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人教版七年级下册第六章 实数综合与测试复习练习题
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这是一份人教版七年级下册第六章 实数综合与测试复习练习题，共28页。
《实数》综合练习题
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•沙坪坝区校级期末）边长为1的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2023时停止运动，此时与2023重合的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点O
2．（2021•霍邱县一模）数轴上A，B，C，D四点中，两点之间的距离最接近于+1的是（ ）
A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点A和点C
3．（2021春•郾城区期末）下列说法错误的是（ ）
A．﹣1的立方根是﹣1
B．3的平方根是
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
4．（2021•福州模拟）若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则①a＞﹣4；②b+d＜0；③|a|＜c2；④c＜的结论中，正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
5．（2021•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0
6．（2021春•仓山区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．等于±2
B．2和﹣都是实数
C．无理数和数轴上的点一一对应
D．
7．（2021•东莞市二模）如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别1，，则⊙A的直径长为（ ）
A．﹣1 B．1﹣ C．2﹣2 D．2﹣2
8．（2021春•荣昌区校级月考）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当b＜a时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则a﹣b的立方根为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
9．（2021春•福田区校级期中）对于实数a和b，定义两种新运算：①a*b＝（|a﹣b|+a+b），②a⊗b＝a11b，则（5⊗3）*（3⊗5）＝（ ）
A．355 B．533 C．533﹣355 D．533+355
10．（2021春•武昌区期中）已知≈0.5981，≈1.289，≈2.776，则≈（ ）
A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981
二．填空题（共10小题）
11．（2021•福州模拟）已知a是整数，且a＜＜a+1，则a的值是 ．
12．（2019秋•鹿邑县期末）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B示的数分别是1，3，如图所示．若BC＝2AB，则点C表示的数是 ．
13．（2019秋•东台市期末）在 ，3.14，0，0.101 001 000 1…， 中，无理数有 个．
14．（2020秋•朝阳区校级期中）若的小数部分为 ．
15．（2020秋•淮阴区期中）如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为 ．
16．（2020春•西城区校级期中）已知4a+1的算术平方根是3，则a﹣10的立方根是 ．
17．（2018秋•平谷区期末）已知，a，b是正整数．
（1）若是整数，则满足条件的a的值为 ；
（2）若是整数，则满足条件的有序数对（a，b）为 ．
18．（2015秋•萧山区期末）一个长为3，宽为2的长方形从表示﹣1的点开始绕着逆时针翻转90°到达E点，则E点所表示的数是 ．
19．（2009•连云港模拟）元宵联欢晚会上，魔术师刘谦表演了一个魔术，用几个小正方形拼成一个大的正方形，现有四个小正方形的面积分别为a、b、c、d，且这四个小正方形能拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的边长为 ．
20．已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•北碚区校级期末）众所周知，所有实数都可以用数轴上的点来表示．其中，我们将数轴上表示正整数的点称为“正点”．取任意一个“正点”P，该数轴上到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b（a＜b）．定义：若数m＝b3﹣a3，则称数m为“复合数”．例如：若“正点”P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么m＝43﹣23＝56，所以56是“复合数”．【提示：b3﹣a3＝（b﹣a）（b2+ab+a2）．】
（1）请直接判断12是不是“复合数”，并且证明所有的“复合数”与2的差一定能被6整除；
（2）已知两个“复合数”的差是42，求这两个“复合数”．
22．（2021春•西城区校级期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：
72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．
（1）对10进行1次操作后变为 ，对200进行3次操作后变为 ；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m的取值范围是 ．
（3）恰需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
23．（2021春•黄埔区期中）已知一个正数m的两个不同的平方根是2a+3和1﹣3a，求m的值．
24．（2021春•长白县期中）判断下面各式是否成立
①；②；③．
探究：（1）你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：＝
（2）用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明．
25．（2020秋•未央区期中）若含根号的式子a+b可以写成式子m+n的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即a+b＝（m+n）2，则称a+b为子母根式，m+n为a+b的子母平方根，例如，因为3+2＝（1+）2，所以1是3+2的子母平方根．
（1）已知2+是a+b的子母平方根，则a＝ ，b＝ ．
（2）若m+n是a+b的子母平方根，用含m，n的式子分别表示a，b．
（3）已知21﹣12是子母根式，直接写出它的一个子母平方根．
26．（2020秋•越秀区期末）如图，数轴上点A，C对应的实数分别为﹣4和4，线段AC＝8cm，AB＝2cm，CD＝4cm，若线段AB以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1cm/秒的速度向左匀速运动．
（1）问运动多少秒时BC＝2cm？
（2）线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间？
（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD﹣AP＝3PC．若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
27．（2020秋•吉安期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果5+的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a+b的值．
28．（2020秋•广安期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，
例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；
而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和5两点之间的距离 ．
（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝ ．
（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝ ．
29．（2021春•硚口区期中）某同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，（如图所示）沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，请你用所学过的知识来说明能否用这块纸片裁出符合要求的纸片．
30．（2019秋•锦江区校级期末）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；
当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
如图3，当点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
如图4，当点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是 数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣4，则点A和B之间的距离是 ，若|AB|＝3，那么x为 ．
（3）当x是 时，代数式|x+2|+|x﹣1|＝7．
（4）若点A表示的数﹣1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点？（请写出必要的求解过程）．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•沙坪坝区校级期末）边长为1的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2023时停止运动，此时与2023重合的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点O
【考点】实数与数轴．
【专题】数形结合；数与式；应用意识．
【分析】滚动四次一个循环，用2023除以4，商即是循环的次数，由余数即可得到与2023重合的点．
【解答】解：∵2023÷4＝504......3，
∴与2023重合的点即是滚动后与3重合的点，
而与1重合的是C，与2重合的是B，与3重合的是A，
∴与2023重合的是A，
故选：A．
【点评】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是理解与2023重合的点即是与3重合的点．
2．（2021•霍邱县一模）数轴上A，B，C，D四点中，两点之间的距离最接近于+1的是（ ）
A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点A和点C
【考点】实数与数轴；估算无理数的大小．
【专题】实数；二次根式；应用意识．
【分析】先估算+1的大小，然后根据选项即可判断．
【解答】解：∵．
∴．
AB＝﹣1﹣（﹣2.5）＝1.5，BC＝1﹣（﹣1）＝2、CD＝3.5﹣1＝2.5、AC＝1﹣（﹣2.5）＝3.5．
故+1最接近的是点C和点D之间的距离．
故选：C．
【点评】本题考查无理数的估算大小、实数与数轴的关系．关键在于利用数轴，找到点之间的距离．
3．（2021春•郾城区期末）下列说法错误的是（ ）
A．﹣1的立方根是﹣1
B．3的平方根是
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
【考点】平方根；算术平方根；立方根．
【专题】运算能力．
【分析】根据立方根的定义和求法，平方根的定义和求法，以及算术平方根的定义和求法，逐项判定即可．
【解答】解：A、﹣1的立方根是﹣1，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、3的平方根是±，原说法错误，故此选项符合题意；
C、0.1是0.01的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、算术平方根是本身的数只有0和1，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了立方根、平方根、算术平方根．解题的关键是熟练掌握立方根的定义，平方根的定义，以及算术平方根的定义．
4．（2021•福州模拟）若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则①a＞﹣4；②b+d＜0；③|a|＜c2；④c＜的结论中，正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；运算能力．
【分析】①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大即可判断；
②根据异号两数的加法法则判断；
③注意到c是一个真分数，所以c2＜1，而|a|＞3，从而作出判断；
④先判断c2与d的大小，再开方即可．
【解答】解：①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大可知：a＞﹣1，符合题意；
②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，取d的符号正号，所以b+d＞0，不符合题意；
③∵|a|＞3，c2＜1，∴|a|＞c2，不符合题意；
④∵c2＜1，d＞2，∴c2＜d，∴c＜，符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，解题的关键是注意到c是一个真分数，所以c2＜1．
5．（2021•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0
【考点】绝对值；实数与数轴．
【专题】实数；运算能力；推理能力．
【分析】根据图象逐项判断对错．
【解答】解：A．由图象可得点A在﹣2左侧，
∴a＜﹣2，A选项错误，不符合题意．
B．∵a到0的距离大于b到0的距离，
∴|a|＞b，B选项正确，符合题意．
C．∵|a|＞b，a＜0，
∴﹣a＞b，
∴a+b＜0，C选项错误，不符合题意．
D．∵b＞a，
∴b﹣a＞0，D选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查数轴与绝对值，解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义．
6．（2021春•仓山区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．等于±2
B．2和﹣都是实数
C．无理数和数轴上的点一一对应
D．
【考点】算术平方根；实数与数轴；实数大小比较．
【专题】实数；推理能力．
【分析】A，根据算术平方根的定义判断．
B，根据实数的定义判断．
C，根据实数与数轴的对应关系判断．
D，根据无理数比较大小判断．
【解答】解：＝2，A选项错误，不符合题意．
2和﹣都是实数，B选项正确，符合题意．
实数和数轴上的点一一对应，C选项错误，不符合题意．
＞1，D选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查实数的大小比较与算式平方根，解题关键是掌握实数与平方根，算术平方根的意义．
7．（2021•东莞市二模）如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别1，，则⊙A的直径长为（ ）
A．﹣1 B．1﹣ C．2﹣2 D．2﹣2
【考点】实数与数轴．
【专题】数形结合；应用意识．
【分析】根据已知条件可以求出线段AB的长度，然后根据直径等于2倍的半径，即可解答．
【解答】解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为1和，
∴AB＝﹣1，
∵⊙A的直径为2AB＝2﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查知识点为求数轴上两点间的距离，解本题关键，求两点间的距离用大数减去小数，圆的直径等于2倍的半径．
8．（2021春•荣昌区校级月考）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当b＜a时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则a﹣b的立方根为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【考点】算术平方根；立方根；实数大小比较．
【专题】数与式；运算能力．
【分析】根据a，b的范围即可求出a﹣b的立方根．
【解答】解：∵min{，a}＝a，min{，b}＝．
∴a＜，b．
∵a，b是两个连续的正整数．
∴a＝5，b＝6．
∴a﹣b＝﹣1．
∴a﹣b的立方根等于﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查用新定义解决数学问题及无理数的估计，立方根的求法，正确理解新定义是求解本题的关键．
9．（2021春•福田区校级期中）对于实数a和b，定义两种新运算：①a*b＝（|a﹣b|+a+b），②a⊗b＝a11b，则（5⊗3）*（3⊗5）＝（ ）
A．355 B．533 C．533﹣355 D．533+355
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用根据新定义进而将原式变形得出答案．
【解答】解：（5⊗3）*（3⊗5）＝533*355
＝（|533﹣355|+533+355）
＝（355﹣533+533+355）
＝×2×355
＝355．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键．
10．（2021春•武昌区期中）已知≈0.5981，≈1.289，≈2.776，则≈（ ）
A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981
【考点】立方根．
【专题】实数；运算能力．
【分析】先将化简成含有的式子再计算．
【解答】解：＝＝×＝10≈2.776×10＝27.76．
故选：A．
【点评】本题考查求立方根的计算，解题关键是熟练掌握根式运算方法．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•福州模拟）已知a是整数，且a＜＜a+1，则a的值是 3 ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【分析】由27＜36＜64可得＜＜，从而得出a的值．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴a＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查无理数的估算，解题关键是将a与a+1转化与进行比较．
12．（2019秋•鹿邑县期末）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B示的数分别是1，3，如图所示．若BC＝2AB，则点C表示的数是 ﹣1 ．
【考点】实数与数轴．
【专题】数形结合．
【分析】先利用点A、B表示的数计算出AB，再计算出BC，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数．
【解答】解：∵点A，B表示的数分别是1，3，
∴AB＝3﹣1＝2，
∵BC＝2AB＝4，
∴OC＝BC﹣OB＝4﹣3＝1，
∵C在B的左侧，
∴点C表示的数是﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
13．（2019秋•东台市期末）在 ，3.14，0，0.101 001 000 1…， 中，无理数有 2 个．
【考点】无理数．
【专题】常规题型．
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：在 ，3.14，0，0.101 001 000 1…， 中，，0.101 001 000 1…是无理数，无理数有2个．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
14．（2020秋•朝阳区校级期中）若的小数部分为 ﹣3 ．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先估算出的范围，再得出答案即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴的整数部分为3，小数部分为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
15．（2020秋•淮阴区期中）如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为 ﹣1 ．
【考点】实数与数轴；勾股定理．
【分析】根据勾股定理求出PB的长，即PD的长，再根据两点间的距离公式求出点D对应的数．
【解答】解：由勾股定理知：PB＝＝＝，
∴PD＝，
∴点D表示的数为﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】此题考查了正方形的性质，勾股定理和实数与数轴，得出PD的长是解题的关键．
16．（2020春•西城区校级期中）已知4a+1的算术平方根是3，则a﹣10的立方根是 ﹣2 ．
【考点】算术平方根；立方根．
【分析】根据算术平方根定义得出4a+1＝9，求出a＝2，求出a﹣10的值，再根据立方根定义求出即可．
【解答】解：∵4a+1的算术平方根是3，
∴4a+1＝9，∴a＝2，
∴a﹣10的立方根是﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的应用，解此题的关键是能关键题意求出a的值，难度适中．
17．（2018秋•平谷区期末）已知，a，b是正整数．
（1）若是整数，则满足条件的a的值为 3 ；
（2）若是整数，则满足条件的有序数对（a，b）为 （3，7）或（12，28） ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数．
【分析】（1）依据是整数，可得＝1，即可得出满足条件的a的值为3；
（2）依据若是整数，分两种情况即可得出满足条件的有序数对（a，b）为（3，7）或（12，28）．
【解答】解：（1）若是整数，则＝1，
∴满足条件的a的值为3，
故答案为：3；
（2）若是整数，则
①当a＝3，b＝7时，＝+＝2；
②设a＝3×n2，则＝，
∴＝，
∴，
∴b＝，
∵b是正整数，
∴（n﹣1）2＝1，即n＝2，
∴当a＝12，b＝28时，＝+＝+＝1，
满足条件的有序数对（a，b）为：（3，7）或（12，28），
故答案为：（3，7）或（12，28）．
【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，分情况讨论是解决第（2）问的难点．
18．（2015秋•萧山区期末）一个长为3，宽为2的长方形从表示﹣1的点开始绕着逆时针翻转90°到达E点，则E点所表示的数是 ﹣3 ．
【考点】实数与数轴．
【分析】根据两点间的距离公式可求E点所表示的数．
【解答】解：﹣1﹣2＝﹣3．
故E点所表示的数是﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了实数与数轴，关键是熟练掌握两点间的距离公式．
19．（2009•连云港模拟）元宵联欢晚会上，魔术师刘谦表演了一个魔术，用几个小正方形拼成一个大的正方形，现有四个小正方形的面积分别为a、b、c、d，且这四个小正方形能拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的边长为 ．
【考点】算术平方根．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】利用正方形的面积公式计算即可求解．
【解答】解：设大正方形的边长为x，
则它的面积为x2，
在本题中大正方形的面积为四个小正方形面积的和有x2＝a+b+c+d，
∴x＝
故答案为：．
【点评】本题主要考查了利用算术平方根的定义解决实际问题，主要利用了正方形的面积公式和算术平方根的概念求解．
20．已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于 ﹣ ．
【考点】无理数．
【专题】创新题型．
【分析】先对分式进行化简，由于分式的结果是有理数，设分式的结果为m，得到关于m的方程，由m、a、b是有理数，x是无理数，确定m的系数和结果均为0，求出m和的值．
【解答】解：
＝
＝
∵x是无理数，∴x﹣2≠0，
所以原式＝
∵是有理数，
设＝m，
则4bmx+2017m＝3ax﹣2018
整理，得3a﹣4mb＝
因为m、a、b是有理数，x是无理数，
∴
解得m＝﹣，
＝＝﹣＝﹣
【点评】本题考查了分式的化简、及无理数、有理数的相关知识，题目难度较大，掌握有理数除以无理数若等于有理数，则该有理数一定为0是解决本题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•北碚区校级期末）众所周知，所有实数都可以用数轴上的点来表示．其中，我们将数轴上表示正整数的点称为“正点”．取任意一个“正点”P，该数轴上到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b（a＜b）．定义：若数m＝b3﹣a3，则称数m为“复合数”．例如：若“正点”P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么m＝43﹣23＝56，所以56是“复合数”．【提示：b3﹣a3＝（b﹣a）（b2+ab+a2）．】
（1）请直接判断12是不是“复合数”，并且证明所有的“复合数”与2的差一定能被6整除；
（2）已知两个“复合数”的差是42，求这两个“复合数”．
【考点】实数与数轴．
【专题】数与式；推理能力．
【分析】（1）直接利用定义进行判断12不是复合数，利用定义对复合数进行变形即可证明；
（2）借助（1）的证明，所有的复合数都可以写成6x2+2，设出两个复合数进行转化．
【解答】解：（1）∵133﹣113≠12，
∴12不是复合数，
设“正点”P所表示的数为x（x为正整数），
则a＝x﹣1，b＝x+1，
∴（x+1）3﹣（x﹣1）3
＝（x+1﹣x+1）（x2+2x+1+x2﹣1+x2﹣2x+1）
＝2（3x2+1）
＝6x2+2，
∴6x2+2﹣2＝6x2一定能被6整除．
（2）设两个复合数为6m2+2和6n2+2（m，n都是正整数），
∵两个“复合数”的差是42，
∴（6m2+2）﹣（6n2+2）＝42，
∴m2﹣n2＝7，
∵m，n都是正整数，
∴，
∴，
∴6m2+2＝98，6n2+2＝56，
这两个“复合数”为98和56．
【点评】本题是新定义题，主要考查学生的阅读理解能力，解决本题的关键是掌握“复合数”的定义．
22．（2021春•西城区校级期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：
72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．
（1）对10进行1次操作后变为 3 ，对200进行3次操作后变为 1 ；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m的取值范围是 4≤m＜16 ．
（3）恰需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 255 ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】创新题型；能力层次．
【分析】（1）根据[a]的含义和无理数的估计可求．
（2）根据[a]的含义倒推m的范围．
（3）根据[a]的含义求出这个数的范围，再求最大值．
【解答】解：（1）[]＝3．
200进行第一次操作：[]＝14，
第二次操作后：[]＝3．
第三次操作后：[]＝1．
故答案为：3，1．
（2）∵[x]＝1
.∴1≤x＜2．
∴1≤＜4．
∴1≤m＜16．
∵操作两次．
∴≥2．
∴m≥4．
∴4≤m≤16．
故答案为：4≤m＜16．
（3）设这个数是p，
∵[x]＝1
.∴1≤x＜2．
∴1≤＜2．
∴1≤m＜4．
∴1≤＜16．
∴1≤p＜256．
∵3次操作，故p≥16．
∴16≤p＜256．
∵p是整数．
∴p的最大值为255．
故答案为：255．
【点评】本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键．
23．（2021春•黄埔区期中）已知一个正数m的两个不同的平方根是2a+3和1﹣3a，求m的值．
【考点】平方根．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据它们的和为0，求出a的值，然后求出平方根，最后根据平方根的平方求出m的值．
【解答】解：根据题意得：（2a+3）+（1﹣3a）＝0，
2a+3+1﹣3a＝0，
﹣a＝﹣4，
a＝4，
∴2a+3
＝2×4+3
＝11，
∴m＝112＝121．
【点评】这道题考查平方根的定义，一个正数的两个平方根之间的关系，一个正数和它的平方根的关系，解题的关键是这两个平方根互为相反数，它们的和为0．
24．（2021春•长白县期中）判断下面各式是否成立
①；②；③．
探究：（1）你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：＝ 5
（2）用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明．
【考点】算术平方根．
【专题】规律型．
【分析】（1）利用已知得出＝，即可得出命题正确，同理即可得出其他正确性；
（2）利用（1）的方法，可以得出规律，并加以证明即可．
【解答】解：（1）①；
＝＝2；
②；
＝＝3；
③，
＝＝4；
∴＝5；
（2）∴＝n，
证明：＝＝＝n．
∴＝n（n≥2）．
【点评】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．
25．（2020秋•未央区期中）若含根号的式子a+b可以写成式子m+n的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即a+b＝（m+n）2，则称a+b为子母根式，m+n为a+b的子母平方根，例如，因为3+2＝（1+）2，所以1是3+2的子母平方根．
（1）已知2+是a+b的子母平方根，则a＝ 7 ，b＝ 4 ．
（2）若m+n是a+b的子母平方根，用含m，n的式子分别表示a，b．
（3）已知21﹣12是子母根式，直接写出它的一个子母平方根．
【考点】平方根．
【专题】新定义；实数；符号意识；运算能力．
【分析】（1）由（2+）2＝a+b，即7+4＝a+b，从而得出答案；
（2）由（m+n）2＝a+b，即（m2+6n2）+2mn＝a+b，从而得出答案；
（3）由21﹣12＝32﹣2×2×3+（2）2＝（3﹣2）2，根据子母平方根的定义可得答案．
【解答】解：（1）根据题意知（2+）2＝a+b，
∴4+4+3＝a+b，即7+4＝a+b，
∴a＝7，b＝4，
故答案为：7，4；
（2）根据题意知（m+n）2＝a+b，
则m2+2mn+6n2＝a+b，即（m2+6n2）+2mn＝a+b，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn；
（3）∵21﹣12＝32﹣2×2×3+（2）2＝（3﹣2）2，
∴3﹣2是21﹣12的子母根式．
【点评】本题主要考查平方根，解题的关键是掌握子母平方根的定义和完全平方公式．
26．（2020秋•越秀区期末）如图，数轴上点A，C对应的实数分别为﹣4和4，线段AC＝8cm，AB＝2cm，CD＝4cm，若线段AB以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1cm/秒的速度向左匀速运动．
（1）问运动多少秒时BC＝2cm？
（2）线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间？
（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD﹣AP＝3PC．若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
【考点】实数与数轴；一元一次方程的应用．
【专题】数与式；几何直观；推理能力．
【分析】（1）设运动t秒时，BC＝2cm，然后分点B在点C的左边和右边两种情况讨论，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据时间＝路程和÷速度和，进行计算即可求解；
（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．
【解答】解：（1）设运动t秒时，BC＝2cm，
①当点B在点C的左边时，由题意得：3t+2+t＝6，解得：t＝1；
②当点B在点C的右边时，由题意得：3t﹣2+t＝6，解得：t＝2．
∴t的值是1或2．
（2）（2+4）÷（3+1）＝1.5（秒）．
答：线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开，共经过1.5秒的时间．
（3）存在关系式BD﹣AP＝3PC．
设运动时间为t秒，
①当t＝3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD＝CD＝4，
PA+3PC＝AB+2PC＝2+2PC，
当PC＝1时，BD＝AP+3PC，即 BD﹣AP＝3PC；
②当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2；
当点P在线段BC上时，
BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，
AP+3PC＝AC+4PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣BC+4PC
当PC＝时，有BD＝AP+3PC，即 BD﹣AP＝3PC．
③当t＝时，点A与点C重合，
0＜PC≤2，BD＝CD﹣AB＝2AP+3PC＝4PC，
当PC＝时，有BD＝AP+3PC，即BD﹣AP＝3PC，
∵P在C点左侧或右侧
∴PD的长有2种可能，即5或3.5．
【点评】本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意对第三问进行分情况讨论，不要漏解．
27．（2020秋•吉安期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 5 ，小数部分是 ﹣5 ；
（2）如果5+的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a+b的值．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感．
【分析】（1）估算的近似值，即可得出的整数部分和小数部分；
（2）求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：（1）∵＜＜，
∴5＜＜6，
∴的整数部分为5，小数部分为﹣5，
故答案为：5，﹣5；
（2）∵2＜＜3，
∴7＜5+＜8，
∴5+的小数部分a＝5+﹣7＝﹣2，
∵2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴2＜5﹣＜3，
∴5﹣的整数部分为b＝2，
∴a+b＝﹣2+2＝3﹣2．
【点评】本题考查无理数的估算，掌握算术平方根的意义是正确估算的前提．
28．（2020秋•广安期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，
例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；
而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和5两点之间的距离 7 ．
（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝ ﹣2或4 ．
（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝ 6 ．
【考点】绝对值；实数与数轴．
【专题】计算题；实数．
【分析】（1）根据两点间的距离公式计算可得；
（2）由|x﹣1|＝3表示的意义为：在数轴上到表示1和x的点的距离为3，据此解答可得；
（3）由|x﹣2|+|x+4|表示在数轴上表示x的点到﹣4和2的点的距离之和，且x位于﹣4到2之间，据此解答可得．
【解答】解：（1）根据题意知数轴上表示﹣2和5两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7，
故答案为：7；
（2）∵|x﹣1|＝3，即在数轴上到表示1和x的点的距离为3，
∴x＝﹣2或x＝4，
故答案为：﹣2或4；
（3）∵|x﹣2|+|x+4|表示在数轴上表示x的点到﹣4和2的点的距离之和，且x位于﹣4到2之间，
∴|x﹣2|+|x+4|＝2﹣x+x+4＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了整式的加减，数轴，利用了两点间的距离公式，线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离．
29．（2021春•硚口区期中）某同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，（如图所示）沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，请你用所学过的知识来说明能否用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【考点】算术平方根．
【分析】先设长方形纸片的长为3x （x＞0）cm，则宽为2x cm，根据长方形的面积公式有3x⋅2x＝300，解得x＝5（负数舍去），易求长方形纸片的长是15，再去比较15与正方形的边长大小即可．
【解答】解：设长方形纸片的长为3x （x＞0）cm，则宽为2x cm，依题意得
3x⋅2x＝300，
6x2＝300，
x2＝50，
∵x＞0，
∴x＝＝5，
∴长方形纸片的长为15cm，
∵50＞49，
∴5＞7，
∴15＞21，即长方形纸片的长大于20cm，
由正方形纸片的面积为400 cm2，可知其边长为20cm，
∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．
答：不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先求出所裁出的长方形纸片的长．
30．（2019秋•锦江区校级期末）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；
当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
如图3，当点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
如图4，当点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是 5 数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 5 ．
（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣4，则点A和B之间的距离是 |x+4| ，若|AB|＝3，那么x为 ﹣1或7 ．
（3）当x是 ﹣4或3 时，代数式|x+2|+|x﹣1|＝7．
（4）若点A表示的数﹣1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点？（请写出必要的求解过程）．
【考点】绝对值；实数与数轴；一元一次方程的应用．
【专题】分类讨论；推理能力．
【分析】（1）直接运用结论|AB|＝|a﹣b|；
（2）根据点A和B之间的距离是|x+4|，若|AB|＝3，则|x+4|＝3，利用数轴求得x；
（3）对x进行分类，分别去掉绝对值解方程解决问题；
（4）设运动t秒后，有一点恰好是另两点所连线段的中点，分三类进行讨论，B，P，Q均可能为中点分别解决．
【解答】解：（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是|6﹣1|＝5，
数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|＝5．
（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣4，
则点A和B之间的距离是|x+4|，若|AB|＝3，
则|x+4|＝3，解得x＝﹣1或﹣7．
（3）当x＞1时，|x+2|+|x﹣1|＝x+2+x﹣1＝7，2x＝6，x＝3，
当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣1|＝﹣x﹣2+1﹣x＝7，﹣2x＝8，x＝﹣4，
当﹣2≤x≤1时，|x+2|+|x﹣1|＝x+2+1﹣x＝3≠7，∴当x＝﹣4或3时，代数式|x+2|+|x﹣1|＝7．
（4）设运动t秒后，有一点恰好是另两点所连线段的中点，由题意，得
①点B为线段PQ中点时，，解得，
②点P为线段BQ中点时，，解得，
③点Q为线段BP中点时，，解得t＝5．
答：运动或或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
【点评】本题主要考查了数轴上两点之间的距离表示方法，分类思想是解题的关键，属于试卷压轴题．
《实数》综合练习题
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•沙坪坝区校级期末）边长为1的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2023时停止运动，此时与2023重合的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点O
2．（2021•霍邱县一模）数轴上A，B，C，D四点中，两点之间的距离最接近于+1的是（ ）
A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点A和点C
3．（2021春•郾城区期末）下列说法错误的是（ ）
A．﹣1的立方根是﹣1
B．3的平方根是
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
4．（2021•福州模拟）若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则①a＞﹣4；②b+d＜0；③|a|＜c2；④c＜的结论中，正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
5．（2021•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0
6．（2021春•仓山区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．等于±2
B．2和﹣都是实数
C．无理数和数轴上的点一一对应
D．
7．（2021•东莞市二模）如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别1，，则⊙A的直径长为（ ）
A．﹣1 B．1﹣ C．2﹣2 D．2﹣2
8．（2021春•荣昌区校级月考）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当b＜a时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则a﹣b的立方根为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
9．（2021春•福田区校级期中）对于实数a和b，定义两种新运算：①a*b＝（|a﹣b|+a+b），②a⊗b＝a11b，则（5⊗3）*（3⊗5）＝（ ）
A．355 B．533 C．533﹣355 D．533+355
10．（2021春•武昌区期中）已知≈0.5981，≈1.289，≈2.776，则≈（ ）
A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981
二．填空题（共10小题）
11．（2021•福州模拟）已知a是整数，且a＜＜a+1，则a的值是 ．
12．（2019秋•鹿邑县期末）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B示的数分别是1，3，如图所示．若BC＝2AB，则点C表示的数是 ．
13．（2019秋•东台市期末）在 ，3.14，0，0.101 001 000 1…， 中，无理数有 个．
14．（2020秋•朝阳区校级期中）若的小数部分为 ．
15．（2020秋•淮阴区期中）如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为 ．
16．（2020春•西城区校级期中）已知4a+1的算术平方根是3，则a﹣10的立方根是 ．
17．（2018秋•平谷区期末）已知，a，b是正整数．
（1）若是整数，则满足条件的a的值为 ；
（2）若是整数，则满足条件的有序数对（a，b）为 ．
18．（2015秋•萧山区期末）一个长为3，宽为2的长方形从表示﹣1的点开始绕着逆时针翻转90°到达E点，则E点所表示的数是 ．
19．（2009•连云港模拟）元宵联欢晚会上，魔术师刘谦表演了一个魔术，用几个小正方形拼成一个大的正方形，现有四个小正方形的面积分别为a、b、c、d，且这四个小正方形能拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的边长为 ．
20．已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•北碚区校级期末）众所周知，所有实数都可以用数轴上的点来表示．其中，我们将数轴上表示正整数的点称为“正点”．取任意一个“正点”P，该数轴上到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b（a＜b）．定义：若数m＝b3﹣a3，则称数m为“复合数”．例如：若“正点”P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么m＝43﹣23＝56，所以56是“复合数”．【提示：b3﹣a3＝（b﹣a）（b2+ab+a2）．】
（1）请直接判断12是不是“复合数”，并且证明所有的“复合数”与2的差一定能被6整除；
（2）已知两个“复合数”的差是42，求这两个“复合数”．
22．（2021春•西城区校级期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：
72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．
（1）对10进行1次操作后变为 ，对200进行3次操作后变为 ；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m的取值范围是 ．
（3）恰需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
23．（2021春•黄埔区期中）已知一个正数m的两个不同的平方根是2a+3和1﹣3a，求m的值．
24．（2021春•长白县期中）判断下面各式是否成立
①；②；③．
探究：（1）你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：＝
（2）用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明．
25．（2020秋•未央区期中）若含根号的式子a+b可以写成式子m+n的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即a+b＝（m+n）2，则称a+b为子母根式，m+n为a+b的子母平方根，例如，因为3+2＝（1+）2，所以1是3+2的子母平方根．
（1）已知2+是a+b的子母平方根，则a＝ ，b＝ ．
（2）若m+n是a+b的子母平方根，用含m，n的式子分别表示a，b．
（3）已知21﹣12是子母根式，直接写出它的一个子母平方根．
26．（2020秋•越秀区期末）如图，数轴上点A，C对应的实数分别为﹣4和4，线段AC＝8cm，AB＝2cm，CD＝4cm，若线段AB以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1cm/秒的速度向左匀速运动．
（1）问运动多少秒时BC＝2cm？
（2）线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间？
（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD﹣AP＝3PC．若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
27．（2020秋•吉安期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果5+的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a+b的值．
28．（2020秋•广安期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，
例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；
而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和5两点之间的距离 ．
（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝ ．
（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝ ．
29．（2021春•硚口区期中）某同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，（如图所示）沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，请你用所学过的知识来说明能否用这块纸片裁出符合要求的纸片．
30．（2019秋•锦江区校级期末）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；
当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
如图3，当点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
如图4，当点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是 数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣4，则点A和B之间的距离是 ，若|AB|＝3，那么x为 ．
（3）当x是 时，代数式|x+2|+|x﹣1|＝7．
（4）若点A表示的数﹣1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点？（请写出必要的求解过程）．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•沙坪坝区校级期末）边长为1的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2023时停止运动，此时与2023重合的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点O
【考点】实数与数轴．
【专题】数形结合；数与式；应用意识．
【分析】滚动四次一个循环，用2023除以4，商即是循环的次数，由余数即可得到与2023重合的点．
【解答】解：∵2023÷4＝504......3，
∴与2023重合的点即是滚动后与3重合的点，
而与1重合的是C，与2重合的是B，与3重合的是A，
∴与2023重合的是A，
故选：A．
【点评】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是理解与2023重合的点即是与3重合的点．
2．（2021•霍邱县一模）数轴上A，B，C，D四点中，两点之间的距离最接近于+1的是（ ）
A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点A和点C
【考点】实数与数轴；估算无理数的大小．
【专题】实数；二次根式；应用意识．
【分析】先估算+1的大小，然后根据选项即可判断．
【解答】解：∵．
∴．
AB＝﹣1﹣（﹣2.5）＝1.5，BC＝1﹣（﹣1）＝2、CD＝3.5﹣1＝2.5、AC＝1﹣（﹣2.5）＝3.5．
故+1最接近的是点C和点D之间的距离．
故选：C．
【点评】本题考查无理数的估算大小、实数与数轴的关系．关键在于利用数轴，找到点之间的距离．
3．（2021春•郾城区期末）下列说法错误的是（ ）
A．﹣1的立方根是﹣1
B．3的平方根是
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
【考点】平方根；算术平方根；立方根．
【专题】运算能力．
【分析】根据立方根的定义和求法，平方根的定义和求法，以及算术平方根的定义和求法，逐项判定即可．
【解答】解：A、﹣1的立方根是﹣1，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、3的平方根是±，原说法错误，故此选项符合题意；
C、0.1是0.01的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、算术平方根是本身的数只有0和1，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了立方根、平方根、算术平方根．解题的关键是熟练掌握立方根的定义，平方根的定义，以及算术平方根的定义．
4．（2021•福州模拟）若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则①a＞﹣4；②b+d＜0；③|a|＜c2；④c＜的结论中，正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；运算能力．
【分析】①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大即可判断；
②根据异号两数的加法法则判断；
③注意到c是一个真分数，所以c2＜1，而|a|＞3，从而作出判断；
④先判断c2与d的大小，再开方即可．
【解答】解：①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大可知：a＞﹣1，符合题意；
②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，取d的符号正号，所以b+d＞0，不符合题意；
③∵|a|＞3，c2＜1，∴|a|＞c2，不符合题意；
④∵c2＜1，d＞2，∴c2＜d，∴c＜，符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，解题的关键是注意到c是一个真分数，所以c2＜1．
5．（2021•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0
【考点】绝对值；实数与数轴．
【专题】实数；运算能力；推理能力．
【分析】根据图象逐项判断对错．
【解答】解：A．由图象可得点A在﹣2左侧，
∴a＜﹣2，A选项错误，不符合题意．
B．∵a到0的距离大于b到0的距离，
∴|a|＞b，B选项正确，符合题意．
C．∵|a|＞b，a＜0，
∴﹣a＞b，
∴a+b＜0，C选项错误，不符合题意．
D．∵b＞a，
∴b﹣a＞0，D选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查数轴与绝对值，解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义．
6．（2021春•仓山区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．等于±2
B．2和﹣都是实数
C．无理数和数轴上的点一一对应
D．
【考点】算术平方根；实数与数轴；实数大小比较．
【专题】实数；推理能力．
【分析】A，根据算术平方根的定义判断．
B，根据实数的定义判断．
C，根据实数与数轴的对应关系判断．
D，根据无理数比较大小判断．
【解答】解：＝2，A选项错误，不符合题意．
2和﹣都是实数，B选项正确，符合题意．
实数和数轴上的点一一对应，C选项错误，不符合题意．
＞1，D选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查实数的大小比较与算式平方根，解题关键是掌握实数与平方根，算术平方根的意义．
7．（2021•东莞市二模）如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别1，，则⊙A的直径长为（ ）
A．﹣1 B．1﹣ C．2﹣2 D．2﹣2
【考点】实数与数轴．
【专题】数形结合；应用意识．
【分析】根据已知条件可以求出线段AB的长度，然后根据直径等于2倍的半径，即可解答．
【解答】解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为1和，
∴AB＝﹣1，
∵⊙A的直径为2AB＝2﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查知识点为求数轴上两点间的距离，解本题关键，求两点间的距离用大数减去小数，圆的直径等于2倍的半径．
8．（2021春•荣昌区校级月考）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当b＜a时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则a﹣b的立方根为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【考点】算术平方根；立方根；实数大小比较．
【专题】数与式；运算能力．
【分析】根据a，b的范围即可求出a﹣b的立方根．
【解答】解：∵min{，a}＝a，min{，b}＝．
∴a＜，b．
∵a，b是两个连续的正整数．
∴a＝5，b＝6．
∴a﹣b＝﹣1．
∴a﹣b的立方根等于﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查用新定义解决数学问题及无理数的估计，立方根的求法，正确理解新定义是求解本题的关键．
9．（2021春•福田区校级期中）对于实数a和b，定义两种新运算：①a*b＝（|a﹣b|+a+b），②a⊗b＝a11b，则（5⊗3）*（3⊗5）＝（ ）
A．355 B．533 C．533﹣355 D．533+355
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用根据新定义进而将原式变形得出答案．
【解答】解：（5⊗3）*（3⊗5）＝533*355
＝（|533﹣355|+533+355）
＝（355﹣533+533+355）
＝×2×355
＝355．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键．
10．（2021春•武昌区期中）已知≈0.5981，≈1.289，≈2.776，则≈（ ）
A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981
【考点】立方根．
【专题】实数；运算能力．
【分析】先将化简成含有的式子再计算．
【解答】解：＝＝×＝10≈2.776×10＝27.76．
故选：A．
【点评】本题考查求立方根的计算，解题关键是熟练掌握根式运算方法．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•福州模拟）已知a是整数，且a＜＜a+1，则a的值是 3 ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【分析】由27＜36＜64可得＜＜，从而得出a的值．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴a＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查无理数的估算，解题关键是将a与a+1转化与进行比较．
12．（2019秋•鹿邑县期末）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B示的数分别是1，3，如图所示．若BC＝2AB，则点C表示的数是 ﹣1 ．
【考点】实数与数轴．
【专题】数形结合．
【分析】先利用点A、B表示的数计算出AB，再计算出BC，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数．
【解答】解：∵点A，B表示的数分别是1，3，
∴AB＝3﹣1＝2，
∵BC＝2AB＝4，
∴OC＝BC﹣OB＝4﹣3＝1，
∵C在B的左侧，
∴点C表示的数是﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
13．（2019秋•东台市期末）在 ，3.14，0，0.101 001 000 1…， 中，无理数有 2 个．
【考点】无理数．
【专题】常规题型．
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：在 ，3.14，0，0.101 001 000 1…， 中，，0.101 001 000 1…是无理数，无理数有2个．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
14．（2020秋•朝阳区校级期中）若的小数部分为 ﹣3 ．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先估算出的范围，再得出答案即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴的整数部分为3，小数部分为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
15．（2020秋•淮阴区期中）如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为 ﹣1 ．
【考点】实数与数轴；勾股定理．
【分析】根据勾股定理求出PB的长，即PD的长，再根据两点间的距离公式求出点D对应的数．
【解答】解：由勾股定理知：PB＝＝＝，
∴PD＝，
∴点D表示的数为﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】此题考查了正方形的性质，勾股定理和实数与数轴，得出PD的长是解题的关键．
16．（2020春•西城区校级期中）已知4a+1的算术平方根是3，则a﹣10的立方根是 ﹣2 ．
【考点】算术平方根；立方根．
【分析】根据算术平方根定义得出4a+1＝9，求出a＝2，求出a﹣10的值，再根据立方根定义求出即可．
【解答】解：∵4a+1的算术平方根是3，
∴4a+1＝9，∴a＝2，
∴a﹣10的立方根是﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的应用，解此题的关键是能关键题意求出a的值，难度适中．
17．（2018秋•平谷区期末）已知，a，b是正整数．
（1）若是整数，则满足条件的a的值为 3 ；
（2）若是整数，则满足条件的有序数对（a，b）为 （3，7）或（12，28） ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数．
【分析】（1）依据是整数，可得＝1，即可得出满足条件的a的值为3；
（2）依据若是整数，分两种情况即可得出满足条件的有序数对（a，b）为（3，7）或（12，28）．
【解答】解：（1）若是整数，则＝1，
∴满足条件的a的值为3，
故答案为：3；
（2）若是整数，则
①当a＝3，b＝7时，＝+＝2；
②设a＝3×n2，则＝，
∴＝，
∴，
∴b＝，
∵b是正整数，
∴（n﹣1）2＝1，即n＝2，
∴当a＝12，b＝28时，＝+＝+＝1，
满足条件的有序数对（a，b）为：（3，7）或（12，28），
故答案为：（3，7）或（12，28）．
【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，分情况讨论是解决第（2）问的难点．
18．（2015秋•萧山区期末）一个长为3，宽为2的长方形从表示﹣1的点开始绕着逆时针翻转90°到达E点，则E点所表示的数是 ﹣3 ．
【考点】实数与数轴．
【分析】根据两点间的距离公式可求E点所表示的数．
【解答】解：﹣1﹣2＝﹣3．
故E点所表示的数是﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了实数与数轴，关键是熟练掌握两点间的距离公式．
19．（2009•连云港模拟）元宵联欢晚会上，魔术师刘谦表演了一个魔术，用几个小正方形拼成一个大的正方形，现有四个小正方形的面积分别为a、b、c、d，且这四个小正方形能拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的边长为 ．
【考点】算术平方根．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】利用正方形的面积公式计算即可求解．
【解答】解：设大正方形的边长为x，
则它的面积为x2，
在本题中大正方形的面积为四个小正方形面积的和有x2＝a+b+c+d，
∴x＝
故答案为：．
【点评】本题主要考查了利用算术平方根的定义解决实际问题，主要利用了正方形的面积公式和算术平方根的概念求解．
20．已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于 ﹣ ．
【考点】无理数．
【专题】创新题型．
【分析】先对分式进行化简，由于分式的结果是有理数，设分式的结果为m，得到关于m的方程，由m、a、b是有理数，x是无理数，确定m的系数和结果均为0，求出m和的值．
【解答】解：
＝
＝
∵x是无理数，∴x﹣2≠0，
所以原式＝
∵是有理数，
设＝m，
则4bmx+2017m＝3ax﹣2018
整理，得3a﹣4mb＝
因为m、a、b是有理数，x是无理数，
∴
解得m＝﹣，
＝＝﹣＝﹣
【点评】本题考查了分式的化简、及无理数、有理数的相关知识，题目难度较大，掌握有理数除以无理数若等于有理数，则该有理数一定为0是解决本题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•北碚区校级期末）众所周知，所有实数都可以用数轴上的点来表示．其中，我们将数轴上表示正整数的点称为“正点”．取任意一个“正点”P，该数轴上到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b（a＜b）．定义：若数m＝b3﹣a3，则称数m为“复合数”．例如：若“正点”P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么m＝43﹣23＝56，所以56是“复合数”．【提示：b3﹣a3＝（b﹣a）（b2+ab+a2）．】
（1）请直接判断12是不是“复合数”，并且证明所有的“复合数”与2的差一定能被6整除；
（2）已知两个“复合数”的差是42，求这两个“复合数”．
【考点】实数与数轴．
【专题】数与式；推理能力．
【分析】（1）直接利用定义进行判断12不是复合数，利用定义对复合数进行变形即可证明；
（2）借助（1）的证明，所有的复合数都可以写成6x2+2，设出两个复合数进行转化．
【解答】解：（1）∵133﹣113≠12，
∴12不是复合数，
设“正点”P所表示的数为x（x为正整数），
则a＝x﹣1，b＝x+1，
∴（x+1）3﹣（x﹣1）3
＝（x+1﹣x+1）（x2+2x+1+x2﹣1+x2﹣2x+1）
＝2（3x2+1）
＝6x2+2，
∴6x2+2﹣2＝6x2一定能被6整除．
（2）设两个复合数为6m2+2和6n2+2（m，n都是正整数），
∵两个“复合数”的差是42，
∴（6m2+2）﹣（6n2+2）＝42，
∴m2﹣n2＝7，
∵m，n都是正整数，
∴，
∴，
∴6m2+2＝98，6n2+2＝56，
这两个“复合数”为98和56．
【点评】本题是新定义题，主要考查学生的阅读理解能力，解决本题的关键是掌握“复合数”的定义．
22．（2021春•西城区校级期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：
72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．
（1）对10进行1次操作后变为 3 ，对200进行3次操作后变为 1 ；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m的取值范围是 4≤m＜16 ．
（3）恰需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 255 ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】创新题型；能力层次．
【分析】（1）根据[a]的含义和无理数的估计可求．
（2）根据[a]的含义倒推m的范围．
（3）根据[a]的含义求出这个数的范围，再求最大值．
【解答】解：（1）[]＝3．
200进行第一次操作：[]＝14，
第二次操作后：[]＝3．
第三次操作后：[]＝1．
故答案为：3，1．
（2）∵[x]＝1
.∴1≤x＜2．
∴1≤＜4．
∴1≤m＜16．
∵操作两次．
∴≥2．
∴m≥4．
∴4≤m≤16．
故答案为：4≤m＜16．
（3）设这个数是p，
∵[x]＝1
.∴1≤x＜2．
∴1≤＜2．
∴1≤m＜4．
∴1≤＜16．
∴1≤p＜256．
∵3次操作，故p≥16．
∴16≤p＜256．
∵p是整数．
∴p的最大值为255．
故答案为：255．
【点评】本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键．
23．（2021春•黄埔区期中）已知一个正数m的两个不同的平方根是2a+3和1﹣3a，求m的值．
【考点】平方根．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据它们的和为0，求出a的值，然后求出平方根，最后根据平方根的平方求出m的值．
【解答】解：根据题意得：（2a+3）+（1﹣3a）＝0，
2a+3+1﹣3a＝0，
﹣a＝﹣4，
a＝4，
∴2a+3
＝2×4+3
＝11，
∴m＝112＝121．
【点评】这道题考查平方根的定义，一个正数的两个平方根之间的关系，一个正数和它的平方根的关系，解题的关键是这两个平方根互为相反数，它们的和为0．
24．（2021春•长白县期中）判断下面各式是否成立
①；②；③．
探究：（1）你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：＝ 5
（2）用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明．
【考点】算术平方根．
【专题】规律型．
【分析】（1）利用已知得出＝，即可得出命题正确，同理即可得出其他正确性；
（2）利用（1）的方法，可以得出规律，并加以证明即可．
【解答】解：（1）①；
＝＝2；
②；
＝＝3；
③，
＝＝4；
∴＝5；
（2）∴＝n，
证明：＝＝＝n．
∴＝n（n≥2）．
【点评】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．
25．（2020秋•未央区期中）若含根号的式子a+b可以写成式子m+n的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即a+b＝（m+n）2，则称a+b为子母根式，m+n为a+b的子母平方根，例如，因为3+2＝（1+）2，所以1是3+2的子母平方根．
（1）已知2+是a+b的子母平方根，则a＝ 7 ，b＝ 4 ．
（2）若m+n是a+b的子母平方根，用含m，n的式子分别表示a，b．
（3）已知21﹣12是子母根式，直接写出它的一个子母平方根．
【考点】平方根．
【专题】新定义；实数；符号意识；运算能力．
【分析】（1）由（2+）2＝a+b，即7+4＝a+b，从而得出答案；
（2）由（m+n）2＝a+b，即（m2+6n2）+2mn＝a+b，从而得出答案；
（3）由21﹣12＝32﹣2×2×3+（2）2＝（3﹣2）2，根据子母平方根的定义可得答案．
【解答】解：（1）根据题意知（2+）2＝a+b，
∴4+4+3＝a+b，即7+4＝a+b，
∴a＝7，b＝4，
故答案为：7，4；
（2）根据题意知（m+n）2＝a+b，
则m2+2mn+6n2＝a+b，即（m2+6n2）+2mn＝a+b，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn；
（3）∵21﹣12＝32﹣2×2×3+（2）2＝（3﹣2）2，
∴3﹣2是21﹣12的子母根式．
【点评】本题主要考查平方根，解题的关键是掌握子母平方根的定义和完全平方公式．
26．（2020秋•越秀区期末）如图，数轴上点A，C对应的实数分别为﹣4和4，线段AC＝8cm，AB＝2cm，CD＝4cm，若线段AB以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1cm/秒的速度向左匀速运动．
（1）问运动多少秒时BC＝2cm？
（2）线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间？
（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD﹣AP＝3PC．若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
【考点】实数与数轴；一元一次方程的应用．
【专题】数与式；几何直观；推理能力．
【分析】（1）设运动t秒时，BC＝2cm，然后分点B在点C的左边和右边两种情况讨论，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据时间＝路程和÷速度和，进行计算即可求解；
（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．
【解答】解：（1）设运动t秒时，BC＝2cm，
①当点B在点C的左边时，由题意得：3t+2+t＝6，解得：t＝1；
②当点B在点C的右边时，由题意得：3t﹣2+t＝6，解得：t＝2．
∴t的值是1或2．
（2）（2+4）÷（3+1）＝1.5（秒）．
答：线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开，共经过1.5秒的时间．
（3）存在关系式BD﹣AP＝3PC．
设运动时间为t秒，
①当t＝3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD＝CD＝4，
PA+3PC＝AB+2PC＝2+2PC，
当PC＝1时，BD＝AP+3PC，即 BD﹣AP＝3PC；
②当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2；
当点P在线段BC上时，
BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，
AP+3PC＝AC+4PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣BC+4PC
当PC＝时，有BD＝AP+3PC，即 BD﹣AP＝3PC．
③当t＝时，点A与点C重合，
0＜PC≤2，BD＝CD﹣AB＝2AP+3PC＝4PC，
当PC＝时，有BD＝AP+3PC，即BD﹣AP＝3PC，
∵P在C点左侧或右侧
∴PD的长有2种可能，即5或3.5．
【点评】本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意对第三问进行分情况讨论，不要漏解．
27．（2020秋•吉安期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 5 ，小数部分是 ﹣5 ；
（2）如果5+的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a+b的值．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感．
【分析】（1）估算的近似值，即可得出的整数部分和小数部分；
（2）求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：（1）∵＜＜，
∴5＜＜6，
∴的整数部分为5，小数部分为﹣5，
故答案为：5，﹣5；
（2）∵2＜＜3，
∴7＜5+＜8，
∴5+的小数部分a＝5+﹣7＝﹣2，
∵2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴2＜5﹣＜3，
∴5﹣的整数部分为b＝2，
∴a+b＝﹣2+2＝3﹣2．
【点评】本题考查无理数的估算，掌握算术平方根的意义是正确估算的前提．
28．（2020秋•广安期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，
例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；
而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和5两点之间的距离 7 ．
（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝ ﹣2或4 ．
（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝ 6 ．
【考点】绝对值；实数与数轴．
【专题】计算题；实数．
【分析】（1）根据两点间的距离公式计算可得；
（2）由|x﹣1|＝3表示的意义为：在数轴上到表示1和x的点的距离为3，据此解答可得；
（3）由|x﹣2|+|x+4|表示在数轴上表示x的点到﹣4和2的点的距离之和，且x位于﹣4到2之间，据此解答可得．
【解答】解：（1）根据题意知数轴上表示﹣2和5两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7，
故答案为：7；
（2）∵|x﹣1|＝3，即在数轴上到表示1和x的点的距离为3，
∴x＝﹣2或x＝4，
故答案为：﹣2或4；
（3）∵|x﹣2|+|x+4|表示在数轴上表示x的点到﹣4和2的点的距离之和，且x位于﹣4到2之间，
∴|x﹣2|+|x+4|＝2﹣x+x+4＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了整式的加减，数轴，利用了两点间的距离公式，线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离．
29．（2021春•硚口区期中）某同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，（如图所示）沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，请你用所学过的知识来说明能否用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【考点】算术平方根．
【分析】先设长方形纸片的长为3x （x＞0）cm，则宽为2x cm，根据长方形的面积公式有3x⋅2x＝300，解得x＝5（负数舍去），易求长方形纸片的长是15，再去比较15与正方形的边长大小即可．
【解答】解：设长方形纸片的长为3x （x＞0）cm，则宽为2x cm，依题意得
3x⋅2x＝300，
6x2＝300，
x2＝50，
∵x＞0，
∴x＝＝5，
∴长方形纸片的长为15cm，
∵50＞49，
∴5＞7，
∴15＞21，即长方形纸片的长大于20cm，
由正方形纸片的面积为400 cm2，可知其边长为20cm，
∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．
答：不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先求出所裁出的长方形纸片的长．
30．（2019秋•锦江区校级期末）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；
当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
如图3，当点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
如图4，当点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是 5 数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 5 ．
（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣4，则点A和B之间的距离是 |x+4| ，若|AB|＝3，那么x为 ﹣1或7 ．
（3）当x是 ﹣4或3 时，代数式|x+2|+|x﹣1|＝7．
（4）若点A表示的数﹣1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点？（请写出必要的求解过程）．
【考点】绝对值；实数与数轴；一元一次方程的应用．
【专题】分类讨论；推理能力．
【分析】（1）直接运用结论|AB|＝|a﹣b|；
（2）根据点A和B之间的距离是|x+4|，若|AB|＝3，则|x+4|＝3，利用数轴求得x；
（3）对x进行分类，分别去掉绝对值解方程解决问题；
（4）设运动t秒后，有一点恰好是另两点所连线段的中点，分三类进行讨论，B，P，Q均可能为中点分别解决．
【解答】解：（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是|6﹣1|＝5，
数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|＝5．
（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣4，
则点A和B之间的距离是|x+4|，若|AB|＝3，
则|x+4|＝3，解得x＝﹣1或﹣7．
（3）当x＞1时，|x+2|+|x﹣1|＝x+2+x﹣1＝7，2x＝6，x＝3，
当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣1|＝﹣x﹣2+1﹣x＝7，﹣2x＝8，x＝﹣4，
当﹣2≤x≤1时，|x+2|+|x﹣1|＝x+2+1﹣x＝3≠7，∴当x＝﹣4或3时，代数式|x+2|+|x﹣1|＝7．
（4）设运动t秒后，有一点恰好是另两点所连线段的中点，由题意，得
①点B为线段PQ中点时，，解得，
②点P为线段BQ中点时，，解得，
③点Q为线段BP中点时，，解得t＝5．
答：运动或或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
【点评】本题主要考查了数轴上两点之间的距离表示方法，分类思想是解题的关键，属于试卷压轴题．
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