北师大版 (2019)必修 第一册2 指数幂的运算性质课时作业

简单幂函数的图象和性质

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数y＝x的图象大致是(　　)

A　　　　　B

C　　　　　D

B　[函数y＝x＝的定义域为R，且此函数在定义域上是增函数，排除A，C.另外，因为>1，在第一象限图象下凸．故选B.]

2．已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点(2，)，则f(9)＝(　　)

A．－3 B．－

C．3 D．

C　[设函数f(x)＝xα，由题意f(2)＝2α＝，

所以α＝，所以f(x)＝，所以f(9)＝＝3.]

3．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)

A　　　　　　　B

C　　　　　　　D

B　[y＝x－1的定义域为[0，＋∞)且为增函数，所以函数图象是上升的，所以y＝x－1关于x轴对称的图象是下降的，故选B.]

4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数中图象全在直线y＝x下方的增函数是(　　)

A．y＝x B．y＝x2

C．y＝x3 D．y＝x－1

A　[对任意x∈(1，＋∞)，都有x－x＝x(x－1)＞0，x－x－1＝x－1(x2－1)＞0，x－x2＝x(1－x)＜0，x－x3＝x(1＋x)(1－x)＜0，故当x∈(1，＋∞)时，函数的图象全在直线y＝x下方的函数有y＝x和y＝x－1，而函数y＝x是单调递增函数，函数y＝x－1是单调递减函数，所以选A.]

5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)

A．－3 B．1

C．2 D．1或－3

B　[由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)是增加的，不合题意，故选B.]

二、填空题

6．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．

f(x)＝x－1　[∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，

∴m2－1<0，解得－1<m<1.∵图象关于原点对称，

又m∈Z，

∴m＝0，∴f(x)＝x－1.]

7．已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x(1－4t－t2)(t∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的，则函数的解析式为________．

f(x)＝x2　[∵f(x)是幂函数，

∴t3－t＋1＝1，

解得t＝－1或t＝0或t＝1.

当t＝0时，f(x)＝x是非奇非偶函数，不满足题意；

当t＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，但在(0，＋∞)上是减少的，不满足题意；

当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题意．

综上所述，实数t的值为－1，

所求解析式为f(x)＝x2.]

8．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.

(0,1)　[作出函数图象如图所示，则当0<k<1时，关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根．

]

三、解答题

9．比较下列各组数的大小：

(1)(－2)－3，(－2.5)－3；

(2)8，；

[解]　(1)∵幂函数y＝x－3在(－∞，0)上为减函数，且－2>－2.5，∴(－2)－3<(－2.5)－3.

(2)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，

又8＝，>，∴>，

∴8＞.

10．已知函数f(x)＝(m∈R)，试比较f(5)与f(－π)的大小．

[解]　f(x)＝＝＝m－＝m－(x－1)－2.

f(x)的图象可由y＝x－2的图象首先作关于x轴的对称变换，然后向右平移1个单位长度，再向上(m≥0)(或向下(m<0))平移|m|个单位长度得到(如图所示)．

显然，图象关于x＝1对称且在(1，＋∞)上单调递增，

∴f(－π)＝f(2＋π)，而2＋π>5，

∴f(－π)＝f(2＋π)>f(5)．

11．(多选)已知实数a，b满足等式a＝b，则下列关系式中可能成立的是

(　　)

A．0<b<a<1 B．－1<a<b<0

C．1<a<b D．－1<b<a<0

AC　[画出y＝x与y＝x的图象(如图)，设a＝b＝m，作直线y＝m.

从图象知，若m＝0或1，则a＝b；若0<m<1，则0<b<a<1；若m>1，则1<a<b.故其中可能成立的是AC.]

12．幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xm，y＝xn的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则mn等于(　　)

A．1 B．2

C．3 D．无法确定

A　[由条件知，M，N，∴＝m，＝n，∴mn＝n＝n＝，∴mn＝1.故选A.]

13．给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n)．如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为________．

③　[设f(x)＝xα，则f(m＋n)＝(m＋n)α，f(m)＋f(n)＝mα＋nα，f(m)·f(n)＝mα·nα＝(mn)α，f(mn)＝(mn)α，所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一定成立，故填③.]

14．对于幂函数f(x)＝x，若0<a<b，则f ，的大小关系是________．

f >　[幂函数f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．

设A(a，0)，C(b，0)，其中0<a<b，则AC的中点E的坐标为E，|AB|＝f(a)，|CD|＝f(b)，|EF|＝f .∵|EF|>(|AB|＋|CD|)，

∴f >.]

15．已知幂函数f(x)＝x(m－2)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式，并讨论g(x)＝a－的奇偶性．

[解]　由f(x)＝x(m－2)(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，得(m－2)<0，∴m<2.

∵m∈N，∴m＝0,1.

∵f(x)是偶函数，

∴只有当m＝0时符合题意，故f(x)＝x.

于是g(x)＝－，g(－x)＝＋，且g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

当a≠0且b≠0时，g(x)既不是奇函数也不是偶函数；

当a＝0且b≠0时，g(x)为奇函数；

当a≠0且b＝0时，g(x)为偶函数；

当a＝0且b＝0时，g(x)既是奇函数又是偶函数.