2021年北京海淀区人大附中北大附小联合实验学校九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区人大附中北大附小联合实验学校九年级上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 在 △ABC 中，∠C=90∘．若 AB=3，BC=1，则 sinA 的值为
A. 13B. 22C. 223D. 3

2. 抛物线 y=2x+12−3 的顶点坐标为
A. 1,3B. 1,−3C. −1,3D. −1,−3

3. 如图，已知 DE∥BC，CD 和 BE 相交于点 O，S△DOE:S△COB=4:9，则 AE:EC 为
A. 2:1B. 2:3C. 4:9D. 5:4

4. 如图，将左边第一个图中阴影部分的图形绕点 O 顺时针旋转 90∘ 得到的图形是
A. B.
C. D.

5. 在下列命题中，真命题是
A. 两个钝角三角形一定相似B. 两个等腰三角形一定相似
C. 两个直角三角形一定相似D. 两个等边三角形一定相似

6. 在平面直角坐标系中，把点 P−3,2 绕原点 O 顺时针旋转 180∘，所得到的对应点 Pʹ 的坐标为
A. 3,2B. 2,−3C. −3,−2D. 3,−2

7. 一次函数 y1=kx+bk≠0 与反比例函数 y2=mxm≠0，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若 y1A. −21B. x>1
C. x<−2 或 0
8. 在 1∼7 月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是
A. 1 月份B. 2 月份C. 5 月份D. 7 月份

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如果 tanα=3，那么锐角 α 的度数是 ．

10. 一元二次方程 4xx−2=x−2 的解为 ．

11. 写出一个图象过第一、三象限的反比例函数解析式： ．

12. 关于 x 的方程 x2−x−n=0 没有实数根，则抛物线 y=x2−x−n 的顶点在第 象限．

13. 一个扇形的面积是它所在圆面积的 35，则这个扇形的圆心角是 ．

14. 在直径为 8 cm 的圆外有一点 P，点 P 到圆上的点的最短距离为 4 cm，则过点 P 的圆的切线长为 cm．

15. 如图，小明同学站在离墙 BC5 m 的 A 处，发现小强同学在离墙 BC20 m 远且与墙平行的一条公路 l 上骑车，已知墙 BC 长为 24 m，则小明看不见小强的距离为 m．

16. 下图是“已知一条直角边和斜边做直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段 a，b，
求作：Rt△ABC．使得斜边 AB=b，AC=a．
作法：如图．
（1）作射线 AP，截取线段 AB=b；
（2）以 AB 为直径，作 ⊙O；
（3）以点 A 为圆心，a 的长为半径作弧交 ⊙O 于点 C；
（4）连接 AC，CB．
△ABC 即为所求作的直角三角形．
请回答：该尺规作图的依据是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：12−2−4cs30∘+−20+12．

18. 若关于 x 的方程 32x2−2a=0 的一个根是 2，则 2a−1 的值是多少?

19. 在 △ABC 中，∠C=90∘，AB=46，BC=43，解这个直角三角形．

20. 甲、乙两地相距 400 km，如果把汽车从甲地到乙地所用的时间 yh 表示为汽车的平均速度 xkm/h 的函数．
（1）写出时间 yh 与平均速度 xkm/h 之间的函数表达式；
（2）若汽车的平均速度不超过 80km/h，则汽车从甲地到乙地所用的时间至少需要多少小时?

21. 如图，已知 AD⋅AC=AB⋅AE，∠DAE=∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．

22. 如图，D 是 △ABC 的边 AC 上的一点，连接 BD．已知 ∠ABD=∠C，AB=6，AD=4．求线段 CD 的长．

23. 如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=6x 图象交于 A2,m 和 Bn,−2．
（1）求此一次函数解析式及 m，n 的值；
（2）结合图象求不等式 6x−kx>b 的解集．

24. 如图，已知 C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，CH⊥AB 于点 H，直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D，E 为 CH 的中点，连接 AE 并延长交 BD 于点 F，直线 CF 交直线 AB 于点 G．
（1）求证：点 F 是 BD 的中点；
（2）求证：CG 是 ⊙O 的切线．

25. 某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数 y=x2−4∣x∣ 的图象与性质进行了探究请补充完整以下探索过程．
（1）列表：
x⋯−5−4−3−2−101234⋯y⋯m0−3−4−30−3−4n0⋯
直接写出 m= ，n= ．
（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象，并结合图象写出该函数的两条性质：
性质 1： ，
性质 2： ．
（3）若方程 x2−4∣x∣=k 有四个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出 k 的取值范围．

26. 已知二次函数 y=x2−x−2 及实数 a>−2．求：
（1）函数在 −2（2）函数在 a≤x≤a+2 时的最小值．

27. 阅读理解：
如图 1，Rt△ABC 中，a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边，∠C=90∘，其外接圆半径为 R．根据锐角三角形函数的定义：sinA=ac，sinB=bc，可得 asinA=bsinB=c=2R，即：asinA=bsinB=csinC=2R（规定 sin90∘=1）．
（1）探究活动：
如图 2，在锐角 △ABC 中，a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边，其外接圆半径为 R，那么：asinA bsinB csinC（用 >，= 或 < 连接），并说明理由．
事实上，以上结论适用于任意三角形．
（2）初步应用：
在 △ABC 中，a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边，∠A=60∘，∠B=45∘，a=8，求 b．
（3）综合应用：
如图 3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔 CD 的高度，在 A 处用测角仪测得塔顶 C 的仰角为 15∘，又沿古塔的方向前行了 100 m 到达 B 处，此时 A，B，D 三点在一条直线上，在 B 处测得塔顶 C 的仰角为 45∘，求古塔 CD 的高度（结果保留小数点后一位）．（3≈1.732，sin15∘=6−24）

28. 已知 △ABC 和 △ADE 是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90∘，F 为 BE 的中点，连接 DF，CF．
（1）如图①，当点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，请直接写出此时线段 DF，CF 的数量关系和位置关系．
（2）如图②，在 1 的条件下将 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 45∘，请你判断此时 1 中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
（3）如图③，在 1 的条件下将 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 90∘，若 AD=1，AC=22，求此时线段 CF 的长（直接写出结果）．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. A【解析】∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴S△DOE:S△COB=DEBC2=4:9，
∴DEBC=23，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=DEBC=23，
∴AE:EC=2:1．
4. B
5. D
6. D【解析】根据题意得，点 P 关于原点的对称点是点 Pʹ，∵P 点的坐标为 −3,2，∴ 点 Pʹ 的坐标为 3,−2．
7. C
8. C
第二部分
9. 60∘
【解析】∵tan60∘=3，
∴ 锐角 α 的度数是 60∘．
10. x1=2，x2=14
【解析】4xx−2=x−2，
4xx−2−x−2=0，
x−24x−1=0，
x−2=0 或 4x−1=0．
解得 x1=2，x2=14．
11. y=1x（答案不唯一）
12. 一
13. 216∘
14. 43
15. 120
16. 等圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角，三角形定义
第三部分
17. 原式=4−4×32+1+23=4−23+1+23=5.
18. 2a−1=5．
19. 在 △ABC 中，
∵∠C=90∘，AB=46，BC=43，
∴sinA=4346=22．
∴∠A=45∘，
∴∠B=90∘−∠A=45∘．
∴∠A=∠B=45∘，
∴AC=BC=43．
20. （1） y=400x．
（2） 方法一：
x≤400y≤80，
∴y≥5．
【解析】方法二：x=80，y=50，
∵x≤80，
∴y≥5．
21. ∵AD⋅AC=AB⋅AE，
∴ADAE=ABAC．
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，即 ∠DAB=∠EAC．
∴△DAB∽△EAC．
22. 在 △ABD 与 △ACB 中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB．
∴ABAC=ADAB．
又 AB=6，AD=4，
∴6AC=46．
解得 AC=9．
∴CD=AC−AD=9−4=5．
23. （1） ∵ 反比例函数 y=6x 图象过 A2,m 和 Bn,−2，
∴2m=6，−2n=6，
解得：m=3，n=−3；
∵m=3，n=−3，
∴A2,3 和 B−3,−2，
∵ 一次函数 y=kx+b 过 A，B 两点，
∴3=2k+b,−2=−3k+b,
解得：k=1,b=1,
∴ 一次函数解析式为 y=x+1．
（2） ∵6x−kx>b，
∴6x>kx+b，
由图象得：不等式的解集为：x<−3 或 024. （1） 因为 CH⊥AB，DB⊥AB，
所以 CH∥DB．
所以 △AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF．
所以 EHBF=AEAF=CEFD．
因为 HE=EC，
所以 BF=FD．
（2） 方法一：如图所示，连接 CB，OC，
因为 AB 是直径，
所以 ∠ACB=90∘．
在 Rt△CDB 中，FD=FB=CF．
所以 ∠BCF=∠CBF=90∘−∠CBA=∠CAB=∠ACO．
所以
∠OCF=∠BCF+∠BCO=∠ACO+∠BCO=∠ACB=90∘.
所以 CG 是 ⊙O 的切线．
【解析】方法二：可证明 △OCF≌△OBF．
25. （1） 5；−3
【解析】把 x=−5，x=3 分别代入 y=x2−4∣x∣ 得，
m=−52−4x∣−5∣=25−20=5，
n=32−4×∣3∣=−3．
（2） 图象如下：
图象关于 y 轴对称；图象在 x=2 或 x=−2 时，取得最小值是 −4
（3） −4【解析】由图象知当 −426. （1） 函数 y=x2−x−2 的图象如图．
当 −2当 a≥12 时，ymin=y∣x=12=−94．
（2） 当 −2 ymin=y∣x=a+2=a+22−a+2−2=a2+3a；
当 a<12≤a+2，即 −32≤a<12 时，
ymin=y∣x=12=−94；
当 a≥12 时，ymin=y∣x=a=a2−a−2．
27. （1） =；=
理由如下：
如图 2，过点 C 作直径 CD 交 ⊙O 于点 D，
∴∠A=∠D，∠DBC=90∘，
∴sinA=sinD，sinD=a2R，
∴asinA=aa2R=2R，
同理可证：bsinB=2R，csinC=2R，
∴asinA=bsinB=csinC=2R；
故答案为：=；=．
（2） ∵asinA=bsinB=2R，
∴8sin60∘=bsin45∘，
∴b=6sin45∘sin60∘=8×2332=563．
（3） 由题意得：∠D=90∘，∠A=15∘，AB=100 m，
∴∠ACB=90∘，
设古塔高 DC=x m，则 BC=6x m，
∵ABsin∠ACB=BCsinA，
∴100sin30∘=2xsin15∘，
∴10017=2x6−74，
∴x=2527−2=503−5≈50×0.732=36.8m，
∴ 古塔高度约为 36.8 m．
28. （1） DF=CF，DF⊥CF．
【解析】∵ ∠ACB=∠ADE=90∘，F 为 BE 的中点，
∴ DF=12BE，CF=1212BE，
∴ DF=CF．
∵ △ABC 是等腰直角三角形，
∴ ∠ABC=45∘．
∵ BF=DF，
∴ ∠DBF=∠BDF．
∵ ∠DFE=∠DBF+∠BDF，
∴ ∠DFE=2∠DBF．
同理，∠CFE=2∠CBF，
∴ ∠DFE+∠CFE=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90∘，
∴ DF⊥CF．
（2） 成立．
如图，延长 DF 交 BC 于点 G．
∵ ∠ADE=∠ACB=90∘，
∴ DE∥BC．
∴ ∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．
∵ F 为 BE 的中点，
∴ EF=BF．
∴ △DEF≌△GBF AAS．
∴ DE=GB，DF=GF．
∵ AD=DE，
∴ AD=GB，
∵ AC=BC，
∴ AC−AD=BC−GB，
即 DC=GC，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ △DCG 是等腰直角三角形．
∵ DF=GF，
∴ DF=CF，DF⊥CF．
（3） 如图，延长 DF 交 BA 于点 H．
∵ △ABC 和 △ADE 是等腰直角三角形，
∴ AC=BC，AD=DE，
∠AED=∠ABC=45∘．
由旋转可知 ∠CAE=∠BAD=∠ACB=90∘，
∴ AE∥BC，
∴ ∠AEB=∠CBE，
∴ ∠DEF=∠HBF．
∵ F 是 BE 的中点，
∴ EF=BF，
又 ∵ ∠DFE=∠HFB，
∴ △DEF≌△HBFASA．
∴ ED=BH．
∵ BC=AC=22，∠ACB=90∘，
∴ AB=4．
∵ BH=ED=AD=1，
∴ AH=3．
∵ ∠BAD=90∘，
∴ DH=10，
∴ DF=102．
∴ CF=102．