2021年初中数学二轮复习 几何代数最值问题 练习

几何、代数最值问题

类型1　利用对称、线段公理求最小值

1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是( C )

A．6  B．10  C．2  D．2

解：由已知得M(6，)，N(，6)，∴BN＝6－，BM＝6－，∵△OMN的面积为：6×6－×6×－×6×－×(6－)2＝10，∴k＝24，∴M(6，4)，N(4，6)，作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长＝PM＋PN的最小值，∵AM＝AM′＝4，∴BM′＝10，BN＝2，∴NM′＝＝＝2.

2．如图，直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为( C )

A．(－3，0)  B．(－6，0)

C．(－，0)  D．(－，0)

解：(方法一)作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC＋PD值最小，如图1所示．可求点B(0，4)；A(－6，0)．

∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C(－3，2)，点D(0，2)．∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为(0，－2)．设直线CD′的解析式为y＝kx＋b，∵直线CD′过点C(－3，2)，D′(0，－2)，可求CD′的解析式为y＝－x－2.令y＝－x－2中y＝0，则0＝－x－2，解得：x＝－，∴点P(－，0)．(方法二)连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC＋PD值最小，如图2所示．

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是( B )

A．4  B．3  C．2  D．1

解：如图连接PC.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC＋CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3(此时P、C、M共线)．

4．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为(－4，5)，D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是( B )

A．(0，)  B．(0，)  C．(0，2)  D．(0，)

解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，则此时，△ADE的周长最小，∵四边形ABOC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∵A的坐标为(－4，5)，∴A′(4，5)，B(－4，0)，∵D是OB的中点，∴D(－2，0)，设直线DA′的解析式为y＝kx＋b，可求直线DA′的解析式为y＝x＋，当x＝0时，y＝，∴E(0，)．

5．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE＝1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是__6__．

解：连接DE于AC交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E的周长就是△PBE周长的最小值，∵BE＝1，BC＝CD＝4，∴CE＝3，DE＝5，∴BP′＋P′E＝DE＝5，∴△PBE周长的最小值是5＋1＝6.

6．如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE(如图1)，点O为其交点．

(1)探求AO与OD的数量关系，并说明理由；

(2)如图2，若P，N分别为BE，BC上的动点．

①当PN＋PD的长度取得最小值时，求BP的长度；

②如图3，若点Q在线段BO上，BQ＝1，则QN＋NP＋PD的最小值＝____．

解：(1)AO＝2OD，理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝∠OBD＝30°，∴AO＝OB，∵BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO＝90°，∴OB＝2OD，∴OA＝2OD；

(2)如图2，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN＋PD的长度取得最小值，∵BE垂直平分DD′，∴BD＝BD′，∵∠ABC＝60°，∴△BDD′是等边三角形，∴BN＝BD＝，∵∠PBN＝30°，∴＝，∴PB＝；

(3)如图3，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，则D′Q′的长度即为QN＋NP＋PD的最小值．

在Rt△D′BQ′中，D′Q′＝＝.∴QN＋NP＋PD的最小值＝.

类型2　利用函数性质求最值

7．已知函数y＝mx2－(2m－5)x＋m－2的图象与x轴有两个公共点．

(1)求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；

(2)题(1)中求得的函数记为C1，

①当n≤x≤－1时，y的取值范围是1≤y≤－3n，求n的值；

②函数C2：y＝m(x－h)2＋k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上，设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．

解：(1)∵函数图象与x轴有两个交点，∴m≠0且[－(2m－5)]2－4m(m－2)＞0，解得：m＜且m≠0.∵m为符合条件的最大整数，∴m＝2.∴函数的解析式为y＝2x2＋x.

(2)抛物线的对称轴为x＝－＝－.∵n≤x≤－1＜－，a＝2＞0，∴当n≤x≤－1时，y随x的增大而减小．∴当x＝n时，y＝－3n.∴2n2＋n＝－3n，解得n＝－2或n＝0(舍去)．∴n的值为－2.

(3)∵y＝2x2＋x＝2(x＋)2－，∴M(－，－)．如图所示：

当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值．设直线OM的解析式为y＝kx，将点M的坐标代入解得：k＝.∴OM的解析式为y＝x.设点P的坐标为(x，x)．由两点间的距离公式可知：OP＝＝5，解得：x＝2或x＝－2(舍去)．

∴点P的坐标为(2，1)．∴当点P与点M距离最大时函数C2的解析式为y＝2(x－2)2＋1.

8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．

解：(1)抛物线解析式为y＝x2－3x－4；

(2)作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，∵C(0，－4)，∴D(0，－2)，∴P点纵坐标为－2，代入抛物线解析式可得x2－3x－4＝－2，解得x＝(小于0，舍去)或x＝，∴存在满足条件的P点，其坐标为(，－2)；

(3)∵点P在抛物线上，∴可设P(t，t2－3t－4)，过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，可求直线BC解析式为y＝x－4，∴F(t，t－4)，∴PF＝(t－4)－(t2－3t－4)＝－t2＋4t，∴S△PBC＝S△PFC＋S△PFB＝(－t2＋4t)×4＝－2(t－2)2＋8，∴当t＝2时，S△PBC最大值为8，此时t2－3t－4＝－6，∴当P点坐标为(2，－6)时，△PBC的最大面积为8.