是30，同理得乙运动员得分的中位数是26，因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B正确；对于C，不难得出甲运动员得分的平均值约为29.2，乙运动员得分的平均值为25，因此甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值，故C正确；对于D，甲的方差s≈×[(19－29.2)2＋(18－29.2)2＋…＋(40－29.2)2]≈88.18，同理，得乙的方差s≈29.54，因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D不正确．故选D.

8．下列说法正确的个数为(　　)

①在回归分析中，可用指数系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好．

②在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好．

③在回归分析中，可用相关系数r的值判断模型的拟合效果，r越大，模型的拟合效果越好．

④在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．

A．1  B．2

C．3  D．4

答案：B

解析：用指数系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，故(1)正确；可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故(2)不正确；可用相关系数r的值判断两个变量的相关性，|r|越大，说明相关性越强，故(3)不正确；残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故(4)正确．综上可知有2个命题正确，故选B.

二、非选择题

9．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．

答案：37

解析：组距为5，(8－3)×5＋12＝37.

10．2017年2月20日，摩拜单车在某市推出“做文明骑士，周一摩拜单车免费骑”活动，为了解单车使用情况，记者随机抽取了五个投放区域，统计了半小时内被骑走的单车数量，绘制了如图所示的茎叶图，则该组数据的方差为________．

答案：4

解析：由茎叶图得，该组数据分别是87,89,90,91,93，平均数是＝90，故方差s2＝×(9＋1＋0＋1＋9)＝4.

11．下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

解析：(1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．

利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．

(2)利用模型②得到的预测值更可靠．

理由如下：

(i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．

(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．

(以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可)