高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习15《解三角形及应用》 (教师版)

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刷题增分练 15　解三角形及应用刷题增分练⑯    小题基础练提分快一、选择题1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)A．2      B．1       C.      D.答案：D解析：由正弦定理得b＝＝＝.2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)A.  B.       C.  D.答案：C解析：∵S＝absin C＝＝＝abcos C，∴ sin C＝cos C，即tan C＝1.∵ C∈(0，π)，∴ C＝.故选C.3．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝(　　)A．2  B.      C．2  D．2答案：D解析：由S＝absinC＝2a×＝2，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝2.4．已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinCsinA＝(　　)A．2：3  B．4：3      C．3：1  D．3：2答案：C解析：由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB,3sin(B＋C)＝sinC,3sinA＝sinC，所以sinC：sinA＝3：1.故选C.5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝2C,2bcosC－2ccosB＝a，则角A的大小为(　　)A.  B.       C.  D.答案：A解析：由正弦定理得2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴sinBcosC＝3sinCcosB，∴sin2CcosC＝3sinCcos2C，∴2cos2C＝3(cos2C－sin2C)，求得tan2C＝.∵B＝2C，∴C为锐角，∴tanC＝，∴C＝，B＝，A＝.故选A.6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积S＝，则C的大小是(　　)A．30°  B．90°     C．45°  D．135°答案：C解析：由题意及余弦定理得S＝＝＝absinC，故tanC＝1，而C∈(0，π)，因此C＝45°.故选C.7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝(　　)A．2        B．4－2       C．4＋2  D.－答案：A解析：在△ABC中，由a＝c知△ABC为等腰三角形，所以b＝2c·cosA＝2×(＋)×＝2.故选A.8．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)A．5 m  B．15 m     C．5 m  D．15 m答案：D解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，解得BC＝15(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15(m)．二、非选择题9．△ABC的周长等于2(sinA＋sinB＋sinC)，则其外接圆半径等于________．答案：1解析：设外接圆半径为R，已知2(sinA＋sinB＋sinC)＝a＋b＋c，得＝2①.根据正弦定理知a＋b＋c＝2RsinA＋2Rsinb＋2Rsinc，代入①式得2R＝2，即R＝1.10．若△ABC中，a＋b＝4，C＝30°，则△ABC面积的最大值是____________．答案：1解析：在△ABC中，∵C＝30°，a＋b＝4，∴△ABC的面积S＝ab·sinC＝ab·sin30°＝ab≤×2＝×4＝1，当且仅当a＝b＝2时取等号．因此△ABC面积的最大值是1.11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________.答案：解析：因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，整理得a2＋c2－b2＝－ac，所以＝－，即cosB＝－又B∈(0，π)，所以B＝.12．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝4，asinB＝bcosA，则△ABC面积的最大值是________．答案：4解析：由正弦定理可得sinAsinB＝sinBcosA，得sinA＝cosA，则tanA＝，所以在△ABC中，A＝.又a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，所以bc≤16(当且仅当b＝c时取等号)．所以S△ABC＝bcsinA≤×16×＝4，所以△ABC面积的最大值为4.  刷题课时增分练⑯             综合提能力　课时练　赢高分一、选择题1．△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，则sinB的值为(　　)A．－　　 B.        C.         D.答案：C解析：由正弦定理，得b2－a2＝ac，又c＝2a，所以b2＝2a2，所以cosB＝＝，所以sinB＝.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)A．直角三角形  B．等腰非等边三角形C．等边三角形  D．钝角三角形答案：C解析：∵＝，∴＝，∴b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝.∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2acosA＝bcosC＋ccosB，b＋c＝4，则a的最小值为(　　)A．2      B．2        C．3      D．2答案：A解析：由题意及正弦定理得2sinAcosA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sinA，故cosA＝，由余弦定理得cosA＝＝＝，所以a2＝16－3bc≥16－3×2＝4(当且仅当b＝c＝2时，等号成立)，所以a的最小值为2.故选A.4．在△ABC中，b＝5，B＝，tanA＝2，则a的值是(　　)A．10  B．2      C.     D.答案：B解析：∵在△ABC中，tanA＝＝2，sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝.由b＝5，B＝及正弦定理可得＝，解得a＝2.故选B.5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆的面积为(　　)A．4π  B．8πC．9π  D．36π答案：C解析：因为bcosA＋acosB＝2，所以由余弦定理可得，b×＋a×＝2，整理解得c＝2，又cosC＝，可得sinC＝＝.设△ABC的外接圆的半径为R，则2R＝＝6，所以R＝3，所以△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝9π.6．已知△ABC的一个内角为120°，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝b＋4，c＝b－4，则△ABC中最小角的余弦值为(　　)A.   B.      C.  D.答案：C解析：因为a＝b＋4，且c＝b－4，所以A>B>C，则A＝120°，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b×(b－4)×，得b＝10，所以a＝14，c＝6，cosC＝＝，故选C.7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝5，B＝，cosA＝，则△ABC的面积S＝(　　)A.    B．10         C．10  D．20答案：C解析：由cosA＝得sinA＝，由正弦定理得＝⇒b＝7，又sinC＝sin(A＋B)＝，所以△ABC的面积S＝×5×7×＝10.8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝，＝2sinAsinB，且b＝6，则c＝(　　)A．2  B．3        C．4  D．6答案：C解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc×＝b2＋c2－bc，又＝2sinAsinB，由正弦定理可得3c2＝2ab·，即a2＋b2－4c2＝0，则b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0，又b＝6，∴c2＋2c－24＝0，解得c＝4，c＝－6(舍)．故选C.二、非选择题9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1，则c＝________.答案：解析：因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，所以a＋b＝2，ab＝2，又2cos(A＋B)＝1，所以cosC＝－，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－ab＝10，得c＝.10．如图，一栋建筑物AB的高为(30－10)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角是30°，则通信塔CD的高为________米．答案：60解析：在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20，过点A作AN⊥CD于点N，在Rt△ACN中，因为∠CAN＝30°，所以∠ACN＝60°，又在Rt△CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝30°，所以∠ACM＝30°，在△AMC中，∠AMC＝105°，所以＝＝，所以AC＝60＋20，所以CN＝30＋10，所以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－10＋30＋10＝60.11．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.解析：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝ ＝.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5.