初中数学中考复习 专题41：第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之单一线段的最值-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（原卷版）

41第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之单一线段的最值

一、单选题

1．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为(　　)

A．8 B．6 C．5 D．4

2．如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动路程最短时，CD的长是（    ）

A．1 B． C． D．

3．如图，∠MON＝90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC长的最大值是（　　）

A．10 B．8 C．6 D．5

4．点A，B的坐标分别为A (4，0)，B(0，4)，点C为坐标平面内一点，BC﹦2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（    ）

A．2＋1 B．2＋2 C．4＋1 D．4-2

5．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C旋转，得到正方形CEFG，在旋转过程中，则线段AE的最小值为（　　）

A． B．-1 C．0．5 D．

二、填空题

6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，当的长最小时，的值为________．

7．如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是_____．

8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_____．

9．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_________．

10．已知⊙O的半径为2，A为圆上一定点，P为圆上一动点，以AP为边作等腰Rt△APG，P点在圆上运动一周的过程中，OG的最大值为____．

三、解答题

11．如图，在中，，，点是边，上一点，，．

（1）求证：；

（2）若点是边上的动点，连接，求线段的最小值．

12．已知△ABC的三边BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足|a﹣|++（c﹣3）2＝0．如图，P为BC边上一动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．

（1）求证：四边形AMPN是矩形；

（2）在点P的运动过程中，MN的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

13．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．

（1）请判断线段AE和CD的数量关系，并说明理由；

（2）当A、E、F三点在同一直线上时，求CD的长；

（3）设AE的中点为M，连接FM，试求线段FM长的最大值．

14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上任意一点，连接，求线段的最小值．

15．如图，在菱形ABCD中，点E是BC边的中点，动点M在CD边上运动，以EM为折痕将△CEM折叠得到△PEM，连接PA，若AB=4，∠BAD=60°，则PA的最小值是_____．

16．如图 1，在等腰直角△ABC 中，∠A =90°，AB=AC=3，在边 AB 上取一点 D（点 D 不与点 A，B 重合），在边 AC 上取一点 E，使 AE=AD，连接 DE. 把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图 2．

（1）请你在图 2 中，连接 CE 和 BD，判断线段 CE 和 BD 的数量关系，并说明理由；

（2）请你在图 3 中，画出当α =45°时的图形，连接 CE 和 BE，求出此时△CBE 的面积；

（3）若 AD=1，点 M 是 CD 的中点，在△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转的过程中，线段AM 的最小值是     ．

17．已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC（包含边界）平面内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点P．

（1）观察填空：当点D在图1所示的位置时，填空：

①与△ACD全等的三角形是______．

②∠APB的度数为______．

（2）猜想证明：在图1中，猜想线段PD，PE，PC之间有什么数量关系？并证明你的猜想．

（3）拓展应用：如图2，当△ABC边长为4，AD=2时，请直接写出线段CE的最大值．

18．已知是等边三角形，．

（1）如图1，点在线段上从点出发沿射线以的速度运动，过点作交线段于点，同时点从点出发沿的延长线以的速度运动，连接、．设点的运动时间为秒．

①求证：是等边三角形；

②当点不与点、重合时，求证：．

（2）如图2，点为的中点，作直线，点为直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，则点在直线上运动的过程中，的最小值是多少？请说明理由．

19．如图，直线y＝x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，点E为线段AB的中点，∠ABO的平分线BD与y轴相交于点D，A、C两点关于x轴对称．

（1）一动点P从点E出发，沿适当的路径运动到直线BC上的点F，再沿适当的路径运动到点D处．当P的运动路径最短时，求此时点F的坐标及点P所走最短路径的长；

（2）点E沿直线y＝3水平向右运动得点E'，平面内是否存在点M使得以D、B、M、E'为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E′的坐标；若不存在，请说明理由．

20．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．

（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；

（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．

21．抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A．B，与y轴交于点C，A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），顶点为D．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点M在抛物线的对称轴上，求△ACM周长的最小值；

（3）以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标．