人教版新课标A2.3 平面向量的基本定理及坐标表示课时训练

这是一份人教版新课标A2.3 平面向量的基本定理及坐标表示课时训练，共10页。试卷主要包含了1～2等内容，欢迎下载使用。

五年高考练
考点1 向量的线性运算
1.(课标全国Ⅰ高考,2,5分,)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=( )
A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)
2.(2017课标全国Ⅲ,12,5分,)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为( )
A.3 B.22 C.5 D.2
3.(江苏高考,6,5分,)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为 .
考点2 向量共线
4.(2021全国乙文,13,5分,)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ= .
5.(课标全国Ⅱ高考,13,5分,)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .
考点3 平面向量基本定理及坐标表示
6.(2018课标全国Ⅰ,7,5分,)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=( )
A.34AB-14AC B.14AB-34AC
C.34AB+14AC D.14AB+34AC
7.(北京高考,13,5分,)在△ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x= ,y= .
三年模拟练
应用实践
1.(2020江苏连云港海头高级中学高一上月考,)已知平面内的点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),下面结论不正确的是( )
A.AB+CA=CB B.OA+OC=OB
C.AC=OB-2OA D.OA+2OB=OC
2.(2019黑龙江哈尔滨三中高一期中,)勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若AB=a,AD=b,E为BF的中点,则AE=( )
A.45a+25b B.25a+45b
C.43a+23b D.23a+43b
3.(2020黑龙江双鸭山一中高二开学考试,)在三角形ABC中,已知A(2,3),B(8,-4),点G(2,-1)在中线AD上,且AG=2GD,则点C的坐标是( )
A.(-4,2) B.(-4,-2)
C.(4,-2) D.(4,2)
4.(2020河北衡水高三调研,)已知直线2x+3y=1与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,与直线x+y=0交于点C,若OC=λOA+μOB(O为坐标原点,λ,μ∈R),则( )
A.λ=2,μ=-1 B.λ=4,μ=-3
C.λ=-2,μ=3 D.λ=-1,μ=2
5.(2019吉林长春东北师大附中高三二模,)在等腰直角△ABC中,AC=BC,D在AB边上且满足CD=tCA+(1-t)CB,若∠ACD=60°,则t的值为( )
A.3-12 B.3-1
C.3−32 D.3+12
6.(2021河北正定一中高一月考,)已知i,j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量,O为坐标原点,设OA=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(x∈R),则点A位于第 象限.
7.(2021江西上饶玉山第一中学高一下期中,)已知平面内三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),若a=λb+μc,则λ+μ= ;若向量a+kb与向量2b-c共线,则实数k的值为 .
8.(2021上海青浦高一期末,)在△ABC中,AB=3,AC=4,O是△ABC的外心,且AO=λAB+1−λ2ACλ∈R,则△ABC的面积是 .
9.(2020北京房山高一上期末,)已知向量a=(1,3),b=(-2,1),向量m=a-2b,n=
-12a+b.
(1)求向量m,n的坐标;
(2)判断向量m与n是否平行,并说明理由.
10.(2021浙江舟山高一期末,)如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且CFCB=23.设AB=a,AD=b.
(1)试用基底a,b表示AE,EF;
(2)若G为长方形ABCD内部一点,且AG=34a+23b.求证:E,G,F三点共线.
(2021江苏南京师大苏州实验学校高一月考,)如图所示,
在△OAB中,OC=14OA,OD=12OB,AD与BC相交于点M.过M点的直线l与OA,OB分别交于点E,F.
(1)试用OA,OB表示向量OM;
(2)设OE=λOA,OF=μOB,求证:1λ+3μ是定值.
答案全解全析
五年高考练
1.A 根据题意得AB=(3,1),∴BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.
2.A 如图,建立平面直角坐标系,
则A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),设P(x,y),因为AB=1,AD=2,所以BD=5,所以圆的半径r=255,即圆的方程是(x-2)2+y2=45.
AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0),若满足AP=λAB+μAD,
则x=2μ,y-1=-λ,解得μ=x2,λ=1−y,所以λ+μ=x2-y+1,设z=x2-y+1,即x2-y+1-z=0,点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心到直线x2-y+1-z=0的距离d≤r,即|2-z|14+1≤255,解得1≤z≤3,所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.
3.答案 -3
解析 由a=(2,1),b=(1,-2),
可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),
由已知可得2m+n=9,m-2n=−8,
解得m=2,n=5,从而m-n=-3.
4.答案 85
解析 由a∥b得2×4=5λ,∴λ=85.
5.答案 12
解析 因为向量λa+b与a+2b平行,所以λa+b=k(a+2b)(k≠0),则λ=k,1=2k,所以λ=12.
6.A 如图,根据向量的运算法则,可得BE=12BA+12BD=12BA+14BC=12BA+14(BA+AC)=12BA+14BA+14AC=34BA+14AC,所以EB=34AB-14AC,故选A.
7.答案 12;-16
解析 由AM=2MC知点M为AC边上靠近C点的三等分点,由BN=NC知N为BC的中点,作出草图如下.
则有AN=12(AB+AC),所以MN=AN-AM=12(AB+AC)-23AC=12AB-16AC,
又因为MN=xAB+yAC,
所以x=12,y=-16.
三年模拟练
1.D 选项A中,AB=(-2,1),CA=(4,0),CB=(2,1),所以AB+CA=CB成立,故A中结论正确;
选项B中,OA=(2,1),OC=(-2,1),OB=(0,2),所以OA+OC=OB成立,故B中结论正确;
选项C中,AC=(-4,0),OB=(0,2),OA=(2,1),所以AC=OB-2OA成立,故C中结论正确;
选项D中,OA=(2,1),OB=(0,2),OC=(-2,1),所以OA+2OB≠OC,故D中结论错误.
故选D.
2.A 设BE=m,则AE=BF=2BE=2m,
在Rt△ABE中,可得AB=5m.
过点E作EH⊥AB于点H,如图,
则EH∥AD,EH=2m25m=255m=25AD,
AH=(2m)2-255m2=455m=45AB.
所以AE=AH+HE=45AB+25AD=45a+25b.故选A.
3.B 设C(x,y),则D8+x2,-4+y2,又A(2,3),G(2,-1),∴AG=(0,-4),GD=4+x2,-2+y2,由AG=2GD得(0,-4)=(4+x,-2+y),即有4+x=0,y-2=-4,∴x=-4,y=-2,即C(-4,-2).故选B.
4.C 在直线2x+3y=1中,令x=0,得y=13,即B0,13,令y=0,得x=12,即A12,0,联立2x+3y=1,x+y=0,解得x=−1,y=1,所以C(-1,1),因为OC=λOA+μOB,
所以(-1,1)=λ12,0+μ0,13,即-1=12λ,1=13μ,解得λ=−2,μ=3.故选C.
5.A 由题意建立如图所示的坐标系,
设AC=BC=1,
则C(0,0),A(1,0),B(0,1),
直线AB的方程为x+y=1,
直线CD的方程为y=3x,
由x+y=1,y=3x,得x=3-12,y=3−32,
故D3-12,3−32,
故CD=3-12,3−32,CA=(1,0),CB=(0,1),
故3-12,3−32=tCA+(1-t)CB=(t,1-t),解得t=3-12.
故选A.
6.答案 四
解析 由题意得A(x2+x+1,-x2+x-1),
∵x2+x+1>0,-x2+x-1<0,
∴点A位于第四象限.
7.答案 139;-73
解析 易得λb=(-λ,2λ),μc=(4μ,μ),
∴λb+μc=(-λ+4μ,2λ+μ),
又a=λb+μc,
∴-λ+4μ=3,2λ+μ=2,解得λ=59,μ=89,
∴λ+μ=139.
易得a+kb=(3-k,2+2k),2b-c=(-6,3),
若a+kb与2b-c共线,则3(3-k)=-6(2+2k)⇒k=-73.
8.答案 25或372
解析 ∵AO=λAB+1−λ2AC,
∴BO=AO-AB=(λ-1)AB+1−λ2AC=(λ-1)AB+1−λ2(BC-BA)=1−λ2(BC+BA),
设AC的中点为D,则BC+BA=2BD,
∴BO=(1-λ)BD,即B、O、D三点共线.
作图如下:
由O是△ABC的外心,知当λ≠0时,OD⊥AC,即BD⊥AC,
∴BD=9−4=5,
∴△ABC的面积S=12×AC×BD=25;
当λ=0时,AO=12AC,故AB⊥BC,
∴△ABC的面积S=12×AB×BC=12×3×16−9=372.
综上可得,△ABC的面积是25或372.
9.解析 (1)m=a-2b=(1,3)-2(-2,1)=(5,1),
n=-12a+b=-12(1,3)+(-2,1)=-52,-12.
(2)m=(5,1)=-2-52,-12=-2n,
所以向量m与n平行.
10.解析 (1)由题可知AE=AD+DE=AD+12DC=AD+12AB=b+12a,
EF=EC+CF=12AB+23CB=12AB-23AD=12a-23b.
(2)证明:由AG=34a+23b,得EG=AG-AE=14a-13b,
又EF=12a-23b=2EG,∴EF,EG共线,
又EF,EG有一公共点E,
∴E,G,F三点共线.
11.解析 (1)由A,M,D三点共线可得,存在实数m,使得OM=mOA+(1-m)OD,
又OD=12OB,所以OM=mOA+1−m2OB.
由C,M,B三点共线,可得存在实数n,使得OM=nOC+(1-n)OB,
又OC=14OA,所以OM=n4OA+(1-n)OB.
由题意知,OA,OB不共线,
则m=14n,1−m2=1−n,解得m=17,n=47,
故OM=17OA+37OB.
(2)证明:由E,M,F三点共线,可设OM=kOE+(1-k)OF(k∈R),
由OE=λOA,OF=μOB,可得OM=kλOA+(1-k)μOB,
由(1)知,OM=17OA+37OB,
则kλ=17,(1-k)μ=37,即λ=17k,3μ=7−7k,
所以1λ+3μ=7k+7-7k=7,所以1λ+3μ是定值.