数学选择性必修 第二册6.3 函数的最值课时训练

这是一份数学选择性必修 第二册6.3 函数的最值课时训练，共12页。试卷主要包含了已知函数f=13x3-4x+4等内容，欢迎下载使用。

题组一 函数最大(小)值的概念及其求解
1.设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是( )
A. f(x)的极值点一定是最值点
B. f(x)的最值点一定是极值点
C. f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点
D. f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点
2.(2021天津静海一中高二下月考)函数f(x)=xex在区间[0,3]上的最大值为( )

A.0B.1eC.2e2D.3e3
3.(2021安徽亳州高二上期末)函数f(x)=x3-12x在区间[-3,1]上的最小值是( )
A.-10B.-11C.-15D.-18
4.(2021天津河西高二上期末)已知函数f(x)=13x3-4x+4.
(1)求f(x)的极值;
(2)求f(x)在[0,3]上的最值.
题组二 含参函数的最大(小)值问题
5.若函数f(x)=asin x+13sin 3x在x=π3处有最值,则a等于( )
A.2B.1C.233D.0
6.(2021安徽六安二中高二上月考)若函数y=x3+32x2+m在[-2,1]上的最大值为92,则m等于( )
A.0B.1C.2D.52
7.已知函数y=ax2x-1(x>1)有最大值-4,则a的值为( )
A.1B.-1C.4D.-4
8.(2020浙江杭州高二下期中)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为 .
9.已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
题组三 利用函数的最大(小)值解决不等式问题
10.已知函数f(x)=x2-2ln x,若在定义域内存在x0,使得不等式f(x0)-m≤0成立,则实数m的最小值是( )
A.2B.-2C.1D.-1
11.(2021天津经济技术开发区第一中学高三上月考)若关于x的不等式ex>kx2在(0,+∞)上恒成立,则实数k的取值范围是 .
12.设函数f(x)=ln x-x+1.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)证明:ln x≤x-1.
13.(2021重庆八中高二上月考)已知函数f(x)=ln x-12x2.
(1)求函数f(x)在12,2上的最大值和最小值;
(2)若不等式f(x)>(2-a)x2有解,求实数a的取值范围.
能力提升练
题组一 函数最值问题的求解与应用
1.(2021江西南昌新建一中高二上期末,)已知函数f(x)=2ln x+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)在12,3上的最大值为( )

A.-52B.2ln 3-92 C.-1D.2ln 2-4
2.(2021湖南郴州高二上期末,)设动直线x=m与函数f(x)=x2,g(x)=2ln x的图象分别交于M,N,则|MN|的最小值为( )
A.12B.1C.1+ln 2D.1-ln 2
3.(多选)(2021湖南岳阳一中高二下月考,)设函数f(x)=x+e|x|e|x|,则下列选项正确的是( )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)的图象关于点(0,1)对称
C.f(x)的最大值为1e+1
D.f(x)的最小值为-1e+1
题组二 含参函数的最大(小)值问题
4.(2021黑龙江哈尔滨三中高二下月考,)已知f(x)=13x3-x在区间(m,6-m2)上有最小值,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,5)B.(-2,5) C.[-2,5)D.[-2,1)
5.()已知函数f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值为33,则a的值为( )
A.3-1B.34C.43D.3+1
6.()已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
7.(2021陕西西安一中高二上期末,)已知函数f(x)=aln x+2x2-4x(a∈R).
(1)若x=2是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;
(2)求g(x)=f(x)-ax在区间[1,e]上的最小值h(a).
题组三 利用函数的最大(小)值解决不等式问题
8.(2021江西鹰潭高二上期末,)已知函数f(x)=lnx2+(x-t)2x,若对任意的x∈[2,3],f'(x)+ f(x)x>0恒成立,则实数t的取值范围是( )
A.(-∞,2)B.-∞,52
C.-∞,103D.(2,+∞)
9.(多选)()定义在R上的函数f(x),若存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数,下列命题中正确的是( )
A.函数g(x)=-2是函数f(x)=lnx,x>0,1,x≤0的一个承托函数
B.函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一个承托函数
C.若函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,则a的取值范围是[0,e]
D.值域是R的函数f(x)不存在承托函数
10.(2021天津静海一中高二下月考,)已知f(x)=xex+1e+e2,g(x)=-x2-2x-1+a,若存在x1∈R,x2∈(-1,+∞),使得f(x1)≤g(x2)成立,则实数a的取值范围是 .
11.(2021黑龙江大庆实验中学高二下月考,)已知函数f(x)=aexx+x,g(x)=ln x.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)若x∈(0,+∞)时,f(x)≤g(x)恒成立,求a的取值范围.
12.(2021湖南长沙长郡中学高二上期末,)设函数f(x)=ex-ax-2,其导函数为f'(x).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f'(x)+x+1>0,求k的最大值.
答案全解全析
6.3 函数的最值
基础过关练
1.C 根据函数的极值与最值的概念知,选项A,B,D都不正确.故选C.
2.B 易得f'(x)=1−xex,令f'(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,3)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,所以f(x)在x=1处取得唯一的极大值,即为最大值,即f(x)max=f(1)=1e.故选B.
3.B 易得f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),则f'(x)=0在[-3,1]上的解为x=-2.
当x∈(-3,-2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,而f(-3)=9,f(1)=-11,故f(x)的最小值为f(1)=-11.故选B.
4.解析 (1)∵f(x)=13x3-4x+4,
∴f'(x)=x2-4=(x+2)(x-2).
令f'(x)=0,解得x=-2或x=2,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
故当x=-2时,f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=-83+8+4=283;当x=2时,f(x)取得极小值,极小值为f(2)=83-8+4=-43.
(2)由(1)可知f(x)在[0,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,
又f(0)=4,f(3)=9-12+4=1,
所以f(x)在[0,3]上的最大值为f(0)=4,最小值为f(2)=-43.
5.A ∵f(x)在x=π3处有最值,
∴x=π3是函数f(x)的极值点.
易得f'(x)=acs x+cs 3x,
∴f'π3=acs π3+cs π=0,解得a=2.
6.C 易得y'=3x2+3x=3x(x+1),当-10,
所以函数y=x3+32x2+m在(-2,-1),(0,1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减.当x=-1时,y=m+12,当x=1时,y=m+52,所以最大值为m+52,令m+52=92,解得m=2.故选C.
7.B 依题意得y'=ax2x-1'=2ax(x-1)-ax2(x-1)2=ax2-2ax(x-1)2=a1−1(x-1)2(x>1),令y'=0,解得x=2或x=0(舍去).因为函数在区间(1,+∞)上有最大值-4,所以最大值必然在x=2处取得,所以4a1=-4,解得a=-1,
此时y'=-x(x-2)(x-1)2,
当10,当x>2时,y'<0,可以验证当x=2时y取得最大值-4,故选B.
8.答案 (0,1)
解析 由题意得, f'(x)=3x2-3a,
令f'(x)=0,得x2=a.
∵x∈(0,1),∴要使f(x)在(0,1)内有最小值,只需0当00,可以验证当x=a时f(x)取得最小值,故a的取值范围是(0,1).
9.解析 由题意得, f'(x)=3x2-2ax.
令f'(x)=0,得x=0或x=2a3.
①当2a3≤0,即a≤0时, f(x)在[0,2]上单调递增,从而f(x)max=f(2)=8-4a.
②当2a3≥2,即a≥3时, f(x)在[0,2]上单调递减,从而f(x)max=f(0)=0.
③当0<2a3<2,即0综上所述, f(x)max=8−4a(a≤2),0(a>2).
10.C 由题可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=2x-2x.令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去).当x∈(0,1)时, f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为1.
由题意知m≥1,因此实数m的最小值为1.
11.答案 -∞,e24
解析 ∵x∈(0,+∞),∴不等式ex>kx2可化为k设f(x)=exx2(x>0),则f'(x)=ex(x2-2x)x4=ex(x-2)x3(x>0),
当0当x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
∴f(x)min=f(2)=e24.
若不等式k则k12.解析 (1)由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1x-1=1−xx,令f'(x)=0,得x=1.
当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:
因此当x=1时,函数f(x)有极大值,且极大值为f(1)=0.
(2)证明:由(1)可知函数f(x)在x=1处取得最大值,且最大值为0.
即f(x)=ln x-x+1≤0,得 ln x≤x-1.
13.解析 (1)易得f'(x)=1x-x=1−x2x(x>0),令f'(x)=0,则x=1或x=-1(舍去).当120,当1于是当x=1时,f(x)取得极大值,也是最大值,最大值为f(1)=-12,
又f12=ln12-18=-ln 2-18,f(2)=ln 2-2,f12>f(2),所以当x=2时,f(x)取得最小值,最小值为f(2)=ln 2-2.故f(x)在12,2上的最大值为-12,最小值为ln 2-2.
(2)易知f(x)的定义域为(0,+∞),故不等式f(x)>(2-a)x2可化为2-a记g(x)=lnxx2-12,则原不等式有解可转化为2-a易得g'(x)=1−2lnxx3,于是函数g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
故g(x)max=g(e)=12e-12,于是2-a<12e-12,解得a>52-12e.
所以实数a的取值范围为52-12e,+∞.
能力提升练
1.B ∵f(x)=2ln x+ax2-3x,
∴f'(x)=2x+2ax-3,
由题意可得f'(2)=4a-2=0,解得a=12,则f(x)=2ln x+12x2-3x,f'(x)=2x+x-3=x2-3x+2x,令f'(x)=0,可得x=1或x=2,列表如下:
所以函数f(x)的极大值为f(1)=-52.
易得f(3)=2ln 3-92,因为f(3)-f(1)=2ln 3-92+52=2ln 3-2=2×(ln 3-1)>0,所以f(1)所以f(x)max=f(3)=2ln 3-92.故选B.
2.B 由题意得|MN|=|m2-2ln m|(m>0),令h(m)=m2-2ln m,则h'(m)=2m-2m=2(m2-1)m,
当01时,h'(m)>0,所以h(m)min=h(1)=1,即|MN|的最小值为1.故选B.
3.BCD f(x)=x+e|x|e|x|=xe|x|+1,不满足f(-x)=-f(x),所以A不正确;
令g(x)=xe|x|,则g(-x)=-xe|-x|=-xe|x|=-g(x),
又g(x)的定义域为R,关于原点对称,所以g(x)为奇函数,其图象关于点(0,0)对称,
则f(x)的图象关于点(0,1)对称,所以B正确;
设f(x)=xe|x|+1的最大值为M,则g(x)的最大值为M-1,
设f(x)=xe|x|+1的最小值为N,则g(x)的最小值为N-1,
当x>0时,g(x)=xex,所以g'(x)=1−xex,
当x∈(0,1)时,g'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以g(x)在x=1处取得最大值,最大值为g(1)=1e,
由于g(x)为R上的奇函数,g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
所以g(x)在x=-1处取得最小值,最小值为g(-1)=-1e,
所以f(x)的最大值M=1e+1,最小值N=-1e+1,所以C,D正确.
故选BCD.
4.D 易得f'(x)=x2-1=(x+1)(x-1),当-11或x<-1时,f'(x)>0,所以f(x)的极小值为f(1).所以m<1<6−m2,f(m)≥f(1),解得-2≤m<1,故选D.
5.A 由f(x)=xx2+a得, f'(x)=a-x2(x2+a)2,当a>1时,若x>a,则f'(x)<0, f(x)单调递减,若10, f(x)单调递增,故当x=a时,函数f(x)有最大值a2a=33,得a=34<1,不符合题意.当a=1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,最大值为f(1)=12,不符合题意.当06.解析 (1)由题意得, f'(x)=-3x2+6x+9.
令f'(x)<0,解得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,
f(2)=-8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(-2).
易得当x∈[-1,2]时,f'(x)>0,
所以f(x)在[-1,2]上单调递增.
又f(x)在[-2,-1]上单调递减,
所以f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,
于是有22+a=20,解得a=-2.
故f(x)=-x3+3x2+9x-2,
因此f(-1)=1+3-9-2=-7,
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
7.解析 (1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=ax+4x-4=4x2-4x+ax.
因为x=2是f(x)的极值点,所以f'(2)=16−8+a2=0,解得a=-8,
所以f'(x)=4x2-4x-8x=4(x-2)(x+1)x.
当x>2时,f'(x)>0;当0所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).
(2)g(x)=aln x+2x2-4x-ax,则g'(x)=ax+4x-4-a=(4x-a)(x-1)x,
令g'(x)=0,得x=a4或x=1.
①当a4≤1,即a≤4时,g(x)在[1,e]上为增函数,h(a)=g(1)=-a-2;
②当1所以h(a)=ga4=alna4-18a2-a;
③当a4≥e,即a≥4e时,g(x)在[1,e]上为减函数,
所以h(a)=g(e)=(1-e)a+2e2-4e.
综上所述,
h(a)=-a-2,a≤4,alna4-18a2-a,48.B 易得f'(x)=x2-2lnx+2−t2x2,
∴对任意的x∈[2,3],f'(x)+f(x)x>0恒成立⇔对任意的x∈[2,3],xf'(x)+f(x)>0恒成立⇔对任意的x∈[2,3],x+1x-t>0恒成立⇔x+1x>t恒成立,
令g(x)=x+1x,2≤x≤3,易知g(x)在[2,3]上单调递增,∴g(x)min=g(2)=52,
∴t<52,∴实数t的取值范围是-∞,52.故选B.
9.BC ∵当x>0时, f(x)=ln x∈(-∞,+∞),∴f(x)≥g(x)=-2对一切实数x不一定都成立,故A错误.
令t(x)=f(x)-g(x),则t(x)=x+sin x-(x-1)=sin x+1≥0恒成立,
∴函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一个承托函数,故B正确.
令h(x)=ex-ax,则h'(x)=ex-a,
若a=0,则h(x)>0恒成立,结论成立.
若a>0,则令h'(x)=0,得x=ln a,
∴函数h(x)在(-∞,ln a)上为减函数,在(ln a,+∞)上为增函数,
∴当x=ln a时,函数h(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为a-aln a,
∵g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,∴a-aln a≥0,∴ln a≤1,∴0若a<0,则当x→-∞时,h(x)→-∞,故不成立.
综上,a的取值范围是[0,e],故C正确.
不妨令f(x)=2x,g(x)=2x-1,则f(x)-g(x)=1≥0恒成立,
故g(x)=2x-1是f(x)=2x的一个承托函数,故D错误.故选BC.
10.答案 (e2,+∞)
解析 ∵f(x)=xex+1e+e2,
∴f'(x)=ex+xex=ex(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)>f(-1)=e2.
g(x)=-(x+1)2+a,当x∈(-1,+∞)时,g(x)若存在x1∈R,x2∈(-1,+∞),使得f(x1)≤g(x2)成立,只需e2所以a的取值范围为(e2,+∞).
11.解析 (1)当a=1时,f(x)=exx+x,
则f'(x)=ex(x-1)x2+1,则f'(1)=1.
又f(1)=e+1,所以所求切线方程为y-(e+1)=x-1,即y=x+e.
(2)x∈(0,+∞)时,f(x)≤g(x)恒成立,即x∈(0,+∞)时,aexx+x≤ln x恒成立,即x∈(0,+∞)时,a≤xlnx-x2ex恒成立.
令F(x)=xlnx-x2ex,
则F'(x)=(1-x)(lnx+1−x)ex.
令k(x)=ln x+1-x,则k'(x)=1x-1.
当x∈(0,1)时,k'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,k'(x)<0,
故k(x)≤k(1)=0,所以当x∈(0,1)时,F'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,F'(x)>0,所以F(x)min=F(1)=-1e,所以a≤-1e.
故a的取值范围是a|a≤−1e.
12.解析 (1)易知f(x)的定义域为R,
f'(x)=ex-a,
若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在R上单调递增.
若a>0,令f'(x)>0,得x>ln a,此时f(x)单调递增,令f'(x)<0,得x综上所述,若a≤0,则f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间;
若a>0,则f(x)的单调递减区间是(-∞,ln a),单调递增区间是(ln a,+∞).
(2)由于a=1,所以(x-k)f'(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.
故当x>0时,(x-k)f'(x)+x+1>0等价于k令g(x)=x+1ex-1+x(x>0),
则g'(x)=ex(ex-x-2)(ex-1)2.
由(1)知,当a=1时,函数f(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增,且图象是连续不间断的,f(1)<0,f(2)>0,
所以f(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.
故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.
设此零点为t,则t∈(1,2).
当x∈(0,t)时,g'(x)<0;
当x∈(t,+∞)时,g'(x)>0.
所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(t).
由g'(t)=0,可得et=t+2,
所以g(t)=t+1∈(2,3).
由于①式等价于k所以整数k的最大值为2.
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
x
12,1
1
(1,2)
2
(2,3]
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗