2021学年4.1 数列课后测评

这是一份2021学年4.1 数列课后测评，共16页。试卷主要包含了1　数列，下列说法正确的是，下面四个结论，3,0等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 对数列概念的理解
1.下列说法正确的是( )
A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}
B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列
C.数列0,2,4,6,…可记为{2n},n∈N*
D.数列n+2n的第k项为1+2k
2.下面四个结论:
①数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数;
②函数就是数列;
③数列的项数是无限的;
④数列的通项公式是唯一的.
其中正确的是( )
A.① B.①②③
C.②④ D.①②③④
题组二 数列的通项公式
3.数列-12,14,-18,116,…的一个通项公式是an=( )
A.-12n B.(-1)n2n
C.(-1)n+12n D.(-1)n2n+1
4.数列{an}的通项公式为an=3n+1,n为奇数,2n-2,n为偶数,则a2a3=( )
A.70 B.28 C.20 D.8
5.(2020四川成都外国语学校高一月考)已知数列3,3,15,21,…,则33是这个数列的第( )
A.8项 B.7项 C.6项 D.5项
6.根据下列5个图形及相应点的个数变化规律,试猜测第6个图形中有 个点.
7.根据下面数列的前几项写出数列的一个通项公式.
(1)12,34,78,1516,3132,…;
(2)5,55,555,5 555,…;
(3)0.3,0.33,0.333,0.333 3,…;
(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;
(5)-11+1,14+1,-19+1,116+1,….
8.已知数列{an}的通项公式为an=-n2+4n+21(n∈N*).
(1)写出数列{an}的前5项,并作出它的图象;
(2)这个数列从第几项起各项均为负数?
题组三 数列的递推公式
9.(2020浙江绍兴一中期中)在数列{an}中,a1=1,an=1+(-1)nan-1(n≥2),则a5等于( )
A.32 B.53 C.85 D.23
10.已知数列{an}中,an-1=man+1(n∈N*,n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于( )
A.0 B.25 C.2 D.5
11.已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于( )
A.-165 B.-33 C.-30 D.-21
12.数列{an}中,对所有n∈N*都有a1·a2·…·an=n2,则a1+a3+a5= .
13.根据下列数列的首项和递推公式,写出数列的前5项,并由此归纳出它的通项公式.
(1)a1=2,an+1=3an+2;
(2)a1=1,an+1=n+2n+1an.
题组四 数列的性质
14.数列{an}中,若a1=1,an+1=1an+1-1,则a2 020=( )
A.-1 B.-12
C.12 D.1
15.数列{an}中,an=-2n2+29n+3(n∈N*),则此数列中的最大值是( )
A.107 B.108
C.10818 D.109
16.(多选)下列四个命题中,正确的有( )
A.数列n+1n的第k项为1+1k
B.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,n∈N*,则-8是该数列的第7项
C.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为an=2n-1
D.数列{an}的通项公式为an=nn+1,n∈N*,则数列{an}是递增数列
17.(2020河南郑州八校高二上期中联考)已知函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7,ax-6,x>7,若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( )
A.94,3 B.94,3
C.(2,3) D.(1,3)
18.已知an=9n(n+1)10n(n∈N*),则数列{an}中有没有最大项?如果有,求出最大项;如果没有,请说明理由.
能力提升练
题组一 数列的通项公式及其应用
1.(2020上海杨浦高级中学高二期末,)已知数列1、0、1、0、…,可猜想此数列的一个通项公式是( )
A.an=[1+(-1)n-1](n∈N*)
B.an=12[1+(-1)n](n∈N*)
C.an=12[1+(-1)n+1]+(n-1)(n-2)(n∈N*)
D.an=12(1-cs nπ)(n∈N*)
2.()某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)= .
题组二 数列的递推公式及其应用
3.(2021江苏苏州陆慕高级中学高二期中,)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=nn+1an,则a2 020的值为( )
A.12 020 B.12 019 C.11 010 D.11 009
4.(2020福建厦门高二期末,)已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=1n(n+1),则a10=( )
A.910 B.1011 C.1910 D.2111
5.()古印度“汉诺塔问题”:一块黄铜平板上装着A,B,C三根金铜石细柱,其中细柱A上套着大小不等的环形金盘,大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上,移动规则如下:一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上,不允许将较大金盘放在较小金盘上面.若A柱上现有3个金盘(如图),将A柱上的金盘全部移到B柱上,至少需要移动的次数为 ( )
A.5 B.7 C.9 D.11
6.()数列{an}中,a1=7,a9=8,且(n-1)an=a1+a2+…+an-1(n≥3,n∈N*),则a2等于 .
题组三 数列的性质及其应用
(2021江苏南通平潮高级中学高二期中,)已知数列{bn}满足bn=
2λ-12n-1-n2,若数列{bn}是单调递减数列,则实数λ的取值范围是( )
A.-1,103 B.-12,103
C.(-1,1) D.-12,1
8.(2020浙江浙南名校联盟高二上期中联考,)已知数列{an}对任意的n∈N*都有an+1A.数列{an+1-an}为单调递减数列,且a5>1
B.数列{an+1-an}为单调递增数列,且a5>1
C.数列{an+1-an}为单调递减数列,且a5<1
D.数列{an+1-an}为单调递增数列,且a5<1
9.(多选)(2020福建三明高一期末,)已知数列{an}满足a1=-11,且3(2n-13)an+1=(2n-11)an,则下列结论正确的是( )
A.数列{an}的前10项都是负数
B.数列{an}先增后减
C.数列{an}的最大项为第九项
D.数列{an}最大项的值为1729
10.(多选)()若对任意正整数n,{an+1-an}为递减数列,则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}(n∈N*),其中是“差递减数列”的有( )
A.an=3n B.an=n2+1
C.an=n D.an=lnnn+1
11.()已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)·67n,则数列{an}的最大项的值为 .
12.()已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.
(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;
(2)若对任意的n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.D A中,{1,3,5,7}表示集合,不是数列;B中,两个数列的数虽然相同,但排列顺序不同,不是相同的数列;C中,数列应记为{2(n-1)},n∈N*;易知D正确.故选D.
2.A 数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数,但函数不一定是数列,故①正确,②错误;数列的项数可以是有限的,也可以是无限的,故③错误;数列的通项公式可能不唯一,比如数列1,0,-1,0,1,0,-1,0,…的通项公式可以是an=sinnπ2,也可以是an=cs(n+3)π2,故④错误.故选A.
3.B 解法一:所给的数列每一项的分子都是1,分母等于2n,每一项的符号为(-1)n,故此数列的一个通项公式是an=(-1)n2n.
解法二:将-12,14,-18,116代入各选项,验证可得B符合.
4.C 由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2a3=20.
5.C 数列3,3,15,21,…可化为数列3,9,15,21,…,
则数列的一个通项公式为an=6n-3,
令an=6n-3=33,则6n-3=33,
解得n=6,故33是这个数列的第6项.
故选C.
6.答案 31
解析 观察题图得图(1)有1个点,图(2)有3=1×2+1个点,图(3)有7=2×3+1个点,图(4)有13=3×4+1个点,图(5)有21=4×5+1个点,所以猜想第n个图有[(n-1)n+1]个点,故第6个图形有(6-1)×6+1=31个点.
7.解析 (1)易知该数列中每一项分子比分母少1,且分母可写成21,22,23,24,25,…,故所求数列的一个通项公式为an=2n-12n,n∈N*.
(2)这个数列的前4项可以变为59×9,59×99,59×999,59×9 999,
即59×(10-1),59×(100-1),59×(1 000-1),59×(10 000-1),
即59×(10-1),59×(102-1),59×(103-1),59×(104-1),
所以它的一个通项公式为an=59×(10n-1),n∈N*.
(3)因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9,…的一个通项公式为bn=1-110n,而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的每一项都是上面数列对应项的13,所以该数列的一个通项公式为an=131-110n,n∈N*.
(4)原数列可变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,
所以该数列的一个通项公式为an=n+1+(-1)n2,n∈N*.
(5)第n项的符号为(-1)n,分子都是1,分母是n2+1,所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n·1n2+1,n∈N*.
8.解析 (1)a1=-12+4×1+21=24,
a2=-22+4×2+21=25,
a3=-32+4×3+21=24,
a4=-42+4×4+21=21,
a5=-52+4×5+21=16.
图象如图所示:
(2)令an=-n2+4n+21<0,即(n-7)(n+3)>0,∴n>7或n<-3,
又n∈N*,∴n>7,∴数列从第8项起各项均为负数.
9.D 由a1=1,得a2=2,a3=12,a4=3,a5=23.故选D.
10.B 由递推公式知a2=ma3+1,故3=5m+1,解得m=25.
11.C ∵对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,∴p=q=n时,有a2n=2an.
又a2=-6,∴a8=2a4=4a2=-24,
∴a10=a2+a8=-30.
12.答案 7716
解析 解法一:因为a1·a2·a3·…·an=n2,所以a1=1,a1·a2=22=4,a1·a2·a3=4a3=32=9,a1·a2·a3·a4=42=16,a1·a2·a3·a4·a5=16a5=52=25,所以a3=94,a5=2516,
所以a1+a3+a5=7716.
解法二:当n=1时,a1=12=1,
当n≥2时,an=n2(n-1)2,
当n=1时,n2(n-1)2无意义,
故an=1,n=1,n2(n-1)2,n≥2,
所以a1+a3+a5=1+94+2516=7716.
13.解析 (1)∵a1=2,an+1=3an+2,
∴a1=2=3-1,a2=3×2+2=8=32-1,a3=3×8+2=26=33-1,a4=3×26+2=80=34-1,a5=3×80+2=242=35-1,……,
∴数列{an}的一个通项公式为an=3n-1(n∈N*).
(2)∵a1=1,an+1=n+2n+1an,
∴a1=1=22,a2=32,a3=2=42,a4=52,a5=3=62,
∴数列{an}的通项公式为an=n+12(n∈N*).
14.B 令n=1,得a2=-12,再令n=2,得a3=1,所以数列{an}是周期为2的周期数列.故a2 020=a2=-12.
15.B 由已知,得an=-2n2+29n+3=-2×n-2942+10818,由于n∈N*,因此当n取距离294最近的正整数7时,an取得最大值108.所以数列{an}中的最大值为a7=108.
16.ABD 对于A,数列n+1n的第k项为1+1k,A正确;
对于B,令n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去),B正确;
对于C,将3,5,9,17,33,…的各项减去1,得2,4,8,16,32,…,设该数列为{bn},则其通项公式为bn=2n(n∈N*),因此数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为an=bn+1=2n+1(n∈N*),C错误;
对于D,an=nn+1=1-1n+1,则an+1-an=1n+1-1n+2=1(n+1)(n+2)>0,因此数列{an}是递增数列,D正确.故选ABD.
17.C 根据题意,得an=f(n)
=(3-a)n-3,n≤7,n∈N*,an-6,n>7,n∈N*,
要使{an}是递增数列,
需满足3-a>0,a>1,(3-a)×7-3故选C.
易错警示
分段数列的单调性与相应分段函数的单调性有所不同,分段数列还要使得两段之间满足一定的条件,如本题中数列{an}递增需满足a718.解析 解法一:由an=9n(n+1)10n(n∈N*)得,an+1-an=9n+1(n+2)10n+1-9n(n+1)10n=9n(8-n)10n+1,n∈N*.
当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an,即{an}在n<8时单调递增;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an,得a8=a9;当n>8时,an+1-an<0,即an+18时单调递减.
所以数列{an}的最大项是第8项或第9项,即a8=a9=99108.
解法二:设an为最大项,则an≥an-1,an≥an+1(n≥2,n∈N*),
即9n(n+1)10n≥9n-1·n10n-1,9n(n+1)10n≥9n+1(n+2)10n+1,
解得8≤n≤9.
又因为n∈N*,所以n=8或n=9,
故{an}的最大项为a8=a9=99108.
能力提升练
1.D 对于A选项,a1=1+(-1)0=2≠1,不符合题意;
对于B选项,a1=12×(1-1)=0≠1,不符合题意;
对于C选项,a3=12×[1+(-1)4]+2×1=3≠1,不符合题意;
对于D选项,当n为奇数时,cs nπ=-1,此时an=12×(1+1)=1,
当n为偶数时,cs nπ=1,此时an=12×(1-1)=0,符合题意.故选D.
2.答案 61
信息提取 (1)四个对称图形.(2)f(1)=1,f(2)=1+3+1,f(3)=1+3+5+3+1,f(4)=1+3+5+7+5+3+1.
数学建模 本题以小正方形的个数变化为背景,构建“数列模型”来解决小正方形个数问题.前四个图案中小正方形的个数分别是1,5,13,25,排成一列形成一个数列,从而把该实际问题抽象成一个以“数列”为模型的数学问题,再探索规律,总结出f(n).
解析 由题图得,f(1)=1,
f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3,
f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5,
f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7,
故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1.
当n=6时,f(6)=2×6×5+1=61.
3.C 解法一:由已知得a2=22,a3=23,a4=24,猜想an=2n,
∴a2 020=22 020=11 010.
解法二:∵an+1=nn+1an,即an+1an=nn+1,
∴an=anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·a3a2·a2a1·a1=n-1n×n-2n-1×n-3n-2×…×23×12×2=2n,
∴a2 020=22 020=11 010.故选C.
4.C 因为an+1-an=1n(n+1)=1n-1n+1,
所以(a10-a9)+(a9-a8)+…+(a3-a2)+(a2-a1)
=19-110+18-19+…+12-13+1-12=1-110=a10-1,
解得a10=1910.故选C.
5.B 设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘,至少需要移动的次数记为an.要把最下面的第n个金盘移到另一根柱子上,则必须把上面的n-1个金盘移到余下的一根柱子上,故至少需要移动an-1次把第n个金盘移到另一根柱子上后,再把n-1个金盘移到该柱子上,故又至少需要移动an-1次,所以an=2an-1+1,
易知a1=1,故a2=3,a3=7.故选B.
6.答案 9
解析 由(n-1)an=a1+a2+…+an-1(n≥3,n∈N*),
得nan+1=a1+a2+…+an,
两式相减,得nan+1-(n-1)an=an(n≥3,n∈N*),
即an+1=an(n≥3,n∈N*).
∵a9=8,∴a3=8.
又2a3=a1+a2,a1=7,∴a2=2a3-a1=9.
7.A ∵数列{bn}是单调递减数列,
∴bn+1即2λ-12n-(n+1)2<2λ-12n-1-n2恒成立,即6λ-12n<2n+1恒成立.
当n为奇数时,6λ>-(2n+1)·2n恒成立,
∵y=-(2n+1)·2n单调递减,∴n=1时,-(2n+1)·2n取得最大值,最大值为-6,
∴6λ>-6,解得λ>-1;
当n为偶数时,6λ<(2n+1)·2n恒成立,
∵y=(2n+1)·2n单调递增,∴n=2时,(2n+1)·2n取得最小值,最小值为20,
∴6λ<20,解得λ<103.
综上,-1<λ<103.故选A.
8.D ∵数列{an}对任意的n∈N*都有an+1an+1-an,
∴{an+1-an}为单调递增数列,
∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,同理可得,2a5∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1,故选D.
9.BD 解法一:∵3(2n-13)an+1=(2n-11)an,
∴an+12n-11=13×an2n-13,
又a12×1-13=-11-11=1,
∴数列an2n-13是首项为1,公比为13的等比数列,
∴an2n-13=13n-1,∴an=2n-133n-1.
当n≤6时,an<0,当n≥7时,an>0.
又an+1-an=2n-113n-2n-133n-1=4(7-n)3n,
∴当n≤6时,an+1>an;当n=7时,an+1=an;当n≥8时,an+1∴(an)max=a7=a8=1729.
∴选项B与选项D正确.
解法二:对于A,将等式整理得an+1=2n-113(2n-13)an=13-62n-11an,n∈N*,
令13-62n-11>0,解得n<112或n>132且n∈N*;令13-62n-11<0,解得112∵a1=-11,∴数列{an}的前6项都是负数,第七项及以后都是正数,故A错误.
对于B,对所有的n∈N*,当n<112时,满足0<13-62n-11<1,
∵a1为负数,∴n∈{1,2,3,4,5}时,a1乘一个小于1的正数,an一直增加,
当n=5时,a6=19a5<0,
当n=6时,a7=1-3a6>0,当n≥7时,a7为正数,a6乘一个小于1的正数,an在减少,故B正确.
对于C,易知数列{an}的最大项为第七项或第八项,故C错误.
对于D,a7=-13a6=-13×19a5=-13×19×15a4=-13×19×15×521a3=-13×19×15×521×727a2=-13×19×15×521×727×311a1=1729,故D正确.故选BD.
10.CD 选项A,由an=3n,得an+1-an=3,则{an+1-an}为常数列,不满足“差递减数列”的定义;
选项B,由an=n2+1,得an+1-an=(n+1)2+1-n2-1=2n+1,则{an+1-an}为递增数列,不满足“差递减数列”的定义;
选项C,由an=n,得an+1-an=n+1-n=1n+1+n,显然{an+1-an}为递减数列,满足“差递减数列”的定义;
选项D,由an=lnnn+1,得an+1-an=lnn+1n+2-lnnn+1=ln(n+1)2n(n+2)=ln1+1n(n+2),随着n的增大,此值变小,所以{an+1-an}为递减数列,满足“差递减数列”的定义.故选CD.
11.答案 6574
解析 假设第n(n∈N*)项an为最大项,
则an≥an-1,an≥an+1,
即(n+2)·67n≥(n+1)·67n-1,(n+2)·67n≥(n+3)·67n+1,
解得n≤5,n≥4,即4≤n≤5,又n∈N*,
所以n的值为4或5,故数列{an}的最大项的值为a4=a5=6574.
12.解析 (1)由n2-5n+4<0,解得1因为n∈N*,所以n=2或n=3,
所以数列中有两项是负数,即为a2,a3.
易得an=n2-5n+4=n-522-94,
由二次函数的性质,得当n=2或n=3时,an有最小值,最小值为a2=a3=-2.
(2)因为an+1>an,所以(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,整理得k>-2n-1,
又对任意的n∈N*,都有an+1>an,
所以k大于-2n-1的最大值,所以k>-2-1=-3.
所以实数k的取值范围为(-3,+∞).