2021年北京朝阳区北京青年政治学院附属中学高二上学期期末数学试卷
展开一、选择题(共8小题;共40分)
1. 直线 x−y=0 的斜率是
A. 1B. −1C. π4D. 3π4
2. 圆 x−12+y2=1 的圆心和半径分别为
A. 0,1,1B. 0,−1,1C. −1,0,1D. 1,0,1
3. 若两条直线 2x−y=0 与 ax−2y−1=0 互相垂直,则实数 a 的值为
A. −4B. −1C. 1D. 4
4. 双曲线 x29−y2=1 的渐近线方程为
A. y=±3xB. y=±13xC. y=±3xD. y=±33x
5. 已知三条直线 m,n,l,三个平面 α,β,γ,下面说法正确的是
A. α⊥γ,β⊥γ⇒α∥βB. m⊥l,n⊥l⇒m∥n
C. m∥β,l⊥m⇒l∥βD. m∥n,n⊥γ⇒m⊥γ
6. 一个三棱锥的三视图如图所示,则三棱锥的体积为
A. 53B. 103C. 203D. 253
7. “直线 l 的方程为 y=kx−2”是“直线 l 经过点 2,0”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 椭圆的两个焦点分别为 F1−1,0 和 F21,0,若该椭圆与直线 x+y−3=0 有公共点,则其离心率的最大值为
A. 55B. 66−1C. 612D. 510
二、填空题(共6小题;共30分)
9. 抛物线 y2=4x 的焦点到准线的距离是 .
10. 已知命题 p:∀x>1,x2−2x+1>0,则 ¬p 是 .
11. 实数 x,y 满足 x−y+1≥0,x≤1,y≥−1, 若 m=2x−y,则 m 的最小值为 .
12. 如图,在棱长均为 2 的正三棱柱 ABC−A1B1C1 中,点 M 是侧棱 AA1 的中点,点 P 是侧面 BCC1B1 内的动点,且 A1P∥平面BCM,则点 P 的轨迹的长度为 .
13. 将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD=2,则三棱锥 D−ABC 的顶点 D 到底面 ABC 的距离为 .
14. 若曲线 Fx,y=0 上的两点 P1x1,y1,P2x2,y2 满足 x1≤x2 且 y1≥y2,则称这两点为曲线 Fx,y=0 上的一对“双胞点”.下列曲线中:① x220+y216=1xy>0;② x220−y216=1xy>0;③ y2=4x;④ ∣x∣+∣y∣=1.存在“双胞点”的曲线序号是 .
三、解答题(共4小题;共52分)
15. 已知点 A−3,0,B1,0,线段 AB 是圆 M 的直径.
(1)求圆 M 的方程;
(2)过点 0,2 的直线 l 与圆 M 相交于 D,E 两点,且 ∣DE∣=23,求直线 l 的方程.
16. 如图,在正四棱锥 P−ABCD 中,点 M 为侧棱 PA 的中点.
(1)求证:PC∥平面BDM;
(2)若 PA⊥PC,求证:PA⊥平面BDM.
17. 顶点在原点的抛物线 C 关于 x 轴对称,点 P1,2 在此抛物线上.
(1)写出该抛物线 C 的方程及其准线方程;
(2)若直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,求 △ABP 的面积.
18. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 经过点 D0,1,一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)过 M0,−13 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,判断点 D 与以 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.
答案
第一部分
1. A【解析】由 x−y=0,得 y=x,所以直线 x−y=0 的斜率是 1.
2. D【解析】由圆的标准方程 x−12+y2=1 可以得到该圆的圆心是 1,0,半径是 1.
3. B【解析】因为两条直线 2x−y=0 与 ax−2y−1=0 互相垂直,所以 2a+2=0,解得 a=−1.
4. B【解析】双曲线 x29−y2=1 中 a=3,b=1,焦点在 x 轴上,故渐近线方程为 y=±13x.
5. D
【解析】三条直线 m,n,l,三个平面 α,β,γ,知:
在A中,α⊥γ,β⊥γ⇒α 与 β 相交或平行,故A错误;
在B中,m⊥l,n⊥l⇒m 与 n 相交、平行或异面,故B错误;
在C中,m∥β,l⊥m⇒l 与 β 相交、平行或 l⊂β,故C错误;
在D中,m∥n,n⊥γ⇒m⊥γ,由线面垂直的判定定理得 m⊥γ,故D正确.
6. B【解析】如图所示,
三棱锥 P−ABC,点 P 在平面 ABC 的投影 D,
则四边形 ABCD 是矩形.
则三棱锥的体积 V=13×12×2×5×2=103.
7. A【解析】若直线 l 的方程为 y=kx−2,
则直线 l 过 2,0,是充分条件,
若直线 l 经过点 2,0,
则直线方程不一定是:y=kx−2,
比如直线:x=0,故不是必要条件.
8. A【解析】因为椭圆的两个焦点分别为 F1−1,0 和 F21,0,
所以由题意,c=1,
所以 e=ca=1a,
所以 a 越小 e 越大,而椭圆与直线相切时,a 最小,
设椭圆为 x2a2+y2a2−1=1,
把直线 x+y−3=0 代入,化简整理可得 2a2−1x2−6a2x+10a2−a4=0,
由 Δ=0,解得:a2=5,
于是 a=5,
emax=15=55.
第二部分
9. 2
【解析】根据题意可知焦点 F1,0,准线方程 x=−1,
所以焦点到准线的距离是 1+1=2.
10. ∃x>1,x2−2x+1≤0
【解析】命题是全称命题,则命题的否定是特称命题,
即 ∃x>1,x2−2x+1≤0.
11. −3
12. 2
【解析】由题意,点 P 是侧面 BCC1B1 内的动点,且 A1P∥平面BCM,则 P 的轨迹是平行于 BC 的一条线段,长度为 2.
13. 2
【解析】取 AC 的中点 O,连接 OB,OD,
因为 AD=CD=2,∠ADC=90∘,
所以 AC=22,OD=12AC=2,OD⊥AC.
同理 OB=2,
因为 BD=2,
所以 OD2+OB2=BD2,
所以 OB⊥OD,
又 AC⊂平面ABC,OB⊂平面ABC,AC∩OB=O,
所以 OD⊥平面ABC,
所以三棱锥 D−ABC 的顶点 D 到底面 ABC 的距离为 OD=2.
14. ①③④
【解析】由题意① x220+y216=1xy>0 在第一、三象限均单调递减,满足题意;
② x220−y216=1xy>0,在第一象限,单调递增,第三象限单调递增,不满足题意;
③ y2=4x,存在“双胞点”,比如 1,−2,4,−4,满足题意;
④ ∣x∣+∣y∣=1,存在“双胞点”,比如 0,1,1,0,满足题意.
第三部分
15. (1) 已知点 A−3,0,B1,0,线段 AB 是圆 M 的直径,
则圆心 M 的坐标为 −1,0.
又因为 ∣AM∣=2,
所以圆 M 的方程为 x+12+y2=4.
(2) 由(1)可知圆 M 的圆心 M−1,0,半径为 2.
设 N 为 DE 中点,则 MN⊥l,∣DN∣=∣EN∣=12×23=3,
则 ∣MN∣=4−32=1.
当 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=0,此时 ∣MN∣=1,符合题意;
当 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y=kx+2,
由题意得 ∣k−1+2∣k2+1=1,
解得 k=34,
故直线 l 的方程为 y=34x+2,即 3x−4y+8=0.
综上,直线 l 的方程为 x=0 或 3x−4y+8=0.
16. (1) 如图,在正四棱锥 P−ABCD 中,
连接 AC,设 AC∩BD=O,连接 MO,如图 1.
因为 ABCD 为正方形,则 O 为 AC 中点.
又因为 M 为侧棱 PA 的中点,
所以 MO∥PC.
又因为 PC⊄面BDM,MO⊂面BDM,
所以 PC∥平面BDM.
(2) 连接 PO,如图 2,
在正四棱锥 P−ABCD 中,
PO⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以 PO⊥BD.
又因为 BD⊥AC,AC∩PO=O,
且 AC⊂平面PAC,PO⊂平面PAC,
所以 BD⊥平面PAC,
又因为 PA⊂平面PAC,
所以 BD⊥PA.
由(Ⅰ)得 MO∥PC,
又因为 PA⊥PC,则 MO⊥PA.
又 MO∩BD=O,且 MO⊂平面BDM,BD⊂平面BDM,
所以 PA⊥平面BDM.
17. (1) 因为抛物线的顶点在原点,且关于 x 轴对称,
可设抛物线方程为 y2=2px(p>0),
由抛物线经过点 P1,2 可得 p=2.
所以抛物线方程为 y2=4x,
准线方程为 x=−1.
(2) 由 y2=4x,y=x,
得 x=0,y=0 或 x=4,y=4,
可得 ∣AB∣=42,
点 P 到直线 y=x 的距离 d=∣1−2∣2=22,
所以 S△ABP=14×42×22=2.
18. (1) 因为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 经过 D0,1,
所以 b=1.
因为一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,
所以 a=2
所以椭圆 C 的方程为 x22+y2=1.
(2) 以 AB 为直径的圆经过点 D,理由如下:
当直线 AB 与 x 轴垂直时,由题意知 D 在圆上,
当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx−13.
设 Ax1,y1,Bx2,y2,
由 y=kx−13,x22+y2=1,
得 92k2+1x2−12kx−16=0,
Δ=144k2+64×92k2+1>0,
x1+x2=4k32k2+1,x1x2=−1692k2+1,
DA=x1,y1−1,DB=x2,y2−1.
所以
DA⋅DB=x1x2+y1−1y2−1=x1x2+kx1−43kx2−43=1+k2x1x2−43kx1+x2+169=1+k2−1692k2+1−43k⋅4k32k2+1+169=0,
所以 DA⊥DB,
所以点 D 在圆上.
综上所述,点 D 一定在以 AB 为直径的圆上.
北京朝阳区2023-2024高一上学期期末数学试卷及答案: 这是一份北京朝阳区2023-2024高一上学期期末数学试卷及答案,共8页。
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