2021年北京海淀区中央民族大学附属中学高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区中央民族大学附属中学高二上学期期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列语句为命题的是
A. lg100=2B. 20172017 是一个大数
C. 三角函数的图象真漂亮！D. 指数函数是递增函数吗?

2. 直线 x−y−1=0 的倾斜角是
A. π6B. π4C. π3D. π2

3. 抛物线 y2=2x 的准线方程是
A. x=12B. x=1C. x=−12D. x=−1

4. 在空间，下列命题正确的是
A. 平行直线的平行投影重合B. 平行于同一直线的两个平面平行
C. 垂直于同一平面的两个平面平行D. 垂直于同一平面的两条直线平行

5. 已知命题 p：若 x>10，则 x>1，那么 p 的逆否命题为
A. 若 x>1，则 x>10B. 若 x>10，则 x≤1
C. 若 x≤10，则 x≤1D. 若 x≤1，则 x≤10

6. “m<0”是“方程 x2+my2=1 表示双曲线”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为
A. 8B. 162C. 10D. 62

8. 设点 Mx0,1，若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N，使得 ∠OMN=45∘，则 x0 的取值范围是
A. −1,1B. −12,12C. −2,2D. −22,22

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 圆 x−12+y−12=2 的圆心坐标是 ．

10. 椭圆 x29+y25=1 的离心率为 ．

11. 过点 1,0 且与直线 x−2y−2=0 平行的直线方程是 ．

12. 《 九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，则堆放的米约有 斛（结果精确到个位）．


13. 命题" ∀x∈R ， x2−x+3>0 "的否定是 ．

14. 已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90∘，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O−ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
15. 如图，已知直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，AB=AC，D 为 BC 的中点．
（1）求证：AD⊥平面BC1；
（2）求证：A1B∥平面AC1D．

16. 已知直线经过直线 3x+4y−2=0 与直线 2x+y+2=0 的交点 P，并且垂直于直线 x−2y−1=0．
（1）求交点 P 的坐标；
（2）求直线的方程．

17. 已知椭圆 C 的长轴长为 22，一个焦点的坐标为 1,0．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设直线 l:y=kx 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 P 为椭圆的右顶点．
①若直线 l 斜率 k=1，求 △ABP 的面积；
②若直线 AP，BP 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1⋅k2 为定值．

18. 如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，E，F 分别是 A1B，A1C 的中点，点 D 在 B1C1 上，A1D⊥B1C．
证明：
（1）EF∥ 平面 ABC；
（2）平面 A1FD⊥ 平面 BB1C1C．

19. 已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A2,1，B0,7，C−4,−1．
（1）求此三角形的三边所在直线的方程．
（2）求此三角形的三条中线所在直线的方程．

20. 如图，在四棱锥中 P−ABCD 中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90∘，BC=CD=12AD．
（1）在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM∥平面PAB，并说明理由；
（2）证明：平面 PAB⊥平面PBD．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. C
4. D
5. D
【解析】因为命题 p：若 x>10，则 x>1，
所以命题 p 的逆否命题是：若 x≤1，则 x≤10．
6. C【解析】方程 x2+my2=1 表示双曲线，则 m<0，则“m<0”是“方程 x2+my2=1 表示双曲线”的充要条件．
7. B【解析】由三视图知：此四棱锥为正四棱锥，底面边长为 4，高为 2，则四棱锥的斜高为 4+4=22，
所以四棱锥的侧面积为 S=412×4×22=162．
8. A【解析】由题意画出图形如图：
点 Mx0,1，要使圆 O:x2+y2=1 上存在点 N，使得 ∠OMN=45∘，则 ∠OMN 的最大值大于或等于 45∘ 时一定存在点 N，使得 ∠OMN=45∘，而当 MN 与圆相切时 ∠OMN 取得最大值，此时 MN=1，图中只有 Mʹ 到 Mʺ 之间的区域满足 MN=1，
所以 x0 的取值范围是 −1,1．
第二部分
9. 1,1
10. 23
11. x−2y−1=0
【解析】直线 x−2y−2=0 的斜率是 12，所求直线的斜率是 12，
所以所求直线方程：y=12x−1，即 x−2y−1=0．
12. 22
【解析】设米堆所在圆锥的底面半径为 r 尺，
则 14×2πr=8，
解得：r=16π，
所以米堆的体积为 V=14×13×πr2×5≈35.56，
所以米堆的斛数是 ≈22．
13. ∃x∈R ， x2−x+3≤0
14. 144π
【解析】如图所示，设球的半径为 R，
因为 ∠AOB=90∘，
所以 S△AOB=12R2，
因为 V三棱锥O−ABC=V三棱锥C−AOB，
而 △AOB 的面积为定值，
所以当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，三棱锥 O−ABC 的体积最大，
所以当动点 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，三棱锥 O−ABC 的体积最大．
此时
V三棱锥O−ABC=V三棱锥C−AOB=13×12R2×R=16R3=36,
解得 R=6，
则球 O 的表面积为 S=4πR2=144π．
第三部分
15. （1） 在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC．
因为 AD⊂平面ABC，
所以 CC1⊥AD．
因为 AB=AC，D 为 BC 中点，
所以 AD⊥BC．
因为 BC⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，BC∩CC1=C，
所以 AD⊥平面BB1C1C．
（2） 连接 A1C，设 A1C∩AC1=M，连接 DM．
因为在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，四边形 AA1C1C 为平行四边形，
所以 M 为 A1C 中点．
因为 D 为 BC 中点，
所以 DM∥A1B．
因为 DM⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，
所以 A1B∥平面AC1D．
16. （1） 由 3x+4y−2=0,2x+y+2=0 得 x=−2,y=2.
所以 P−2,2．
（2） 因为直线与直线 x−2y−1=0 垂直，设所求直线斜率为 k1，
所以 k1=−2，
所以直线的方程为 y−2=−2x+2，整理得：2x+y+2=0．
17. （1） 依题意椭圆的焦点在 x 轴上，且 c=1，2a=22，
所以 a=2，b2=a2−c2=1．
所以椭圆 C 的标准方程为 x22+y2=1．
（2） ① x2+2y2=2,y=x,
所以 x=63,y=63 或 x=−63,y=−63,
即 A63,63，B−63,−63，P2,0，
所以 S△ABP=12⋅2⋅263=233．
②设 Ax1,y1，Bx2,y2．
椭圆的右顶点为 P2,0，
联立方程 x2+2y2=2,y=kx, 消 y 整理得 2k2+1x2=2，
不妨设 x1>0>x2，
所以 x1=22k2+1，x2=−22k2+1，y1=k22k2+1，y2=−k22k2+1，
kAP⋅kBP=y1x1−2⋅y2x2−2=y1y2x1x2−2x1+x2+2=−k222k2+1−22k2+1=−2k2−2+4k2+2=−12,
所以 kAP⋅kBP 为定值 −12．
18. （1） 因为 E，F 分别是 A1B，A1C 的中点，所以 EF∥BC．
又 EF⊄ 面 ABC，BC⊂ 面 ABC，所以 EF∥ 平面 ABC．
（2） 由直三棱柱 ABC−A1B1C1 知 BB1⊥ 面 A1B1C1，所以 BB1⊥A1D，又 A1D⊥B1C，所以 A1D⊥ 面 BB1C1C．又 A1D⊂ 面 A1FD，所以平面 A1FD⊥ 平面 BB1C1C．
19. （1） 3x+y−7=0，x−3y+1=0，2x−y+7=0．
（2） x−y+3=0，7x−y+7=0，x+2y−4=0．
20. （1） 取棱 AD 的中点 MM∈平面PAD，点 M 即为所求的一个点，
理由如下：
因为 AD∥BC，BC=12AD，
所以 BC∥AM，且 BC=AM．
所以四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CM∥AB．
又 AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，
所以 CM∥平面PAB．
（2） 由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，
因为 AD∥BC，BC=12AD，
所以直线 AB 与 CD 相交，
所以 PA⊥平面ABCD．
从而 PA⊥BD．
因为 AD∥BC，BC=12AD，
所以 BC∥MD，且 BC=MD．
所以四边形 BCDM 是平行四边形．
所以 BM=CD=12AD，
所以 BD⊥AB．
又 AB∩AP=A，
所以 BD⊥平面PAB．
又 BD⊂平面PBD，
所以平面 PAB⊥平面PBD．