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初中数学中考复习 专题42：第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之多线段的最值-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 专题42：第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之多线段的最值-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
42第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之多线段的最值
一、单选题
1．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝4，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（ ）
A．6 B．2 C．8 D．2
【答案】D
【分析】由正方形的性质得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE＝DE．
∵BE＝2，AE＝4，
∴AD＝AB＝6，
∴DE＝＝2，
故PB+PE的最小值是2．
故选：D．
【点评】本题考查轴对称—最短路线问题，其中涉及正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键
2．如图，正方形 中，， 是 的中点，点 是对角线 上一动点，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】由正方形的中心对称性质，可得 的最小值即是DE的值，再由勾股定理解题计算即可．
【解答】连接DE，交AC于点P，连接BD，
点B与点D关于AC对称，
的长即为的最小值，
是BC的中点，
，
在中，
的最小值是．
故选：B．
【点评】本题考查两点对称的性质、两点间的距离、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．
【解答】解：解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．
所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，
所以AE＋DE＝DH．
在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80
∴DH＝4
∴BF＋DE最小值为4
故选： D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
4．如图，在菱形中， ， ， ，的半径分别为2和1， ， ，分别是边、和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【分析】利用菱形的性质及相切两圆的性质得出P与D重合时的最小值，进而求解即可．
【解答】解：作点A关于直线CD的对称点A´，连接BD，DA´，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∵∠BDC=∠ADB=60°，
∴∠ADN =60°，
∴∠A´DN=60°，
∴∠ADB+∠ADA´=180°，
∴A´，D，B在一条直线上，
由此可得：当点P和点D重合，E点在AD上，F点在BD上，此时最小，
∵在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD，
则△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=AD=3，
∵⊙A，⊙B的半径分别为2和1，
∴PE=1，DF=2，
∴的最小值为3．
故选C．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系等知识．根据题意得出点P位置是解题的关键．
5．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2cm，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，
∵BD⊥AC，
∴AD=DC=3.5cm，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，
∵AQ=2cm，AD=DC=3.5cm，
∴QD=DQ′=1.5（cm），
∴CQ′=BP=2（cm），
∴AP=AQ′=5（cm），
∵∠A=60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′=PA=5（cm），
∴PE+QE的最小值为5cm．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
6．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据AD是∠BAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C，根据垂线段最短，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，利用三角形的面积求出CN，从而得解．
【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，AB=AC，
∴点B关于AD的对称点为点C，
过点C作CN⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，
∵AB＝10，S△ABC＝25，
∴×10•CN＝25，
解得CN＝5，
即BM＋MN的最小值是5．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题
7．如图所示，Rt△ABC中，AC=BC=4，AD平分∠BAC，点E在边AB上，且AE=1，点P是线段AD上的一个动点，则PE+PB的最小值等于_____．
【答案】5
【分析】作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，于是得到PE+PB的最小值=BE′，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，
则此时PE+PB有最小值，PE+PB的最小值=BE′，
∴AE′=AE=1，
∵AC=BC=4，
∴CE′=3，
∴BE′=，
∴PE+PB的最小值=5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，根据已知得出对应点P位置是解题关键．
8．如图，正方形的面积为16，为的中点，为对角线上的一个动点，连接、，则线段的最小值是______．
【答案】
【分析】连接CF，当点E，F，C在同一直线上时，AF+FE的最小值为CE长，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴A关于BD的对称点为C，
则AF=CF，
∴线段的最小值为线段的最小值，
∴当点E，F，C在同一直线上时，AF+FE的最小值为CE长，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AD=CD=4，
∵E为AD中点，
∴DE=2，
∴在Rt△CED中，
，
则线段的最小值是，
故答案为：.
【点评】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质作得出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．
9．如图，，已知边长为2的正，两顶点A，B分别在射线OM、ON上滑动，当时，________，滑动过程中，连结OC，则线段OC长度的取值范围是________．
【答案】53°
【分析】根据三角形内角和为180°，等边三角形各内角为60°，根据∠OAB=23°，即可求得∠NBC的度数；取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的边角关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值，当△ABC的边与OM和ON共线时，OD最小，且为2，即可得出OC的长度范围.
【解答】解：等边三角形各内角为60°，
∵∠NBC=180°-∠ABC-∠ABO，∠ABO=90°-∠OAB，∠OAB=23°，
∴∠NBC=53°；
取AB中点D，连OD，DC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD．
∵△ABC为等边三角形，D为中点，
∴BD=1，BC=2，根据勾股定理得：CD=，
又△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=AB=1，
∴OD+CD=1+，即OC的最大值为1+，
当△ABC的边与OM和ON共线时，OD最小，且为2，
∴线段OC的取值范围是：，
故答案为：53°；.
【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为_____．
【答案】
【分析】连接MO并延长交BC于P，则此时，PM−PO的值最大，且PM−PO的最大值＝OM，根据全等三角形的性质得到AM＝CP＝4，OM＝OP，求得PB＝1，过M作MN⊥BC于N，得到四边形MNCD是矩形，得到MN＝CD，CN＝DM，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】∵在矩形ABCD中，AD＝5，MD＝1，
∴AM＝AD﹣DM＝5﹣1＝4，
连接MO并延长交BC于P，
则此时，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM，
∵AM∥CP，
∴∠MAO＝∠PCO，
∵∠AOM＝∠COP，AO＝CO，
∴△AOM≌△COP（ASA），
∴AM＝CP＝4，OM＝OP，
∴PB＝5﹣4＝1，
过M作MN⊥BC于N，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN＝CD＝AB＝4，CN＝DM＝1，
∴PN＝5﹣1﹣1＝3，
∴MP＝，
∴OM＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查轴对称−最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点.若点D为边的中点，点G为线段上一动点，则周长的最小值为______．
【答案】11
【分析】连接AD，AG，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，GA=GC，推出GC+DG=GA+DG≥AD，故AD的长为BG+GD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，AG．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=18，解得AD=9，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，GA=GC，
∴GC+DG=GA+DG≥AD，
∴AD的长为CG+GD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CG+GD）+CD=AD+BC=9+×4=9+2=11．
故答案为：11．
【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的平分线．若E是AC上一点且BE⊥AC，P是AD的动点，则PC+PE的最小值是_________________．
【答案】
【分析】连接PB，根据三线合一得出PB=PC，将求PC+PE的值最小，转化为PB+PE的值最小，易知BE的长即为所求，再根据面积相等即可求出BE的值，从而得出答案．
【解答】解：连接PB，
AB=AC=10，AD是∠BAC的平分线，
AD为BC的垂直平分线，
PB=PC．
要是PC+PE的值最小，即PB+PE的值最小，只有点P、B、E在一条直线上时，PB+PE的值，即BE的长即为所求．
AB=AC=10，BC=12，AD=8，BE⊥AC，
，
即，
解得：．
PC+PE的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，将求PC+PE的值转化为求BE的值是解题的关键．
三、解答题
13．如下右图所示．（1）作出关于轴对称的图形；（2）在轴上确定一点，使得最小．
【答案】（1）如图所示；（2）如图所示点P．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）最短路径问题，找其中一个点的对称点，和另一个点连接起来即可．
【解答】（1）如图所示；
（2）如图所示，过A点作关于x轴的对称点A2，连接A2C与x轴交于点P，此时最小．
【点评】本题考查了轴对称图形的作法，最短路径问题，熟练掌握对称的性质是解题的关键．
14．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，
（1）△ABC的面积为_______；
（2）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（3）利用网格线在直线l上求作一点P，使得PA+PC最小．请在直线l上标出点P位置，PA+PC最小为________个单位．
【答案】（1）4；（2）见解析；（3）；
【分析】①根据割补法求解可得；
②分别作出点A，B，C关于直线l的对称点，再顺次连接即可得；
③连接AC1，与直线l的交点即为所求．
【解答】解：（1）△ABC的面积为3×3－×1×3-×2×2-×1×3=4，
故答案为：4．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
（3）点P如图所示，
PA+PC=PA+P C1= C1A
根据两点之间线段最短原理可得PA+PC最小为C1A的长
根据勾股定理得C1A==．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置，熟记轴对称的性质是解题的关键．
15．如图，直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，AC平行于x轴，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．延长CA交y轴于点D，AD＝1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，使△PAB的周长最小，若存在，直接写出此时△PAB的周长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝（x＞0）；（2）存在．△PAB的周长的最小值为2+4．
【分析】（1）设A（1，k），则B（3，k-4），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到3（k-4）=k，解得k=6，从而得到反比例函数的解析式；
（2）先计算出AB=2，作A点关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P点，连接PA，如图，则A′（-1，6），PA=PA′，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，△PAB的周长最小，然后计算出BA′，从而得到△PAB的周长的最小值．
【解答】（1）∵∠C＝90°，AC平行于x轴，
∴CD⊥y轴，
∵AD＝1，AC＝2，BC＝4，
∴设A（1，k），则B（3，k﹣4），
∵B点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴3（k﹣4）＝k，解得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；
（2）存在．
∵A（1，6），B（3，2），
∴AB＝＝2，
作A点关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P点，连接PA，如图，A′（﹣1，6），
则PA＝PA′，
∴PA+PB＝PA′+PB＝BA′，
∴此时PA+PB的值最小，△PAB的周长最小，
∵BA′＝＝4
△PAB的周长的最小值＝AB+BA′＝2+4．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，做此类题，先设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0），然后把一组对应值代入求出k，从而得到反比例函数解析式．也考查了最短路径问题．
16．如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，Q为BC边的中点，P为对角线AC上的一个动点，连接PB，PQ，求△PBQ周长的最小值．
【答案】1＋．
【分析】
由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DQ，交AC于点P，由最短路径问题模型知，此时△PBQ的周长最小，△PBQ的周长=BP+PQ+BQ=DQ+BQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理先计算出DQ的长度，再得出结果．
【解答】
解：连接DQ，交AC于点P，连接PB、BD，BD交AC于O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BO=OD，CD=2cm，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP=DP，
∴BP+PQ=DP+PQ=DQ．
在Rt△CDQ中，由勾股定理，得QD＝
∴△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1（cm）．
【点评】本图主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路径问题，同时也考查了勾股定理得应用.是常考的基本题.
17．如图，一次函数 y＝-x+6的图像与正比例函数 y＝2x 的图像交于点 A．
（1）求点 A 的坐标；
（2）已知点 B 在直线 y＝-x+6上，且横坐标为5，在 x 轴上确定点 P，使 PA＋PB 的值最小，求出此时 P 点坐标，并直接写出 PA+PB 的最小值．
【答案】（1）点 A 的坐标(2，4)；（2）P 点坐标为(，0)，PA＋PB 的最小值为．
【分析】(1)把两个函数关系式联立成方程组求解，即可求得交点A的坐标；
(2)作点B关于轴的对称点C，连接AC交轴于P，连接PB，此时PA+PB的值最小，利用两点之间的距离公式计算即可求得最小值．
【解答】(1)解方程组，
得：，
∴点A的坐标为(2，4)；
(2) ∵点B在直线上，且横坐标为5，
∴点B的坐标为(5，1)，
作B点关于x轴对称点C，
则点C的坐标为(5，-1)，
连接AC交轴于P，连接PB，此时PA+PB的值最小，
设直线AC的表达式为，
将点A、C的坐标(2，4)、(5，-1)代入，得：，
解得：，
∴直线AC的表达式为，
令，则，
∴P点坐标为(，0)，
∴PA+PB的最小值=AC=．
【点评】本题考查了轴对称-最短问题，一次函数的交点问题，一次函数的应用，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
18．如图，在中，，，为中点，，分别是，上的动点，且满足．
（1）求证：；
（2）求四边形的面积；
（3）求周长的最小值（结果保留根号）．
【答案】（1）见解析；（2）1；（3）
【分析】（1）连结CD，由等腰直角三角形的性质和角的和差可得：∠CDE＝∠BDF，由全等三角形的判定可得△DEC≌△DFB，进而由全等三角形的性质求证结论；
（2）利用分割法将四边形CFDE分成两部分，即△DEC和△CDF，由（1）可知△DEC≌△DFB，进而可知四边形CFDE的面积等于△BCD，根据三角形的面积公式代入数据即可求解；
（3）由（1）可知CE＝FB，，继而可得CE＋CF＝BC＝2，根据等腰直角三角形可得，根据题意可知当时，最小，继而求得周长的最小值.
【解答】（1）证明：连结CD
，，为的中点
，，．
，
．
在与中，
．
；
（2）解：由（1）知：
，
（3）由（1）知：，
由（1）知：，
，
当时，最小，此时最小为，从而周长的最小值为．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式和周长，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质．
19．两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离千米，千米，且千米，现要在河边修建一自来水厂，向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．
（1）请你在河岸上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最少（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）最低费用为多少？
【答案】（1）详见解析；（2）39万元
【分析】（1）根据题意，要使铺设水管的费用最少，则自来水厂与、两个小镇的距离和最小，所以作出点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即是水厂的位置．
（2）首先根据勾股定理，求出的长度是多少，即可判断出铺设水管的长度最短是多少；然后根据总价单价数量，用每千米的费用乘以铺设的水管的长度，求出最低费用为多少即可．
【解答】解：（1）根据分析，水厂的位置为：
（2）如图2，在直角三角形中，
（千米），
（千米），
（千米），
铺设水管长度的最小值为13千米，
铺设水管所需费用的最小值为：
（万元）．
答：最低费用为39万元．
【点评】（1）此题主要考查了轴对称最短路线问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了总价、单价、数量的关系：总价单价数量，单价总价数量，数量总价单价，要熟练掌握．
20．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'．
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
（3）点P在直线MN上，当PA+PC最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．
（4）求出第三问中PA+PC的最小值
【答案】（1）见解析；（2）3；（3）见解析；（4）．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'；
（2）根据网格中最小正方形的边长为1，即可求△ABC的面积；
（3）根据两点之间线段最短，作点A关于MN的对称点A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小；
（4）PA+PC的最小值即为A′C，运用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）△ABC的面积为：×3×2=3；
（3）因为点A关于MN的对称点为A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小．
所以点P即为所求．
（4）PA+PC的最小值即为A′C，
由勾股定理得，A′C=，
故PA+PC的最小值为：．
【点评】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和两点之间线段最短．
21．已知在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，AB=AC，∠BAC=90°．
（1）在图（1）中，求点C坐标；
（2）在图（2）中，动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴正方向运动，设点P的运动时间为t，△PAC的面积为S，求S与t的关系式，并写出t 的取值范围．
（3）在（2）问条件下，若PB+PC 的值最小时，求P点坐标及t的值．
【答案】（1）C（7，4）；（2），S=4t-8（t＞2）；（3）P（3，0），t=1.5
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于点H，利用AAS证得△AOB≌△CDA，从而得到AD、CD，就可得到点C的坐标；
（2）分两种情况①当点P在OA上时，②当点P在OA延长线上时，再利用三角形的面积公式即可
（3）找点B关于x轴的对称点E，连接CE与x轴交于点P，则PB+PC的值最小，求出CE的解析式，可得点P的坐标，再根据OP=2t即可得出t的值．
【解答】证明：（1）过点C作CD⊥x轴于D，
∴∠ADC=90°
∵∠BAD=∠BAC +∠CAD=∠OBA +∠BOA
∠BOA =∠BAC=90°
∴∠CAD=∠OBA
∵∠BOA =∠ADC=90°，AB=CA
∴△ABO≌△CAD(AAS)
∴OA=DC OB=AD
∵A(4，0)，B(0，3)
∴OA=4，OB=3
∴DC=4 AD=3
∴OD=7
∴ C（7，4）
（2）OP=2t
①当点P在OA上时，AP=4-2t
②当点P在OA延长线上时，AP=2t-4
（3）点B关于x轴的对称点E坐标为（0，-3），连接EC交x轴于点P
设BE解析式为y=kx+b，
∴ ；
∴
∴直线CE解析式为y=x-3
当y=0时，x=3
∴P（3，0）
∴ 2t=3
∴ t=1.5
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、利用轴对称的性质求最短路径，全等三角形的性质与判定，解答本题的关键是数形结合思想及待定系数法的应用，难度一般．
22．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3），△AOB关于y轴对称的图形为△A1OB1．
（1）画出△A1OB1并写出点B1的坐标为 ；
（2）写出△A1OB1的面积为 ；
（3）点P在x轴上，使PA＋PB的值最小，画出p点
（4）在（3）的条件下，求PA＋PB的的最小值．
【答案】（1）△A1OB1见解析，（-1，3）；（2）3.5；（3）P点的位置见解析图；（4）．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B关于y轴的对称点A1、B1的位置，再与O顺次连接即可，然后根据平面直角坐标系写出点B1的坐标；
（2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解；
（3）找出点A关于x轴的对称点A′位置，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题与x轴的交点即为所求的点P；
（4）借助网格，利用勾股定理即可求得A′B即为PA＋PB的的最小值．
【解答】解：（1）△A1OB1如图所示，B1（-1，3），
故答案为：（-1，3）；
（2）△A1OB1的面积=3×3-×1×2-×2×3-×1×3
=9-1-3-1.5
=9-5.5
=3.5；
故答案为：3.5；
（3）如图所示，点P的坐标为（2.2，0）；
（4），
故PA＋PB的的最小值为．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，勾股定理．熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
23．如图，在平行四边形中，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是直线上的一个动点，请作出使为最小值的点，并计算．
【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，
【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而求出四边形是平行四边形，根据折叠的性质得到，然后又菱形的判定定理即可得到结论；
（2）由四边形是平行四边形，得到是菱形，推出与关于对称，连接交于，则的长即为的最小值，过作于，解直角三角形得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：证明：（1）将沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形；
，
，，
，
是菱形；
（2）四边形是菱形，
与关于对称，
连接交于，则的长即为的最小值，
过作于，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接
（1）若，则的度数是 度
（2）若，的周长是
①求的长度；
②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值
【答案】（1）40°；（2）①8；②
【分析】（1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得，再根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）①根据垂直平分线的性质得，的周长是，，即可求的长度；
②当点与点重合时，周长的最小，即为的周长.
【解答】解：（1），
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
．
故答案为．
（2）①，
的周长是，
即
，
，
，
．
答：的长度为．
②点B关于MN对称点为A，AC与MN交于点M，
∴当点与点重合时，周长的值最小，且为AC+BC=10+8=18cm，
∴的周长的最小值为．
【点评】本题考查了轴对称—最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
42第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之多线段的最值
一、单选题
1．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝4，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（ ）
A．6 B．2 C．8 D．2
【答案】D
【分析】由正方形的性质得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE＝DE．
∵BE＝2，AE＝4，
∴AD＝AB＝6，
∴DE＝＝2，
故PB+PE的最小值是2．
故选：D．
【点评】本题考查轴对称—最短路线问题，其中涉及正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键
2．如图，正方形 中，， 是 的中点，点 是对角线 上一动点，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】由正方形的中心对称性质，可得 的最小值即是DE的值，再由勾股定理解题计算即可．
【解答】连接DE，交AC于点P，连接BD，
点B与点D关于AC对称，
的长即为的最小值，
是BC的中点，
，
在中，
的最小值是．
故选：B．
【点评】本题考查两点对称的性质、两点间的距离、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．
【解答】解：解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．
所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，
所以AE＋DE＝DH．
在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80
∴DH＝4
∴BF＋DE最小值为4
故选： D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
4．如图，在菱形中， ， ， ，的半径分别为2和1， ， ，分别是边、和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【分析】利用菱形的性质及相切两圆的性质得出P与D重合时的最小值，进而求解即可．
【解答】解：作点A关于直线CD的对称点A´，连接BD，DA´，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∵∠BDC=∠ADB=60°，
∴∠ADN =60°，
∴∠A´DN=60°，
∴∠ADB+∠ADA´=180°，
∴A´，D，B在一条直线上，
由此可得：当点P和点D重合，E点在AD上，F点在BD上，此时最小，
∵在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD，
则△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=AD=3，
∵⊙A，⊙B的半径分别为2和1，
∴PE=1，DF=2，
∴的最小值为3．
故选C．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系等知识．根据题意得出点P位置是解题的关键．
5．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2cm，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，
∵BD⊥AC，
∴AD=DC=3.5cm，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，
∵AQ=2cm，AD=DC=3.5cm，
∴QD=DQ′=1.5（cm），
∴CQ′=BP=2（cm），
∴AP=AQ′=5（cm），
∵∠A=60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′=PA=5（cm），
∴PE+QE的最小值为5cm．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
6．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据AD是∠BAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C，根据垂线段最短，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，利用三角形的面积求出CN，从而得解．
【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，AB=AC，
∴点B关于AD的对称点为点C，
过点C作CN⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，
∵AB＝10，S△ABC＝25，
∴×10•CN＝25，
解得CN＝5，
即BM＋MN的最小值是5．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题
7．如图所示，Rt△ABC中，AC=BC=4，AD平分∠BAC，点E在边AB上，且AE=1，点P是线段AD上的一个动点，则PE+PB的最小值等于_____．
【答案】5
【分析】作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，于是得到PE+PB的最小值=BE′，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，
则此时PE+PB有最小值，PE+PB的最小值=BE′，
∴AE′=AE=1，
∵AC=BC=4，
∴CE′=3，
∴BE′=，
∴PE+PB的最小值=5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，根据已知得出对应点P位置是解题关键．
8．如图，正方形的面积为16，为的中点，为对角线上的一个动点，连接、，则线段的最小值是______．
【答案】
【分析】连接CF，当点E，F，C在同一直线上时，AF+FE的最小值为CE长，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴A关于BD的对称点为C，
则AF=CF，
∴线段的最小值为线段的最小值，
∴当点E，F，C在同一直线上时，AF+FE的最小值为CE长，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AD=CD=4，
∵E为AD中点，
∴DE=2，
∴在Rt△CED中，
，
则线段的最小值是，
故答案为：.
【点评】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质作得出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．
9．如图，，已知边长为2的正，两顶点A，B分别在射线OM、ON上滑动，当时，________，滑动过程中，连结OC，则线段OC长度的取值范围是________．
【答案】53°
【分析】根据三角形内角和为180°，等边三角形各内角为60°，根据∠OAB=23°，即可求得∠NBC的度数；取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的边角关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值，当△ABC的边与OM和ON共线时，OD最小，且为2，即可得出OC的长度范围.
【解答】解：等边三角形各内角为60°，
∵∠NBC=180°-∠ABC-∠ABO，∠ABO=90°-∠OAB，∠OAB=23°，
∴∠NBC=53°；
取AB中点D，连OD，DC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD．
∵△ABC为等边三角形，D为中点，
∴BD=1，BC=2，根据勾股定理得：CD=，
又△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=AB=1，
∴OD+CD=1+，即OC的最大值为1+，
当△ABC的边与OM和ON共线时，OD最小，且为2，
∴线段OC的取值范围是：，
故答案为：53°；.
【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为_____．
【答案】
【分析】连接MO并延长交BC于P，则此时，PM−PO的值最大，且PM−PO的最大值＝OM，根据全等三角形的性质得到AM＝CP＝4，OM＝OP，求得PB＝1，过M作MN⊥BC于N，得到四边形MNCD是矩形，得到MN＝CD，CN＝DM，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】∵在矩形ABCD中，AD＝5，MD＝1，
∴AM＝AD﹣DM＝5﹣1＝4，
连接MO并延长交BC于P，
则此时，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM，
∵AM∥CP，
∴∠MAO＝∠PCO，
∵∠AOM＝∠COP，AO＝CO，
∴△AOM≌△COP（ASA），
∴AM＝CP＝4，OM＝OP，
∴PB＝5﹣4＝1，
过M作MN⊥BC于N，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN＝CD＝AB＝4，CN＝DM＝1，
∴PN＝5﹣1﹣1＝3，
∴MP＝，
∴OM＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查轴对称−最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点.若点D为边的中点，点G为线段上一动点，则周长的最小值为______．
【答案】11
【分析】连接AD，AG，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，GA=GC，推出GC+DG=GA+DG≥AD，故AD的长为BG+GD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，AG．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=18，解得AD=9，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，GA=GC，
∴GC+DG=GA+DG≥AD，
∴AD的长为CG+GD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CG+GD）+CD=AD+BC=9+×4=9+2=11．
故答案为：11．
【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的平分线．若E是AC上一点且BE⊥AC，P是AD的动点，则PC+PE的最小值是_________________．
【答案】
【分析】连接PB，根据三线合一得出PB=PC，将求PC+PE的值最小，转化为PB+PE的值最小，易知BE的长即为所求，再根据面积相等即可求出BE的值，从而得出答案．
【解答】解：连接PB，
AB=AC=10，AD是∠BAC的平分线，
AD为BC的垂直平分线，
PB=PC．
要是PC+PE的值最小，即PB+PE的值最小，只有点P、B、E在一条直线上时，PB+PE的值，即BE的长即为所求．
AB=AC=10，BC=12，AD=8，BE⊥AC，
，
即，
解得：．
PC+PE的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，将求PC+PE的值转化为求BE的值是解题的关键．
三、解答题
13．如下右图所示．（1）作出关于轴对称的图形；（2）在轴上确定一点，使得最小．
【答案】（1）如图所示；（2）如图所示点P．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）最短路径问题，找其中一个点的对称点，和另一个点连接起来即可．
【解答】（1）如图所示；
（2）如图所示，过A点作关于x轴的对称点A2，连接A2C与x轴交于点P，此时最小．
【点评】本题考查了轴对称图形的作法，最短路径问题，熟练掌握对称的性质是解题的关键．
14．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，
（1）△ABC的面积为_______；
（2）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（3）利用网格线在直线l上求作一点P，使得PA+PC最小．请在直线l上标出点P位置，PA+PC最小为________个单位．
【答案】（1）4；（2）见解析；（3）；
【分析】①根据割补法求解可得；
②分别作出点A，B，C关于直线l的对称点，再顺次连接即可得；
③连接AC1，与直线l的交点即为所求．
【解答】解：（1）△ABC的面积为3×3－×1×3-×2×2-×1×3=4，
故答案为：4．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
（3）点P如图所示，
PA+PC=PA+P C1= C1A
根据两点之间线段最短原理可得PA+PC最小为C1A的长
根据勾股定理得C1A==．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置，熟记轴对称的性质是解题的关键．
15．如图，直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，AC平行于x轴，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．延长CA交y轴于点D，AD＝1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，使△PAB的周长最小，若存在，直接写出此时△PAB的周长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝（x＞0）；（2）存在．△PAB的周长的最小值为2+4．
【分析】（1）设A（1，k），则B（3，k-4），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到3（k-4）=k，解得k=6，从而得到反比例函数的解析式；
（2）先计算出AB=2，作A点关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P点，连接PA，如图，则A′（-1，6），PA=PA′，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，△PAB的周长最小，然后计算出BA′，从而得到△PAB的周长的最小值．
【解答】（1）∵∠C＝90°，AC平行于x轴，
∴CD⊥y轴，
∵AD＝1，AC＝2，BC＝4，
∴设A（1，k），则B（3，k﹣4），
∵B点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴3（k﹣4）＝k，解得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；
（2）存在．
∵A（1，6），B（3，2），
∴AB＝＝2，
作A点关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P点，连接PA，如图，A′（﹣1，6），
则PA＝PA′，
∴PA+PB＝PA′+PB＝BA′，
∴此时PA+PB的值最小，△PAB的周长最小，
∵BA′＝＝4
△PAB的周长的最小值＝AB+BA′＝2+4．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，做此类题，先设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0），然后把一组对应值代入求出k，从而得到反比例函数解析式．也考查了最短路径问题．
16．如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，Q为BC边的中点，P为对角线AC上的一个动点，连接PB，PQ，求△PBQ周长的最小值．
【答案】1＋．
【分析】
由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DQ，交AC于点P，由最短路径问题模型知，此时△PBQ的周长最小，△PBQ的周长=BP+PQ+BQ=DQ+BQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理先计算出DQ的长度，再得出结果．
【解答】
解：连接DQ，交AC于点P，连接PB、BD，BD交AC于O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BO=OD，CD=2cm，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP=DP，
∴BP+PQ=DP+PQ=DQ．
在Rt△CDQ中，由勾股定理，得QD＝
∴△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1（cm）．
【点评】本图主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路径问题，同时也考查了勾股定理得应用.是常考的基本题.
17．如图，一次函数 y＝-x+6的图像与正比例函数 y＝2x 的图像交于点 A．
（1）求点 A 的坐标；
（2）已知点 B 在直线 y＝-x+6上，且横坐标为5，在 x 轴上确定点 P，使 PA＋PB 的值最小，求出此时 P 点坐标，并直接写出 PA+PB 的最小值．
【答案】（1）点 A 的坐标(2，4)；（2）P 点坐标为(，0)，PA＋PB 的最小值为．
【分析】(1)把两个函数关系式联立成方程组求解，即可求得交点A的坐标；
(2)作点B关于轴的对称点C，连接AC交轴于P，连接PB，此时PA+PB的值最小，利用两点之间的距离公式计算即可求得最小值．
【解答】(1)解方程组，
得：，
∴点A的坐标为(2，4)；
(2) ∵点B在直线上，且横坐标为5，
∴点B的坐标为(5，1)，
作B点关于x轴对称点C，
则点C的坐标为(5，-1)，
连接AC交轴于P，连接PB，此时PA+PB的值最小，
设直线AC的表达式为，
将点A、C的坐标(2，4)、(5，-1)代入，得：，
解得：，
∴直线AC的表达式为，
令，则，
∴P点坐标为(，0)，
∴PA+PB的最小值=AC=．
【点评】本题考查了轴对称-最短问题，一次函数的交点问题，一次函数的应用，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
18．如图，在中，，，为中点，，分别是，上的动点，且满足．
（1）求证：；
（2）求四边形的面积；
（3）求周长的最小值（结果保留根号）．
【答案】（1）见解析；（2）1；（3）
【分析】（1）连结CD，由等腰直角三角形的性质和角的和差可得：∠CDE＝∠BDF，由全等三角形的判定可得△DEC≌△DFB，进而由全等三角形的性质求证结论；
（2）利用分割法将四边形CFDE分成两部分，即△DEC和△CDF，由（1）可知△DEC≌△DFB，进而可知四边形CFDE的面积等于△BCD，根据三角形的面积公式代入数据即可求解；
（3）由（1）可知CE＝FB，，继而可得CE＋CF＝BC＝2，根据等腰直角三角形可得，根据题意可知当时，最小，继而求得周长的最小值.
【解答】（1）证明：连结CD
，，为的中点
，，．
，
．
在与中，
．
；
（2）解：由（1）知：
，
（3）由（1）知：，
由（1）知：，
，
当时，最小，此时最小为，从而周长的最小值为．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式和周长，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质．
19．两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离千米，千米，且千米，现要在河边修建一自来水厂，向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．
（1）请你在河岸上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最少（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）最低费用为多少？
【答案】（1）详见解析；（2）39万元
【分析】（1）根据题意，要使铺设水管的费用最少，则自来水厂与、两个小镇的距离和最小，所以作出点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即是水厂的位置．
（2）首先根据勾股定理，求出的长度是多少，即可判断出铺设水管的长度最短是多少；然后根据总价单价数量，用每千米的费用乘以铺设的水管的长度，求出最低费用为多少即可．
【解答】解：（1）根据分析，水厂的位置为：
（2）如图2，在直角三角形中，
（千米），
（千米），
（千米），
铺设水管长度的最小值为13千米，
铺设水管所需费用的最小值为：
（万元）．
答：最低费用为39万元．
【点评】（1）此题主要考查了轴对称最短路线问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了总价、单价、数量的关系：总价单价数量，单价总价数量，数量总价单价，要熟练掌握．
20．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'．
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
（3）点P在直线MN上，当PA+PC最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．
（4）求出第三问中PA+PC的最小值
【答案】（1）见解析；（2）3；（3）见解析；（4）．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'；
（2）根据网格中最小正方形的边长为1，即可求△ABC的面积；
（3）根据两点之间线段最短，作点A关于MN的对称点A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小；
（4）PA+PC的最小值即为A′C，运用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）△ABC的面积为：×3×2=3；
（3）因为点A关于MN的对称点为A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小．
所以点P即为所求．
（4）PA+PC的最小值即为A′C，
由勾股定理得，A′C=，
故PA+PC的最小值为：．
【点评】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和两点之间线段最短．
21．已知在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，AB=AC，∠BAC=90°．
（1）在图（1）中，求点C坐标；
（2）在图（2）中，动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴正方向运动，设点P的运动时间为t，△PAC的面积为S，求S与t的关系式，并写出t 的取值范围．
（3）在（2）问条件下，若PB+PC 的值最小时，求P点坐标及t的值．
【答案】（1）C（7，4）；（2），S=4t-8（t＞2）；（3）P（3，0），t=1.5
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于点H，利用AAS证得△AOB≌△CDA，从而得到AD、CD，就可得到点C的坐标；
（2）分两种情况①当点P在OA上时，②当点P在OA延长线上时，再利用三角形的面积公式即可
（3）找点B关于x轴的对称点E，连接CE与x轴交于点P，则PB+PC的值最小，求出CE的解析式，可得点P的坐标，再根据OP=2t即可得出t的值．
【解答】证明：（1）过点C作CD⊥x轴于D，
∴∠ADC=90°
∵∠BAD=∠BAC +∠CAD=∠OBA +∠BOA
∠BOA =∠BAC=90°
∴∠CAD=∠OBA
∵∠BOA =∠ADC=90°，AB=CA
∴△ABO≌△CAD(AAS)
∴OA=DC OB=AD
∵A(4，0)，B(0，3)
∴OA=4，OB=3
∴DC=4 AD=3
∴OD=7
∴ C（7，4）
（2）OP=2t
①当点P在OA上时，AP=4-2t
②当点P在OA延长线上时，AP=2t-4
（3）点B关于x轴的对称点E坐标为（0，-3），连接EC交x轴于点P
设BE解析式为y=kx+b，
∴ ；
∴
∴直线CE解析式为y=x-3
当y=0时，x=3
∴P（3，0）
∴ 2t=3
∴ t=1.5
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、利用轴对称的性质求最短路径，全等三角形的性质与判定，解答本题的关键是数形结合思想及待定系数法的应用，难度一般．
22．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3），△AOB关于y轴对称的图形为△A1OB1．
（1）画出△A1OB1并写出点B1的坐标为 ；
（2）写出△A1OB1的面积为 ；
（3）点P在x轴上，使PA＋PB的值最小，画出p点
（4）在（3）的条件下，求PA＋PB的的最小值．
【答案】（1）△A1OB1见解析，（-1，3）；（2）3.5；（3）P点的位置见解析图；（4）．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B关于y轴的对称点A1、B1的位置，再与O顺次连接即可，然后根据平面直角坐标系写出点B1的坐标；
（2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解；
（3）找出点A关于x轴的对称点A′位置，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题与x轴的交点即为所求的点P；
（4）借助网格，利用勾股定理即可求得A′B即为PA＋PB的的最小值．
【解答】解：（1）△A1OB1如图所示，B1（-1，3），
故答案为：（-1，3）；
（2）△A1OB1的面积=3×3-×1×2-×2×3-×1×3
=9-1-3-1.5
=9-5.5
=3.5；
故答案为：3.5；
（3）如图所示，点P的坐标为（2.2，0）；
（4），
故PA＋PB的的最小值为．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，勾股定理．熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
23．如图，在平行四边形中，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是直线上的一个动点，请作出使为最小值的点，并计算．
【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，
【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而求出四边形是平行四边形，根据折叠的性质得到，然后又菱形的判定定理即可得到结论；
（2）由四边形是平行四边形，得到是菱形，推出与关于对称，连接交于，则的长即为的最小值，过作于，解直角三角形得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：证明：（1）将沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形；
，
，，
，
是菱形；
（2）四边形是菱形，
与关于对称，
连接交于，则的长即为的最小值，
过作于，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接
（1）若，则的度数是 度
（2）若，的周长是
①求的长度；
②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值
【答案】（1）40°；（2）①8；②
【分析】（1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得，再根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）①根据垂直平分线的性质得，的周长是，，即可求的长度；
②当点与点重合时，周长的最小，即为的周长.
【解答】解：（1），
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
．
故答案为．
（2）①，
的周长是，
即
，
，
，
．
答：的长度为．
②点B关于MN对称点为A，AC与MN交于点M，
∴当点与点重合时，周长的值最小，且为AC+BC=10+8=18cm，
∴的周长的最小值为．
【点评】本题考查了轴对称—最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
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