2021年北京丰台区北京师范大学第四附属中学高中部高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京丰台区北京师范大学第四附属中学高中部高二上学期期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 已知 a∈R，命题“∀x∈0,+∞，等式 lnx=a 成立”的否定形式是
A. ∀x∈0,+∞，等式 lnx=a 不成立
B. ∀x∈−∞,0，等式 lnx=a 不成立
C. ∃x0∈0,+∞，等式 lnx0=a 不成立
D. ∃x0∈−∞,0，等式 lnx0=a 不成立

2. 若焦点在 x 轴上的椭圆 C：x2a2+y25=1a>0 的离心率为 23，则 a 的值为
A. 9B. 6C. 3D. 2

3. 设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，且 m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是
A. 若 α⊥β，则 m⊥nB. 若 α∥β，则 m∥n
C. 若 m⊥n，则 α⊥βD. 若 n⊥α，则 α⊥β

4. 如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=BC=12AA1，E 为 BC 的中点，则异面直线 A1E 与 D1C1 所成角的正切值为
A. 2B. 455C. 172D. 22121

5. 已知 A−3,0，B0,4，点 P 为直线 y=x 上一点，过 A，B，P 三点的圆记作圆 C，则“点 P 为原点”是“圆 C 的半径取得最小值”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

6. 图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是
A. B.
C. D.

7. 经过两点 A4,2y+1，B2,−3 的直线的倾斜角为 3π4，则 y=
A. −1B. −3C. 0D. 2

8. 某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是
A. 2B. 1C. 23D. 13

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 点 −1,1 到直线 x+y−2=0 的距离为 ．

10. 双曲线 x24−y2=1 的渐近线方程为 ．

11. 若 x，y 满足约束条件 x−y+1≥0,x+y−3≥0,x−3≤0, 则 z=x+2y 的最小值为 ．

12. 已知球的体积为 36π，球的表面积是 ．

13. 已知点 M2,26，点 F 为抛物线 y2=2pxp>0 的焦点，点 P 是该抛物线上的一个动点．若 ∣PF∣+∣PM∣ 的最小值为 5，则 p 的值为 ．

14. 已知直线 lk:y=kx+k2k∈R，下列说法中正确的是 ．（注：把你认为所有正确选项的序号均填上）
① lk 与抛物线 y=−x24 均相切；
② lk 与圆 x2+y+12=1 均无交点；
③存在直线 l，使得 l 与 lk 均不相交；
④对任意的 i,j∈Ri≠j，直线 li，lj 相交．

三、解答题（共6小题；共78分）
15. 已知 △ABC 的顶点 A5,1，AB 边上的中线 CM 所在的直线方程为 2x−y−5=0，AC 边上的高 BH 所在的直线方程为 x−2y−5=0．求：
（1）AC 所在的直线方程；
（2）点 B 的坐标．

16. 三棱柱 ABC−A1B1C1 中，AB=AC，侧棱AA1⊥平面ABC，E，F 分别为 A1B1，A1C1 的中点．
（1）求证：B1C1∥面BEF；
（2）过点 A 存在一条直线与平面 BEF 垂直，请你在图中画出这条直线（保留作图痕迹，不必说明理由）．

17. 已知圆 C 的圆心在直线 x−3y=0 上，且与 y 轴相切于点 0,1．
（1）求圆 C 的方程；
（2）若圆 C 与直线 l：x−y+m=0 交于 A，B 两点，分别连接圆心 C 与 A，B 两点，若 CA⊥CB，求 m 的值．

18. 如图 1，在等边 △ABC 中，D，E，F 分别为 AB，AC，BC 的中点．将 △ABF 沿 AF 折起，得到如图 2 所示的三棱锥 A−BCF．
（1）证明：AF⊥BC；
（2）当 ∠BFC=120∘ 时，求二面角 A−DE−F 的余弦值．
（3）在（2）的条件下，在线段 BC 上是否存在一点 N，使得 平面ABF⊥平面FDN?若存在，求出 ∣BN∣∣BC∣ 的值；若不存在，说明理由．

19. 已知动点 P 到点 A−2,0 与点 B2,0 的斜率之积为 −14，点 P 的轨迹为曲线 C．
（1）求曲线 C 的轨迹方程；
（2）过点 D1,0 作直线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，连接 PB，QB 分别与直线 x=3 交于 M，N 两点．若 △BPQ 和 △BMN 的面积相等，求直线 l 的方程．

20. 在平面直角坐标系中，设 Ax1,y1，Bx2,y2．定义：dαA,B=x1−x2α+y1−y2α1α，其中 α∈R+（R+ 表示正实数）．
（1）设 A1,1，B2,3，求 d1A,B 和 d2A,B 的值；
（2）求证：对平面中任意两点 A 和 B 都有 d2A,B≤d1A,B≤2d2A,B；
（3）设 Mx,y，O 为原点，记 Dα=Mx,ydαM,O≤1,α∈R+．若 0<α<β，试写出 Dα 与 Dβ 的关系（只需写出结论，不必证明）．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. D【解析】对于A，若 α⊥β，则 m，n 位置关系不定，不正确；
对于B，若 α∥β，则 m∥n 或 m，n 异面，不正确；
对于C，若 m⊥n，则 α，β 位置关系不定，不正确；
对于D，根据平面与平面垂直的判定可知正确．
4. C【解析】以 D 原点，DA 为 x 轴，AC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
设 AB=BC=12AA1=1，则 A11,0,2，E12,1,0，C10,1,2，D10,0,2，A1E=−12,1,−2，D1C1=0,1,0，设异面直线 A1E 与 D1C1 所成角为 θ，则 csθ=A1E⋅D1C1A1E⋅D1C1=1214×1=221，sinθ=1−2212=1721，
所以 tanθ=1721221=172．
所以异面直线 A1E 与 D1C1 所成角的正切值为 172．
5. A
6. B【解析】由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．
可得捕食者和被捕食者数量与时间以 10 年为周期呈周期性变化，
故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状．
7. B【解析】由 2y+1−−34−2=2y+42=y+2，得 y+2=tan3π4=−1，所以 y=−3．
8. A【解析】根据三视图可知几何体是一个三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是 1，2，侧棱与底面垂直，侧棱长是 2．
所以几何体的体积是 12×1×2×2=2．
第二部分
9. 2
10. y=±12x
11. 3
12. 36π
13. 2 或 6
14. ①③④
第三部分
15. （1） 因为 AC⊥BH，
所以设 AC 所在的直线方程为 2x+y+t=0．
把 A5,1 代入直线方程为 2x+y+t=0，解得 t=−11．
所以 AC 所在的直线方程为 2x+y−11=0．
（2） 设 Bx0,y0，则 AB 的中点为 x0+52,y0+12．
联立方程组 x0−2y0−5=0,2×x0+52−y0+12−5=0.
化简得 x0−2y0−5=0,2x0−y0−1=0.
解得 x0=−1,y0=−3.
即 B−1,−3．
16. （1） 因为 E，F 分别为 A1B1，A1C1 的中点，
所以 EF∥B1C1．
又因为 EF⊂面BEF，B1C1⊄面BEF，
所以 B1C1∥面BEF．
（2） 作图如下：
17. （1） 设圆心坐标为 Ca,b，圆 C 的圆心在直线 x−3y=0 上，
所以 a=3b．
因为圆与 y 轴相切于点 0,1，则 b=1，r=a−0．
所以圆 C 的圆心坐标为 3,1，r=3．
则圆 C 的方程为 x−32+y−12=9．
（2） 因为 CA⊥CB，CA=CB=r，
所以 △ABC 为等腰直角三角形．
因为 CA=CB=r=3，则圆心 C 直线 l 的距离 d=322 .
则 d=3−1+m1+1=322，求得 m=1或−5．
18. （1） 因为等边 △ABC，F 为 BC 的中点，
所以 AF⊥BC．
即 AF⊥BF，AF⊥FC．
又因为 BF∩FC=F，
所以 AF⊥面BCF．
又因为 BC⊂面BCF，
所以 AF⊥BC．
（2） 如图，以点 F 为原点，在平面 BCF 内过点 F 作 FC 的垂线作为 x 轴，FC 为 y 轴，FA 为 z 轴，建立空间直角坐标系．
设 FC=2，则有 F0,0,0，A0,0,23，B3,−1,0，C0,2,0，
所以 D32,−12,3，E0,1,3．
所以 FD=32,−12,3，FE=0,1,3，AD=32,−12,−3，AE=0,1,−3．
设平面 DEF 的法向量为 m=x1,y1,z1，
因此 FD⋅m=0,FE⋅m=0, 即 32x1−12y1+3z1=0,y1+3z1=0.
令 z1=1，则 m=−3,−3,1．
设平面 ADE 的法向量为 n=x2,y2,z2，
因此有 AD⋅n=0,AE⋅n=0, 即 32x2−12y2−3z2=0,y2−3z2=0.
令 z2=1，则 n=3,3,1．
所以 csm,n=m⋅n∣m∣⋅∣n∣=−1113⋅13=−1113．
所以二面角 A−DE−F 的余弦值为 −1113．
（3） 在线段 BC 上存在一点 N，满足 面ABF⊥面DFN，且 ∣BN∣∣BC∣=23．
证明如下：
在平面 BCF 内，过 F 作 FN⊥BF 交 BC 于 N，
因为 AF⊥面BCF，FN⊂面BCF，
所以 AF⊥FN．
又因为 FN⊥BF，AF∩BF=F，
所以 FN⊥面ABF．
又因为 FN⊂面DFN，
所以 面ABF⊥面DFN．
设 FN=a，
因为 ∠BFC=120∘，BF=FC，
所以 ∠FBC=∠FCB=30∘．
又因为 FN⊥BF，
所以 BN=2a．
因为 ∠NFC=∠FCN=30∘，
所以 FN=NC=a．
所以 BC=3a．
所以 BNBC=23．
19. （1） 设 P 点的坐标为 x,y，则 kPA=yx+2x≠−2，kPB=yx−2x≠2．
因为 kPA⋅kPB=−14，所以 y2x2−4=−14x≠±2．
化简得曲线 C 的轨迹方程为 x24+y2=1x≠±2．
（2） 当直线 l 的斜率不存在时，直线的方程为 x=1，则 P1,32，Q1,−32．
直线 PB 的方程为 y=−32x−2，解得 M3,−32．
直线 QB 的方程为 y=32x−2，解得 N3,32．
则 S△BPQ=12×3×1=32，S△BMN=12×3×1=32，
此时 △BPQ 和 △BMN 的面积相等，
当直线 l 的斜率存在时，
设直线的方程为 y=kx−1，Px1,y1，Qx2,y2．
由 y=kx−1,x2+4y2=4 得 1+4k2x2−8k2x+4k2−4=0．
x1+x2=8k21+4k2，x1x2=4k2−41+4k2．
直线 PB 的方程为 y=y1x1−2x−2，求得 M3,y1x1−2．
直线 QB 的方程为 y=y2x2−2x−2，求得 N3,y2x2−2．
S△BPQ=12∣PQ∣h=121+k2∣x1−x2∣×∣k∣1+k2=12∣k∣∣x1−x2∣,
S△BMN=12∣MN∣h=12∣yN−yM∣=12kx1−x2x1−2x2−2．
若 S△BPQ=S△BMN，则 2−x12−x2=1，即 x1x2−2x1+x2+3=0．
所以 4k2−41+4k2−16k21+4k2+3=0，化简得 −1=0，
此式不成立，所以 △BPQ 和 △BMN 的面积不相等．
综上，直线 l 的方程为 x=1．
20. （1） d1A,B=1−2+1−3=3，d2A,B=1−22+1−3212=512=5．
（2） 设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 d1A,B=x1−x2+y1−y2，d2A,B=x1−x22+y1−y2212．
d12A,B=x1−x2+y1−y22=x12+x22+y12+y22−2x1x2−2y1y2+2x1−x2y1−y2.
d22A,B=x1−x22+y1−y22=x12+x22+y12+y22−2x1x2−2y1y2.
所以 d2A,B≤d1A,B 成立．
因为 2d2A,B2=2x12+2x22+2y12+2y22−4x1x2−4y1y2，
所以
2⋅d2A,B2−d1A,B2=x12+x22+y12+y22−2x1x2−2y1y2−2x1−x2y1−y2=x1−x22+y1−y22−2x1−x2y1−y2=x1−x2−y1−y22≥0.
所以 d1A,B≤2d2A,B 成立．
（3） Dα⫋Dβ．