2021年北京东城区北京景山学校（高中）高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京东城区北京景山学校（高中）高二上学期期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 过 x1,y1 和 x2,y2 两点的直线方程是
A. y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
B. y−y1y2−y1=x−x2x1−x2
C. y2−y1x−x1−x2−x1y−y1=0
D. x2−x1x−x1−y2−y1y−y1=0

2. 下列点在 y 轴上的是
A. x,0,0B. 0,y,0C. 0,0,zD. x,y,0

3. 方程 x2+y2+2x−4y−6=0 表示的图形是
A. 以 1,−2 为圆心，11 为半径的圆
B. 以 1,2 为圆心，11 为半径的圆
C. 以 −1,−2 为圆心，11 为半径的圆
D. 以 −1,2 为圆心，11 为半径的圆

4. 若 k∈R，则“k>2”是“方程 2+kx2+2−ky2=1 表示双曲线”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

5. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为 2 的正方形，俯视图是正三角形，则这个几何体的体积是
A. 23B. 43C. 233D. 8

6. 已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面．
其中正确的个数是
A. 3B. 2C. 1D. 0

7. 一种作图工具如图所示．O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN=ON=1，MN=3．当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为 C．以 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 C 的轨迹方程是
A. x29+y2=1B. x29−y2=1C. x216+y24=1D. x216−y24=1

8. 在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AA1，BB1 的中点，G 为棱 A1B1 上的一点，且 A1G=λ0≤λ≤1．则点 G 到平面 D1EF 的距离为
A. 3B. 22C. 2λ3D. 55

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 直线 l1 的倾斜角 45∘，直线 l2 在 x 轴截距为 3，且 l1∥l2，则直线 l2 的方程是 ．

10. 过原点且倾斜角为 60∘ 的直线被圆 x2+y2−4y=0 所截得的弦长为 ．

11. 已知向量 a=0,−1,1，b=4,1,0，λa+b=29，且 λ>0，则 λ= ．

12. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 45，以其焦点为顶点，左右顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为 .

13. 在三棱锥 P−ABC 中，PA，PB，PC 两两互相垂直，且 AB=4，AC=5，则 BC 的取值范围是 ．

14. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 C：x2+y23=4x2y2 被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论：
①曲线 C 与直线 y=axa≠0 交于不同于原点 O 的 Ax1,y1，Bx2,y2 两点，则 x1+x2+y1+y2=0；
②存在一个以原点为中心、边长为 1 的正方形，使得曲线 C 在此正方形区域内（含边界）；
③存在一个以原点为中心、半径为 1 的圆，使得曲线 C 在此圆面内（含边界）；
④曲线 C 上至少有一个点 M，使得点 M 到两坐标轴的距离之积大于 12．
其中，正确结论的序号是 ．

三、解答题（共4小题；共52分）
15. 【复习题 A组】求下列各圆的标准方程：
（1）圆心 y=−x 在上且过两点 2,0，0,−4；
（2）圆心在直线 2x+y=0 上，且与直线 x+y−1=0 切于点 2,−1．

16. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为正方形，E，F 分别为棱 AD，AB 的中点．
（1）求证：EF∥平面C1BD；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面C1BD．

17. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 PFPC=13．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角 F−AE−P 的余弦值；
（3）设点 G 在 PB 上，且 PGPB=23．判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由．

18. 已知抛物线 y2=4x 截直线 y=2x+m 所得弦长 AB=35．
（1）求 m 的值；
（2）设 P 是 x 轴上的点，且 △ABP 的面积为 9，求点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. C
2. B【解析】y 轴上的点的横坐标和竖坐标都是零．
3. D【解析】将已知圆的方程配方为 x+12+y−22=11，它表示以 −1,2 为圆心，11 为半径的圆．
4. A【解析】当 k>2 时，2+k>0，2−k<0，
则方程 2+kx2+2−ky2=1 表示双曲线，充分条件成立；
若方程 2+kx2+2−ky2=1 表示双曲线，则 2+k2−k<0，
解得：k<−2 或 k>2，所以必要条件不成立．
综上所述：“k>2”是“方程 2+kx2+2−ky2=1 表示双曲线”的充分而不必要条件．
5. A
6. C【解析】考察正方体中互相垂直的两个平面：A1ABB1，ABCD．
对于①：一个平面内的已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线；如图中 A1B 与 AB 不垂直；
对于②：一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；这一定是正确的，如图中，已知直线 A1B，在平面 ABCD 中，所有与 BC 平行直线都与它垂直；
对于③：一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一个平面；如图中：A1B；
对于④：过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线不一定垂直于另一个平面，如图中 A1D，它垂直于 AB，但不垂直于平面 ABCD．
7. C【解析】如图所示建立平面直角坐标系，
设点 Dt,0t≤2，Nx0,y0，Mx,y，
依题意，MD=2DN，且 DN=ON=1，
所以 t−x,−y=2x0−t,y0，
且 x0−t2+y02=1,x02+y02=1 即 t−x=2x0−2t,y=−2y0,
且 tt−2x0=0，由于当点 D 不动时，点 N 也不动，
所以 t 不恒等于 0，于是 t=2x0，
故 x0=x4，y0=−y2，
代入 x02+y02=1，可得 x216+y24=1，
即所求的曲线 C 的方程为 x216+y24=1．
8. D【解析】因为 A1B1∥EF，G 在 A1B1 上，所以 G 到平面 D1EF 的距离即是 A1 到面 D1EF 的距离，即是 A1 到 D1E 的距离，D1E=52，由三角形面积可得所求距离为 1×1252=55．
第二部分
9. x−y−3=0
10. 23
11. 3
12. y=±34x
13. 3,41
【解析】如图设 PA，PB，PC 的长分别为 a，b，c，BC=m．
因为 PA，PB，PC 两两互相垂直，
所以 a2+b2=16，a2+c2=25，b2+c2=m2⇒m2=41−2a2⇒m<41，
且
a2<16,a2<25⇒−2a2>−32,−2a2>−50⇒−2a2>−32⇒m2=41−2a2>9⇒m>3.
在 △ABC 中，m<5+4,4<5+m,5<4+m⇒314. ①③
【解析】曲线关于原点 O 对称，直线 y=axa≠0 关于原点对称，所以 x1+x2=y1+y2=0，所以①正确；
由 4x2y2≤4x2+y222=x2+y22，所以 x2+y23≤x2+y22，即：x2+y2≤1，当 x2=y2=12 取等号，此时，点 P22,22 在曲线上，而 ∣PO∣=1，所以②错误，③正确；
因为 ∣x∣⋅∣y∣≤x2+y22≤12，所以④错误，
综上所述，①③正确．
故答案为：①③．
第三部分
15. （1） 圆方程为 x−32+y+32=10．
（2） 圆方程 x−12+y+22=2．
16. （1） 因为 E，F 分别为 AD，AB 的中点，
所以 EF 是 △ABD 的中位线，
所以 EF∥BD，
又因为 EF⊄面C1BD，BD⊂面C1BD，
所以 EF∥面C1BD．
（2） 因为长方体 ABCD−A1B1C1D1，
所以 AA1⊥面ABCD，
因为 BD⊂面ABCD，
所以 AA1⊥BD，
因为 AC⊥BD，AA1∩AC=A，
所以 BD⊥平面CAA1C1，
因为 BD⊂平面C1BD，
所以 平面CAA1C1⊥平面C1BD．
17. （1） 因为 PA⊥平面ABCD，
所以 PA⊥CD．
又因为 AD⊥CD，
所以 CD⊥平面PAD．
（2） 过 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M．
因为 PA⊥平面ABCD，
所以 PA⊥AM，PA⊥AD．
如图建立空间直角坐标系 A−xyz，
则 A0,0,0，B2,−1,0，C2,2,0，D0,2,0，P0,0,2．
因为 E 为 PD 的中点，
所以 E0,1,1．
所以 AE=0,1,1，PC=2,2,−2，AP=0,0,2．
所以 PF=13PC=23,23,−23，AF=AP+PF=23,23,43．
设平面 AEF 的法向量为 n=x,y,z，则 n⋅AE=0,n⋅AF=0, 即 y+z=0,23x+23y+43z=0.
令 z=1，则 y=−1，x=−1．于是 n=−1,−1,1．
又因为平面 PAD 的法向量为 p=1,0,0，
所以 csn,p=n⋅pnp=−33．
由题知，二面角 F−AE−P 为锐角，
所以其余弦值为 33．
（3） 直线 AG 在平面 AEF 内．
因为点 G 在 PB 上，且 PGPB=23，PB=2,−1,−2，
所以 PG=23PB=43,−23,−43，AG=AP+PG=43,−23,23．
由（Ⅱ）知，平面 AEF 的法向量 n=−1,−1,1．
所以 AG⋅n=−43+23+23=0．
所以直线 AG 在平面 AEF 内．
18. （1） 设 Ax1,y1，Bx2,y2．
由 y=2x+m,y2=4x, 得 4x2+4m−1x+m2=0，
由根与系数的关系得 x1+x2=1−m，x1x2=m24．
所以
AB=1+k2x1+x22−4x1x2=1+221−m2−4×m24=51−2m,
因为 AB=35
所以 51−2m=35，解得 m=−4．
（2） 由（1）知直线 AB 的方程为 y=2x−4．
设 Pa,0，点 P 到直线 AB 的距离为 d，则 d=2a−0−422+−12=2a−25．
又 S△ABP=12AB⋅d，则 d=2S△ABPAB，
所以 2a−25=2×935，
所以 a−2=3，
所以 a=5 或 a=−1．
故点 P 的坐标为 5,0 或 −1,0．