2021年北京丰台区东铁匠营一中高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京丰台区东铁匠营一中高二上学期期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在复平面内，复数 1+ii 对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

2. 经过两点 A4,2y+1，B2,−3 的直线的倾斜角为 3π4，则 y=
A. −1B. −3C. 0D. 2

3. 已知直线 l 过点 0,7，且与直线 y=−2x+2 平行，则直线 l 方程为
A. y=−2x−7B. y=2x−7C. y=−2x+7D. y=2x+7

4. 设点 M 是 z 轴上一点，且点 M 到 A1,0,2 与点 B1,−3,1 的距离相等，则点 M 的坐标是
A. −3,−3,0B. 0,0,−3
C. 0,−3,−3D. 0,0,3

5. 已知数列 an 的首项 a1=1，且满足 an+1=12an+67n+1，则此数列的第三项是
A. 1B. 12C. 34D. 67

6. 在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点，若 AB=a，AD=b，AA1=c，则与 BM 相等的向量是
A. −12a+12b+cB. 12a+12b+cC. −12a−12b+cD. 12a−12b+c

7. 如图所示，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

8. 在圆 x2+y2−2x−6y=0 内，过点 E0,1 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为
A. 52B. 102C. 152D. 202

9. 如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，∠ACB=90∘，∠ACC1=60∘，∠BCC1=45∘，侧棱 CC1 的长为 1，则该三棱柱的高等于
A. 12B. 22C. 32D. 33

10. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1 和 DD1 的中点，则平面 ECF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为
A. 33B. 63C. 13D. 23

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 如果圆锥曲线 y2λ+5−x22−λ=1 的焦距与实数 λ 无关，那么它的焦点坐标是 ．

12. 设向量 a=x,4,3,b=3,−2,y，且 a∥b，则 xy= ．

13. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2an−n，则 a6= ．

14. 已知椭圆 C:x29+y24=1，点 M 与椭圆 C 的焦点不重合．若 M 关于椭圆 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在椭圆 C 上，则 ∣AN∣+∣BN∣= ．

15. 已知 0≤α<2π，点 Pcsα,sinα 在曲线 x−22+y2=3 上，则 α 的值为 ．

三、解答题（共4小题；共52分）
16. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD，M，N 分别为棱 PD，BC 的中点，PA=AB=2．
（1）求证：MN∥平面PAB；
（2）求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值．

17. 四棱锥 P−ABCD 中，PD⊥平面ABCD，2AD=BC=2aa>0，AD∥BC，PD=3a，∠DAB=θ．
（1）若 θ=60∘，AB=2a，Q 为 PB 的中点，求证：DQ⊥PC；
（2）若 θ=90∘，AB=a，求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的大小．（若非特殊角，求出所成角余弦即可）

18. 已知动圆 E 经过定点 D1,0，且与直线 x=−1 相切，设动圆圆心 E 的轨迹为曲线 C．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）设过点 P1,2 的直线 l1，l2 分别与曲线 C 交于 A，B 两点，直线 l1，l2 的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线 AB 的斜率为定值．

19. 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别是 F1 和 F2；离心率为 12，以 P 在椭圆 E 上，且 △PF1F2 的面积的最大值为 3．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 l 过椭圆 C 右焦点 F2，交该椭圆于 A，B 两点，AB 中点为 Q，射线 OQ 交椭圆于 P，记 △AOQ 的面积为 S1，△BPQ 的面积为 S2，若 S2=3S1，求直线 l 的方程．
答案
第一部分
1. D【解析】1+ii=i1+i−1=1−i．
2. B【解析】由 2y+1−−34−2=2y+42=y+2，得 y+2=tan3π4=−1，所以 y=−3．
3. C【解析】设直线 l 的方程为 y=kx+b，
由 l 与直线 y=−2x+2 平行可得，k=−2，
即 l 的方程为 y=−2x+b，
将 0,7 代入方程得：7−b，
所以直线 l 方程为 y=−2x+7．
故选C．
4. B
5. C
6. A
7. C【解析】连接 B1D1，D1C（图略），
则 B1D1∥EF，故 ∠D1B1C 即为所求的角．
又 B1D1=B1C=D1C，
所以 △B1D1C 为等边三角形，
所以 ∠D1B1C=60∘．
8. B【解析】圆的圆心坐标是 1,3，半径是 10，且点 E0,1 位于该圆内，由平面几何可知，过点 E0,1 的最短弦长等于
BD=210−12+22=25,
又最长的弦为直径，故 AC=210．又 AC⊥BD，因此四边形 ABCD 的面积等于
12BD×AC=12×25×210=102.
9. A【解析】过点 C1 作 C1O⊥面ABC 于点 O，在过点 O 在面 ABC 内作 OE⊥BC 于点 E，OF⊥AC 于点 F，
由题可知，在 △C1CF 中，∠C1FC=90∘，∠C1CF=60∘，C1C=1，则 CF=12；
在 △C1CE 中，∠C1EC=90∘，∠C1CE=45∘，则 CE=22；
由题可知，四边形 CEOF 为矩形，则 CO=32，因此，在 △C1OC 中，C1O=12．
10. B
【解析】以点 A 为坐标原点，AB，AD，AA1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为 2，
则 A0,0,0，E2,0,1，F0,2,1，C2,2,0，
所以 CE=0,−2,1，CF=−2,0,1，
所以平面 ECF 的一个法向量为 n=1,1,2．
设平面 ECF 与平面 ABCD 的夹角为 θ．
因为 m=0,0,1 是平面 ABCD 的一个法向量，
所以 csθ=∣cs⟨m,n⟩∣=63．
第二部分
11. 0,±7
12. 9
13. 63
【解析】由 Sn=2an−n，可知当 n≥2 时，Sn−1=2an−1−n−1，
两式相减，得 an=2an−2an−1−1，即 an=2an−1+1，
又由 a1=2a1−1，可得 a1=1，
所以 a2=3，a3=7，a4=15，a5=31，a6=63．
14. 12
【解析】如图，设 MN 的中点为 P，连接 PF1，PF2，
则由 F1 是 AM 的中点，可知 ∣AN∣=2∣PF1∣．同理可得 ∣BN∣=2∣PF2∣．
所以 ∣AN∣+∣BN∣=2∣PF1∣+∣PF2∣．
根据椭圆的定义得 ∣PF1∣+∣PF2∣=2a=6，
所以 ∣AN∣+∣BN∣=12．
15. π3 或 5π3
第三部分
16. （1） 在四棱锥 P−ABCD 中，
取 PA 的中点 E，连接 EB，EM，
因为 M 是 PD 的中点，
所以 EM∥AD，且 EM=12AD．
又因为底面 ABCD 是正方形，N 是 BC 的中点，
所以 BN∥AD，且 BN=12AD．
所以 EM=BN，EM∥BN．
所以四边形 MNBE 是平行四边形．
所以 MN∥EB．
由于 EB⊂平面PAB，
MN⊄平面PAB，
所以 MN∥平面PAB．
（2） 因为底面 ABCD 是正方形，所以 AB⊥AD．
又因为 PA⊥平面ABCD．
所以以点 A 为坐标原点，AB，AD，AP 分别为 x，y，z 轴，
如图建立空间直角坐标系．
A0,0,0，C2,2,0，D0,2,0，P0,0,2，M0,1,1，N2,1,0．
PC=2,2,−2，CD=−2,0,0，设平面 PCD 的法向量为 m=x,y,z．
有：m⋅PC=0,m⋅CD=0. 即 x+y−z=0,x=0. 令 y=1，则 z=1，所以 m=0,1,1．MN=2,0,−1．
设直线 MN 与平面 PCD 所成角为 θ．
有：sinθ=∣csMN,m∣=∣MN⋅m∣∣MN∣⋅∣m∣=∣0×2+1×0+1×−1∣2⋅5=1010．
所以直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值为 1010．
17. （1）
连接 BD，△ABD 中，
AD=a，AB=2a，∠DAB=60∘
由余弦定理：BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcs60∘，
解得 BD=3a
所以 △ABD 为直角三角形，BD⊥AD．
因为 AD∥BC，所以 BC⊥BD．
又因为 PD⊥平面ABCD，
所以 BC⊥PD，
因为 PD∩BD=D，
所以 BC⊥平面PBD
BC⊂平面PBC，
所以，平面 PBD⊥平面PBC．
又因为 PD=BD=3a，Q 为 PB 的中点，
所以 DQ⊥PB，
因为平面 PBD∩平面PBC=PB，
所以 DQ⊥平面PBC
PC⊂平面PBC，
所以 DQ⊥PC．
（2） θ=90∘，AB=a，
可得 BD=CD=2a．
取 BC 中点 M
可证得 ABMD 为矩形
以 D 为坐标原点分别以 DA，DM，DP
所在直线为 x，y，z 轴，
建立 D−xyz 空间直角坐标系，
Aa,0,0，Ba,a,0
DM⊥平面PAD，
所以面 DM 是平面 PAD 的法向量，DM=0,a,0．
设平面 PBC 的法向量为 n=x,y,z，
P0,0,3a，Ba,a,0，C−a,a,0
所以 PB=a,a,−3a，BC=−2a,0,0
n⋅PB=0n⋅BC=0
令 z=1
可得 ax+ay−3az=0−2ax=0
解得：n=0,3,1
所以 csθ=DM⋅n∣DM∣∣n∣=3a2a=32
所以平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角为 π6．
18. （1） 由已知，动点 E 到定点 D1,0 的距离等于 E 到直线 x=−1 的距离．
由抛物线的定义知 E 点的轨迹是以 D1,0 为焦点，以 x=−1 为准线的抛物线，
故 P=2．
曲线 C 的方程为 y2=4x．
（2） 由题意可知直线 l1，l2 的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，直线 l1 的方程为 y=kx−1+2，k≠0，直线 l2 的方程为 y=−kx−1+2，
由 y=kx−1+2,y2=4x 得 k2x2−2k2−4k+4x+k−22=0，
已知此方程一个根为 1，
所以 x1×1=k−22k2=k2−4k+4k2，即 x1=k2−4k+4k2，
同理 x2=−k2−4−k+4−k2=k2+4k+4k2，
所以 x1+x2=2k2+8k2，x1−x2=−8kk2=−8k，
所以
y1−y2=kx1−1+2−−kx2−1+2=kx1+x2−2k=k⋅2k2+8k2−2k=8k,
所以 kAB=y1−y2x1−x2=8k−8k=−1，
所以，直线 AB 的斜率为定值 −1．
19. （1） 依题意，显然当 P 在短轴端点时 △PF1F2 的面积最大为 12×2c×b=3，
即 bc=3，又由离心率为 e=ca=12，a2−b2=c2，
解得 a2=4，b3=3，c2=1，
所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1．
（2） 因为 S2=3S1，
所以 12∣QP∣∣QB∣sin∠BQP=3×12∣QA∣∣QO∣sin∠AQO，
所以 ∣QP∣=3∣QO∣，所以 ∣OP∣=4∣OQ∣，
当 AB 斜率不存在时，S2=S1，不合题意，
当 AB 斜率存在时，设直线方程为 y=kx−1，
设点 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 x124+y123=1,x224+y223=1,，两式作差得：y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=−34，
即 kAB⋅kOP=−34，
故直线 OP 的方程式为：y=34kx，
联立 y=−34kx,x24+y23=1, 解得 xP2=16k23+4k2，
联立 y=−34kx,y=kx−1, 解得 xQ=4k23+4k2，
因为 xP=4xQ，
所以 4∣k∣3+4k2=4×4k23+4k2，
即 k2=14，解得：k=±12，
所以直线 AB 的方程为 y=±12x−1．