2018 - 2019学年北京市昌平区九上期末数学试卷

这是一份2018 - 2019学年北京市昌平区九上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是
A. 圆柱B. 圆锥C. 长方体D. 三棱柱

2. 已知 ∠A 为锐角，且 sinA=32，那么 ∠A 等于
A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘

3. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水，排水，保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，CD 是 ⊙O 的弦，如果 ∠ACD=34∘，那么 ∠BAD 等于
A. 34∘B. 46∘C. 56∘D. 66∘

5. 如图，点 A，B，C，D，O 都在方格纸上，若 △COD 是由 △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为
A. 30∘B. 45∘C. 90∘D. 135∘

6. 若函数 y=x2+2x+m 的图象与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是
A. m＞1B. m＜1C. m≤1D. m=1

7. 二次函数 y=x2−2x，若点 A−1,y1，B2,y2 是它图象上的两点，则 y1 与 y2 的大小关系是
A. y1y2D. 不能确定

8. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：
温度t/∘C⋯−5−32⋯植物高度增质量h/mm⋯344641⋯
科学家推测出 h（mm）与 t 之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．已知温度越适合，植物高度增长量越大，由此可以推测最适合这种植物生长的温度为
A. −2∘B. −1∘C. 0∘D. 1∘

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 已知反比例函数 y=kx 的图象经过 −1,2，则 k 的值为 ．

10. 请写出一个过点 0,1 的函数的表达式 ．

11. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=1，点 P，点 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点，若点 P 的坐标为 −1,0，则点 Q 的坐标为 ．

12. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 B−1,2 与点 A 关于原点 O 中心对称，则点 A 的坐标为 ．

13. 如图，正方形 ABCD 内接于 ⊙O，E 是劣弧 CD 上一动点，则 ∠AEB= ∘．

14. 圆心角为 60∘ 的扇形的半径为 3 cm，则这个扇形的弧长是 cm．

15. 如图，PA，PB 分别与 ⊙O 相切于 A，B 两点，C 是优弧 AB 上的一个动点，若 ∠P=40∘，则 ∠ACB= ∘．

16. 如图，点 P 是等边三角形 ABC 内一点，将 CP 绕点 C 逆时针旋转 60∘ 得到 CQ，连接 AP，BP，BQ，PQ，若 ∠PBQ=40∘，下列结论：① △ACP≌△BCQ；② ∠APB=100∘；③ ∠BPQ=50∘，其中一定成立的是 ．（填序号）

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2cs30∘−tan60∘+sin30∘+12tan45∘．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，tanA=12，AC=2，求 AB 的长．

19. 已知：二次函数的表达式 y=x2−2x−3．
（1）用配方法将其化为 y=ax−h2+k 的形式；
（2）画出这个二次函数的图象，并写出该函数的一条性质．

20. 尺规作图：如图，AD 为 ⊙O 的直径．
（1）求作：⊙O 的内接正六边形 ABCDEF．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知连接 DF，⊙O 的半径为 4，求 DF 的长．
小明的做法如下，请你帮助他完成解答过程．
在 ⊙O 中，连接 OF．
∵ 正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，
∴AB=BC=CD=DE=EF=AF，
∴∠AOF=60∘，
∴∠ADF=12∠AOF=30∘ （填推理的依据），
∵AD 为 ⊙O 直径，
∴∠AFD=90∘，
∵cs30∘=DFAD=32，
∴DF= ．

21. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端 A 距离海平面的高度，先测出斜拉索底端 C 到桥塔的距离（CD 的长）约为 100 米，又在 C 点测得 A 点的仰角为 30∘，测得 B 点的俯角为 20∘，求斜拉索顶端 A 点到海平面 B 点的距离（AB 的长）．（已知 3≈1.732，tan20∘≈0.36，结果精确到 0.1）

22. 如图，在 ⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD 于点 E，BF∥OC，连接 BC 和 CF，CF 交 AB 于点 G．
（1）求证：∠OCF=∠BCD ；
（2）若 CD=4，tan∠OCF=12，求 ⊙O 半径的长．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=2x+b 的图象与 x 轴的交点为 A2,0，与 y 轴的交点为 B，直线 AB 与反比例函数 y=kx 的图象交于点 C−1,m．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点 P 是这个反比例函数图象上的点，过点 P 作 PM⊥x轴，垂足为点 M，连接 OP，BP，当 S△ABM=2S△OMP 时，请直接写出点 P 的坐标．

24. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，过点 C 作 BC 的垂线交 ⊙O 于 D，点 E 在 BC 的延长线上，且 ∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AC∥DE，当 AB=8，CE=2 时，求 ⊙O 直径的长．

25. 有这样一个问题：如图，Rt△ABC 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D，AD=m，BD=n，求 △ABC 的面积（用含 m，n 的式子表示）．
小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：
解：如图，令 AD=3，BD=4，
设 △ABC 的内切圆分别与 AC，BC 相切于点 E，F，CE 的长为 x．根据切线长定理，得 AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．
根据勾股定理得，x+32+x+42=3+42．
整理，得 x2+7x=12，
所以
S△ABC=12AC⋅BC=12x+3x+4=12x2+7x+12=12×12+12=12.
请你参考小冬的做法．
解决以下问题：
（1）当 AD=5，BD=7 时，求 △ABC 的面积；
（2）当 AD=m，BD=n 时，直接写出求 △ABC 的面积（用含 m，n 的式子表示）为 ．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2−4mx+4m−2 的顶点为 M．
（1）顶点 M 的坐标为 ．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若 MN∥y 轴且 MN=2．
① 点 N 的坐标为 ；
② 过点 N 作 y 轴的垂线 l，若直线 l 与抛物线交于 P，Q 两点，该抛物线在 P，Q 之间的部分与线段 PQ 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求 m 的取值范围．

27. 如图，在 △ABC 中，AC=BC，∠ACB=90∘，D 为 AC 上一点（与点 A，C 不重合），连接 BD，过点 A 作 AE⊥BD 的延长线于 E．
（1）①在图中作出 △ABC 的外接圆 ⊙O，并用文字描述圆心 O 的位置；
②连接 OE，求证：点 E 在 ⊙O 上；
（2）①延长线段 BD 至点 F，使 EF=AE，连接 CF，根据题意补全图形；
②用等式表示线段 CF 与 AB 的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，给出如下定义：若点 P 在图形 M 上，点 Q 在图形 N 上，如果 PQ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N 的“近距离”，记为 dM,N．特别地，当图形 M 与图形 N 有公共点时，dM,N=0．已知 A−4,0，B0,4，C−2,0．
（1）d（点 A，点 B）= ，d（点 A，线段 BC）= ；
（2）⊙O 半径为 r，
①当 r=1 时，求 ⊙O 与线段 AB 的“近距离”d（⊙O，线段 AB）；
②若 d⊙O,△ABC=1，则 r= ．
（3）D 为 x 轴上一点，⊙D 的半径为 1，点 B 关于 x 轴的对称点为点 Bʹ，⊙D 与 ∠BABʹ 的“近距离”d⊙D,∠BABʹ<1，请直接写出圆心 D 的横坐标 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. B
4. C
5. D
6. A
7. C
8. B
第二部分
9. −2
10. 答案不唯一
11. 3,0
12. 1,−2
13. 45
14. π
15. 70
16. ①②
第三部分
17. 2cs30∘−tan60∘+sin30∘−12tan45∘=2×32−3+12+12=1.
18. 在 Rt△ABC 中，
∵tanA=BCAC=12，AC=2，
∴BC=1，
∴AB=22+12=5．
19. （1） y=x2−2x+12−12−3=x−12−4.
（2） 画出图象，写出一条性质．
20. （1） 略．
（2） 一条弧所对的圆周角是圆心角的一半
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21. 如图，由题意得，在 △ABC 中，CD=100，∠ACD=30∘，∠DCB=20∘，CD⊥AB，
在 Rt△ACD 中，AD=CD⋅tan∠ACD=100×33≈57.73（米），
在 Rt△BCD 中，BD=CD⋅tan∠BCD≈100×0.36≈36（米），
∴AB=AD+DB=57.73+36=93.73≈93.7（米）．
答：斜拉索顶端 A 点到海平面 B 点的距离 AB 约为 93.7 米．
22. （1） ∵AB 是直径，AB⊥CD，
∴BC=BD，BCD=BFC，
∵BF∥OC，
∴∠OC=BFC，
∴∠OCF=∠BCD．
（2） ∵CD=4，CE=12CD，
∴CE=2，
∵∠OCF=∠BCD，
∴tan∠OCF=tan∠BCD=BECE=12，
∵CE=2，
∴BE=1，
设 OC=OB=x，则 OE=x−1，
在 Rt△OCE 中
∵x2=x−12+22，
∴x=52．
23. （1） 将 A2,0 代入直线 y=2x+b 中，得 2×2+b=0，
∴b=−4，
∴ 直线：y=2x−4，
将 C−1,m 代入直线 y=2x−4 中，得 2×−1−4=m，
∴m=−6，
∴C−1,−6，
将 C−1,−6 代入 y=kx，
∴k=6，
∴ 反比例函数的解析式为 y=6x．
（2） 点 P 的坐标为 −1,−6 或 5,65．
24. （1） 连接 BD，
∵DC⊥BE，
∴∠BCD=∠DCE=90∘，
∴BD 是 ⊙O 直径，
∴∠DEC+∠CDE=90∘，
∵∠DEC=∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE=90∘，
∵BC=BC，
∴∠BAC=∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE=90∘，
∴DE 是 ⊙O 切线．
（2） ∵AC∥DE，BD⊥DE，
∴BD⊥AC，
∵BD 是 ⊙O 直径，
∴AF=CF，
∴AB=BC=8，
∵BD⊥DE，DC⊥BE，
∴BD2=BC⋅BE=80，
∴BD=45．
25. （1） 如图，
令 AD=5，BD=7，
设 △ABC 的内切圆分别与 AC，BC 相切于点 E，F，CE 的长为 x．
根据切线长定理，得 AE=AD=5，BF=BD=7，CF=CE=x．
据勾股定理得 x+52+x+72=5+72，
整理，得 x2+12x=35，
所以
S△ABC=12AC⋅BC=12x+5x+7=12x2+12x+35=12×35+35=35.
（2） S△ABC=mn．
26. （1） M2,−2
（2） ① N2,0 或 N2,−4
② 1227. （1） ①圆心 O 的位置在线段 AB 的中点，所作图形如下所示．
② ∵AE⊥BD，
∴△AEB 为直角三角形，
∵ 点 O 为线段 AB 的中点，
∴OE=OA=OB=r，
∴ 点 E 在 ⊙O 上．
（2） ①补全的图形如图所示．
② AB=2CF．
证明如下：
∵AC=BC，∠ACB=90∘，
∴∠BAC=∠CBA=45∘，
∵BC=BC
∴∠BEC=∠BAC=45∘，
∵AE⊥BD，
∴∠BEA=90∘，
∴∠CEA=90∘+45∘=135∘，
∵∠CEF=180∘−∠CEB=135∘，
∴∠CEA=∠CEF，
∵AE=EF，∠CEA=∠CEF，CE=CE，
∴△CEA≌△CEF，
∴CF=CA，
∵ 在等腰 Rt△ACB 中，AB=2AC，
∴AB=2CF．
28. （1） 42；2
（2） ①过程略，答案为 22−1；
② 455−1 或 5
（3） −6