2022年中考数学二轮复习讲义-几何图形中的最值问题（代数方法）

2022年中考数学二轮复习讲义

专题11  几何图形中的最值问题（2）

代数方法

班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿

【中考要求】

几何图形中的有关最值的问题是近年来常考的题型，这种问题大致分为两类，（1）几何方法：利用几何图形的性质求最值.（2）代数方法：运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出函数，再利用函数的性质即可求解.这节课重点介绍代数方法.

【题型特点】

　　这类题目一般以几何图形为背景，借助题目中的几何图形的性质建立两个相关变量间的函数关系式，并能通过函数的最值来探求图形中某些元素的最值.

【例题精讲】

例1、（1）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（　　）

A．a+b      B．2a+b      C．3a+b      D．a+2b

（2）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为＿＿＿＿．

（3）如图，在边长10cm为的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为       cm.

（4）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周四尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”，题意是：如图所示，把枯木看成一个圆柱体，因一丈为十尺，则圆柱体高为20尺，底面周长四尺，有葛藤自A点缠绕而上，绕5周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是_____尺．

例2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点

A（-3，0）和点B（2，0），直线y=h（h为常数，且0＜h＜6）与

BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AE，求h为何值时，△AEF的面积最大．

（3）已知一定点M（-2，0），问：是否存在这样的直线y=h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．

例3、如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0），且与y轴交于C点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．

（3）已知点P是直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．

［规律总结］

用代数方法解决几何图形中的最值问题时，必须用运动和变化的眼光去观察和研究图形，抓住其中的等量关系和变量关系，建立函数模型或不等式模型来求解.

［强化训练］

1.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；

（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；

（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

2.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．

（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．