2021年北京丰台区东铁匠营一中九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京丰台区东铁匠营一中九年级上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 抛物线 y=−x2 开口方向是
A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右

2. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠BCD=130∘，则 ∠BAD 的度数是
A. 30∘B. 50∘C. 65∘D. 100∘

3. 在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

4. 将抛物线 y=x2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度，所得到的抛物线为
A. y=x+32+5B. y=x−32+5
C. y=x+52+3D. y=x−52+3

5. 如图所示，点 O 是等边三角形 PQR 的中心，Pʹ，Qʹ，Rʹ 分别是 OP，OQ，OR 的中点，则 △PʹQʹRʹ 与 △PQR 是位似三角形，此时 △PʹQʹRʹ 与 △PQR 的位似比与位似中心分别是
A. 2 ，点 PB. 12 ，点 PC. 2 ，点 OD. 12 ，点 O

6. 如图，点 At,3 在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为 α，tanα=32，则 t 的值是
A. 1B. 1.5C. 2D. 3

7. 对于任意实数 k，关于 x 的方程 12x2−k+5x+k2+2k+25=0 的根的情况为
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法判定

8. 抛物线 y=x2−1 如图所示，将该抛物线在 x 轴下方的部分记作 C1，将 C1 沿 x 轴翻折记作 C2，C1 和 C2 构成的图形记作 C3．关于图形 C3，给出如下四个结论，其中错误的是
A. 图形 C3 恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
B. 图形 C3 上任意一点到原点的距离都不超过 1
C. 图形 C3 的周长大于 2π
D. 图形 C3 所围成的区域的面积大于 2 且小于 π

二、填空题（共4小题；共20分）
9. 如图，点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，AB 垂直于 x 轴，若 S△AOB=4，那么这个反比例函数的解析式为 ．

10. 如图所示图案由三个叶片组成，该图案绕点 O 旋转 120∘ 后可以和自身重合，若每个叶片的面积为 4 cm2，∠AOB 为 120∘，则图中阴影部分的面积之和为 cm2．

11. 如图所示，△PMN 中，点 A，B 分别在 MP 和 NP 的延长线上，APAM=BPBN=38，则 MNBA= ．

12. 如图，在直角坐标系中，点 A 、 B 、 C 的坐标分别为 0,3 、 4,3 、 0,−1，则 △ABC 外接圆的圆心坐标为 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
13. 解方程：x2−4x−5=0

14. 计算
（1）2sin30∘−12+tan60∘．
（2）sin260∘+∣tan45∘−2∣−2cs45∘．

15. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点 A，B，C 都在格点上，将 △ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 90∘ 得到 △ABʹCʹ．
（1）在正方形网格中，画出 △ABʹCʹ；
（2）计算线段 AB 在变换到 ABʹ 的过程中扫过区域的面积．

16. 20 世纪 20 年代起，苏州河沿岸集中了大量工厂和棚户简屋，工业污水和生活污水未经处理直接排入河中，使苏州河的水质不断恶化，最终变成一条臭河．90 年代起，上海市政府加大监管力度，投放大量财力用于苏州河的治理，并对沿岸工厂的污水排放量实行监控．通过实践表明，若每天有 1000 吨污水排入苏州河，则每吨需要 500 元来进行污水处理，并且每减少 10 吨污水排放，每吨的污水处理费可以减少 4 元，为了使每天的污水处理费用为 30 万元，则沿岸的工厂每天的污水排放量是多少吨?

17. 如果关于 x 的函数 y=ax2+a+2x+a+1 的图象与 x 轴只有一个公共点，求实数 a 的值．

18. 如图所示，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧 A，B 两个凉亭之间的距离，现测得 AC=30 m，BC=70 m，∠CAB=120∘，请计算 A，B 两个凉亭之间的距离．

19. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，AB 为 ⊙O 的直径，AB=10，AC=6．连接 OC，弦 AD 分别交 OC，BC 于点 E，F，其中点 E 是 AD 的中点．
（1）求证：∠CAD=∠CBA；
（2）求 OE 的长．

20. 抛物线 y=x2+bx+c（b，c 均为常数）与 x 轴交于点 A1,0 和点 B，与 y 轴交于点 C0,3．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若 P 是抛物线上一点，且点 P 到抛物线的对称轴的距离为 3，请直接写出点 P 的坐标．

21. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AC 是弦，OD⊥AC 于点 D，过点 A 作 ⊙O 的切线 AP，AP 与 OD 的延长线交于点 P，连接 PC，BC．
（1）猜想：线段 OD 与 BC 有何数量和位置关系，并证明你的结论．
（2）求证：PC 是 ⊙O 的切线．

22. 如图，在正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中顶点 E，F，G 分别在 AB，BC，FD 上．
（1）求证：△EBF∽△FCD；
（2）连接 DH，如果 BC=12，BF=3，求 tan∠HDG 的值．

23. 如图，函数 y=kx 的图象过点 A1,2．
（1）求该函数的解析式；
（2）过点 A 分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足为 B 和 C，求四边形 ABOC 的面积；
（3）求证：过此函数图象上任意一点分别向 x 轴和 y 轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值．

24. 问题：如图 1，点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，∠EAF=45∘，试判断 BE，EF，FD 之间的数量关系．
（1）【发现证明】
小聪把 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 至 △ADG，从而发现 EF=BE+FD，请你利用图 1证明上述结论．
（2）【类比引申】
如图 2，四边形 ABCD 中，∠BAD≠90∘，AB=AD，∠B+∠D=180∘，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，则当 ∠EAF 与 ∠BAD 满足 关系时，仍有 EF=BE+FD．
（3）【探究应用】
如图 3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ABCD．已知 AB=AD=80 米，∠B=60∘，∠ADC=120∘，∠BAD=150∘，道路 BC，CD 上分别有景点 E，F，且 AE⊥AD，DF=403−1 米，现要在 E，F 之间修一条笔直道路，求这条道路 EF 的长．（结果取整数，参考数据：2=1.41，3=1.73）

25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为 A−1,−1，与 x 轴交点 M1,0．C 为 x 轴上一点，且 ∠CAO=90∘，线段 AC 的延长线交抛物线于 B 点，另有点 F−1,0．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线 AC 的解析式及 B 点坐标；
（3）过点 B 做 x 轴的垂线，交 x 轴于 Q 点，交过点 D0,−2 且垂直于 y 轴的直线于 E 点，若 P 是 △BEF 的边 EF 上的任意一点，是否存在 BP⊥EF ?若存在，求 P 点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】∵a=−1