高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习14《三角恒等变换》 (教师版)

刷题增分练 14　三角恒等变换

刷题增分练⑮                 小题基础练提分快

一、选择题

1．若sinα＝，则cos2α＝(　　)

A.　　　　B.     C．－     D．－

答案：B

解析：∵sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.

2．已知α为第二象限角，且sin2α＝－，则cosα－sinα的值为(　　)

A.        B．－       C.        D．－

答案：B

解析：因为sin2α＝2sinαcosα＝－，即1－2sinαcosα＝，所以(cosα－sinα)2＝，又α为第二象限角，所以cosα<sinα，则cosα－sinα＝－.故选B.

3．化简cosx＋sinx等于(　　)

A．2cos  B．2cos

C.2cos    D．2cos

答案：B

解析：cosx＋sinx＝2＝2

＝2cos.故选B.

4．cos12°cos18°－sin12°sin18°的值等于(　　)

A．－  B．－       C.       D.

答案：D

解析：cos12°cos18°－sin12°sin18°＝cos(12°＋18°)＝cos30°＝，故选D.

5．若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin2α的值为(　　)

A．－  B．－       C.      D.

答案：A

解析：∵sin(π－α)＝，即sinα＝，又≤α≤π，

∴cosα＝－＝－，∴sin2α＝2sinαcosα＝－.

6．已知角θ∈，且cos2α＋cos2α＝0，则tan＝(　　)

A．－3－2    B．－1    C．3－2    D．3＋2

答案：A

解析：由题意结合二倍角公式可得2cos2α－1＋cos2α＝0，∴cos2α＝.

∵α∈，∴cosα＝，∴sinα＝＝，

∴tanα＝＝，tan＝＝＝－3－2.

故选A.

7．若cos＝－，则cos＋cosα＝(　　)

A．－  B．±      C．－1     D．±1

答案：C

解析：由cos＋cosα＝cosα＋sinα＋cosα

＝cos＝－1，故选C.

8．若α∈，且3cos2α＝cos，则sin2α的值为(　　)

A.  B．－      C.  D．－

答案：B

解析：∵3cos2α＝cos，

∴3(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝(cosα－sinα)．

∵α∈，∴cosα－sinα≠0，∴cosα＋sinα＝.

两边平方可得1＋sin2α＝，解得sin2α＝－.故选B.

二、非选择题

9．计算：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝________.

答案：

解析：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝sin46°·cos16°－cos46°·sin16°＝sin(46°－16°)＝sin30°＝.

10．已知tan＝，则tanα＝________.

答案：

解析：tan＝tan＝＝，解得tanα＝.

11．若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.

答案：

解析：∵＝＝3，∴tanα＝2.∵tan(α－β)＝2，

∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]

＝－＝.

12．已知f(x)＝sinx－2sin2，则当x∈时，函数f(x)的最大值减去最小值等于________．

答案：2

解析：f(x)＝sinx－2sin2＝sinx－(1－cosx)＝2sin－，

当x∈时，x＋∈，则f(x)的最大值与最小值分别为2－，－，因而f(x)的最大值减去最小值等于2.

刷题课时增分练⑮               综合提能力　课时练　赢高分

一、选择题

1．sin415°－cos415°＝(　　)

A.　　　B．－         C.     D．－

答案：D

解析：sin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°)(sin215°＋cos215°)

＝sin215°－cos215°＝－cos30°＝－.故选D.

2．若tanα＋＝，α∈，则sin的值为(　　)

A．－  B.     C.    D.

答案：A

解析：∵α∈，∴tanα>1.∴由tanα＋＝，解得tanα＝3.

∴sin＝sin2α＋cos2α＝×

＝×＝×＝－.故选A.

3．已知α为锐角，cosα＝，则tan＝(　　)

A.         B．3         C．－      D．－3

答案：A

解析：因为α是锐角，cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝2，所以tan＝＝，故选A.

4．若＝－，则sin的值为(　　)

A.       B．－      C.     D．－

答案：C

解析：∵＝＝－(cosα＋sinα)

＝－·sin＝－，∴sin＝.故选C.

5．已知在△ABC中，cos＝－，那么sin＋cosA＝(　　)

A.       B．－        C.      D.

答案：B

解析：因为cos＝－，即cos＝－，所以sin＝－，则sin＋cosA＝sinAcos＋cosAsin＋cosA＝sin＝－.故选B.

6．若cosα＋2cosβ＝，sinα＝2sinβ－，则sin2(α＋β)＝(　　)

A．1     B.         C.      D．0

答案：A

解析：由题意得(cosα＋2cosβ)2＝cos2α＋4cos2β＋4cosαcosβ＝2，

(sinα－2sinβ)2＝sin2α＋4sin2β－4sinαsinβ＝3.

两式相加，得1＋4＋4(cosαcosβ－sinαsinβ)＝5，

∴cos(α＋β)＝0，∴sin2(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝1.

7．已知tan2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为(　　)

A．－  B．－       C．－  D．－

答案：A

解析：由tan2α＝，即＝，得tanα＝或tanα＝－3.

又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα＝2cosxsinα－2sinα≥0恒成立，所以sinα≤0，tanα＝－3，sinα＝－，cosα＝，所以sin＝sinαcos－cosαsin＝－，故选A.

8．有四个关于三角函数的命题：

①∃x0∈R，sin2＋cos2＝；

②∃x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sinx0－siny0；

③∀x∈[0，π], ＝sinx；

④sinx＝cosy⇒x＋y＝.

其中假命题的序号为(　　)

A．①④  B．②④         C．①③  D．②③

答案：A

解析：因为sin2＋cos2＝1≠，所以①为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sinx－siny，所以②为真命题；因为 ＝＝|sinx|＝sinx，x∈[0，π]，所以③为真命题；当x＝，y＝2π时，sinx＝cosy，但x＋y≠，所以④为假命题．故选A.

二、非选择题

9．已知sin＋2sin＝0，则tan＝________.

答案：2

解析：∵sin＋2sin＝0，

∴sincosθ＋cossinθ＋2sincosθ－cossinθ＝0，

∴sincosθ＋cossinθ＋2＝0.等式两边同时除以coscosθ，得tan＋tanθ＋2＝0，∴＝2，即tan＝2.

10．函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．

答案：3

解析：由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝cos＝0.

∵x∈[0，π]，∴3x＋∈，

∴当3x＋取值为，，时，f(x)＝0，

即函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为3.

11．已知α，β都是锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.

(1)求sin(α－β)的值；

(2)求cosβ的值．

解析：(1)因为α，β∈，所以－<α－β<.

又因为tan(α－β)＝－，所以－<α－β<0.

由sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1和＝－，

解得sin(α－β)＝－.

(2)由(1)可得，cos(α－β)＝＝＝.

因为α为锐角，sinα＝，

所以cosα＝＝＝.

所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.