2021年北京石景山区蓝天二中九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京石景山区蓝天二中九年级上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 抛物线 y=2x2，y=−2x2，y=2x2+1 共有的性质是
A. 开口向上B. 对称轴都是 y 轴
C. 都有最高点D. 顶点都是原点

2. 在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，∠A=α，BD 是斜边 AC 上的高，下列结论中，成立的是
A. AC=BC⋅sinαB. AC=AB⋅csα
C. BC=AC⋅tanαD. CD=BD⋅tanα

3. 如图，PA，PB 是 ⊙O 切线，A，B 为切点，点 C 在 ⊙O 上，且 ∠ACB=55∘，则 ∠APB 等于
A. 55∘B. 70∘C. 110∘D. 125∘

4. 已知抛物线 y=−x2+mx+n 的顶点坐标是 −1,−3，则 m 和 n 的值分别是
A. 2，4B. −2，−4C. 2，−4D. −2，0

5. 挂钟的分针长 10 cm，经过 45 分钟，它的针尖经过的路程是
A. 15π2 cmB. 15π cmC. 75π2 cmD. 75π cm

6. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系．△ABO 与 △AʹBʹOʹ 是以点 P 为位似中心的位似图形．它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点 P 的坐标为
A. 0,0B. 0,1C. −3,2D. 3,−2

7. 如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋楼顶部 B 的仰角为 30∘，看这栋楼底部 C 的俯角为 60∘，热气球 A 与楼的水平距离为 120 米，这栋楼的高度 BC 为
A. 160 米B. 60+1603 米
C. 1603 米D. 360 米

8. 如图，一个三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是 46∘，则 ∠ACD 的度数为
A. 46∘B. 23∘C. 44∘D. 67∘

9. 小明在暑假帮某服装店卖T恤衫时发现，在一段时间内，T恤衫按每件 80 元销售时，每天的销售量是 20 件，单价每降低 4 元，每天就可以多售出 8 件．已知该T恤衫的进价是每件 40 元，请问：当每件T恤衫降价多少元时，服装店卖该T恤衫一天能赢利 1200 元?如果设每件T恤衫降价 x 元，那么所列方程正确的是
A. 80−x20+x=1200B. 80−x20+2x=1200
C. 40−x20+x=1200D. 40−x20+2x=1200

10. 若二次函数 y=ax2+4x+a−1 的最小值是 2，则 a 的值为
A. 4B. −1C. 3D. 4 或 −1

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 已知 4 与 m 的比例中项是 6，那么 m= ．

12. 已知函数 y=−2x2+x−4，当 x< 时，y 随 x 的增大而增大；当 x> 时，y 随 x 的增大而减小；当 x= 时，y 最大值为 ．

13. 若 △ABC∽△DEF，若相似比是 4:25，若 △DEF 的周长是 100，那么 △ABC 的周长是 ．

14. 如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于 度．

15. 要组织一场足球比赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，问比赛组织者应邀请多少只球队参赛?设比赛组织者应邀请 x 支球队参赛，根据题意列出的方程是 ．

16. 如图，点 A，B，D 在 ⊙O 上，∠A=25∘，OD 的延长线交直线 BC 于点 C，且 ∠OCB=40∘，则直线 BC 与 ⊙O 的位置关系为 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算
（1）2sin30∘−12+tan60∘．
（2）sin260∘+∣tan45∘−2∣−2cs45∘．

18. 如图，在 △ABC 中，∠B=45∘，∠C=30∘，BC=3+33，求 AB 的长．

19. 根据下列条件求 y 关于 x 的二次函数表达式．
（1）抛物线的顶点为 −1,2，且过点 1,10；
（2）图象过点 0,−2，1,2，且对称轴为直线 x=32．

20. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，CE⊥AD 于点 E，DF⊥BA 交 BA 的延长线于点 F．
（1）求证：△ADF∽△DCE．
（2）当 AF=2，AD=6，且点 E 恰为 AD 中点时，求 AB 的长．

21. 如图，邻边不等的矩形花圃 ABCD，它的一边 AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是 6 m．若矩形的面积为 4 m2，求 AB 的长度（可利用的围墙长度超过 6 m）．

22. 已知抛物线 C1:y1=2x2−4x+k 与 x 轴只有一个公共点．
（1）求 k 的值；
（2）怎样平移抛物线 C1 就可以得到抛物线 C2:y2=2x+12−4k?请写出具体的平移方法；
（3）若点 A1,t 和点 Bm,n 都在抛物线 C2:y2=2x+12−4k 上，且 n
23. 如图，⊙O 是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面 AB 宽 10 cm，水最深的地方深 3 cm，求输水管的半径．

24. 如图所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架 AB 和 CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在 AD 上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平线夹角为 θ1，且在水平线上的射影 AF 为 1.4 m．现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为 θ2，并已知 tanθ1=1.082，tanθ2=0.412．如果安装工人已确定支架 AB 高为 25 cm，求支架 CD 的高（结果精确到 1 cm）?

25. 如图，在 △ABC 中，BA=BC，以 AB 为直径的 ⊙O 分别交 AC 、 BC 于点 D 、 E，BC 的延长线与 ⊙O 的切线 AF 交于点 F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若 AC=210，sin∠CAF=1010，求 BE 的长．

26. 如图，二次函数 y1=mx2+nx 与一次函数 y2=ax+b 的图象相交于点 A−2,0，B2,4，观察图象回答下列问题．
（1）当 时，y1=y2；
（2）当 时，y1>y2；
（3）mx2+nx
27. 抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A 和 B，与 y 轴的交点为 c，其中 A−1,0，c0,−3．
（1）写出 B 点的坐标 ；
（2）若抛物线上存在一点 P，使得 △POC 的面积是 △BOC 的面积的 2 倍，求点 P 的坐标；
（3）点 M 是线段 BC 上一点，过点 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 D，求线段 MD 长度的最大值．

28. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC=4，M 为 AB 的中点．D 是射线 BC 上一个动点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 得到线段 AE，连接 ED，N 为 ED 的中点，连接 AN，MN．
（1）如图 1，当 BD=2 时，AN= ，NM 与 AB 的位置关系是 ；
（2）当 4（3）连接 ME，在点 D 运动的过程中，当 BD 的长为何值时，ME 的长最小?最小值是多少?请直接写出结果．

29. 在平面直角坐标系 xOy 中，过 ⊙C 上一点 P 作 ⊙C 的切线 l．当入射光线照射在点 P 处时，产生反射，且满足：反射光线与切线 l 的夹角和入射光线与切线 l 的夹角相等，点 P 称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在 ⊙C 外时，只在圆外进行反射；当入射光线在 ⊙C 内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．
光线在 ⊙C 外反射的示意图如图1所示，其中 ∠1=∠2．
（1）自 ⊙C 内一点出发的入射光线经 ⊙C 第一次反射后的示意图如图2所示，P1 是第1个反射点．请在图2中作出光线经 ⊙C 第二次反射后的反射光线；
（2）当 ⊙O 的半径为 1 时，如图3，
第一象限内的一条入射光线平行于 x 轴，且自 ⊙O 的外部照射在其上点 P 处，此光线经 ⊙O 反射后，反射光线与 y 轴平行，则反射光线与切线 l 的夹角为 ∘；
自点 A−1,0 出发的入射光线，在 ⊙O 内不断地反射．若第 1 个反射点 P1 在第二象限，且第 12 个反射点 P12 与点 A 重合，则第 1 个反射点 P1 的坐标为 ；
（3）如图4，点 M 的坐标为 0,2，⊙M 的半径为1．第一象限内自点 O 出发的入射光线经 ⊙M 反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点 P 的纵坐标的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】（1）y=2x2 开口向上，对称轴为 y 轴，有最低点，顶点为原点；
（2）y=−2x2 开口向下，对称轴为 y 轴，有最高点，顶点为原点；
（3）y=2x2+1 开口向上，对称轴为 y 轴，有最低点，顶点为 0,1．
2. D
3. B【解析】连接 OA，OB，
∵PA，PB 是 ⊙O 的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB=55∘，
∴∠AOB=110∘，
∴∠APB=360∘−90∘−90∘−110∘=70∘．
4. B
5. B
【解析】因为分针经过 60 分钟，转过 360∘，
所以经过 45 分钟转过 270∘，
则分针的针尖经过的路程是 nπr180=270×π×10180=15πcm．
6. C
7. C【解析】如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
则 ∠BAD=30∘，∠CAD=60∘，AD=120（米），
在 Rt△ABD 中，BD=AD⋅tan30∘=120×33=403（米），
在 Rt△ACD 中，CD=AD⋅tan60∘=120×3=1203（米），
∴BC=BD+CD=1603（米）．
8. D【解析】如图，连接 OD，
∵ 三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，
∴A，B，C，D 四点共圆，
∵ 点 D 对应的刻度是 46∘，
∴∠BOD=46∘，
∴∠BCD=12∠BOD=23∘，
∴∠ACD=90∘−∠BCD=67∘．
9. D
10. A
第二部分
11. 9
12. 14，14，14，−318
13. 16
14. 90
15. 12xx−1=28
16. 相切
【解析】∵∠BOC=2∠A=50∘，∠OCB=40∘，
∴ 在 △OBC 中，∠OBC=180∘−50∘−40∘=90∘．
∴ 直线 BC 与 ⊙O 相切．
第三部分
17. （1） 原式= 2×12−23+3，
= 1−3．
（2） 原式= 322+∣1−2∣−2×22，
= −14．
18. 如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，
设 AH=x，则 AB=2x，BH=x，CH=AHtan30∘=3x．
由 BC=3+33，得
x+3x=33+3，
∴x=3．
∴AB=32．
19. （1） y=2x+12+2．
（2） y=−2x−322+52．
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DAF=∠CDE，
∵DF⊥BA，CE⊥AD，
∴∠F=∠CED=90∘，
∴△ADF∽△DCE．
（2） ∵△ADF∽△DCE，
∴ADDC=AFDE，
∴6DC=23，
∴DC=9．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC，
∴AB=9．
21. 设 AB=x m，
列方程，得
x6−2x=4,
解得
x1=1,x2=2舍
即
x1=1.
答：AB 的长度为 1 m．
22. （1） 根据题意得：Δ=16−8k=0，解得：k=2．
（2） C1 是：y1=2x2−4x+2=2x−12，抛物线 C2 是：y2=2x+12−8．
则平移抛物线 C1 就可以得到抛物线 C2 的方法是向左平移 2 个单位长度，向下平移 8 个单位长度．
（3） −3【解析】当 x=1 时，y2=2x+12−8=0，即 t=0．
在 y2=2x+12−8 中，令 y=0，解得：x=1或−3．
则当 n23. 如答图，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，交 ⊙O 于点 E，
则 AD=BD=12AB=5，DE=3．
设输水管的半径为 r，则 OD=r−3．
在 Rt△OBD 中，OB2=BD2+OD2，即 r2=52+r−32．
解得 r=173．
∴ 输水管的半径为 173 cm．
24. 如图所示，过 A 作 AE∥BC，则 ∠EAF=∠CBG=θ2，且 EC=AB=25 cm．
Rt△DAF 中，∠DAF=θ1，DF=AFtanθ1，Rt△EAF 中，∠EAF=θ2，EF=AFtanθ2，
∴DE=DF−EF=AFtanθ1−tanθ2．
∵AF=140 cm，tanθ1=1.082，tanθ2=0.412，
∴DE=140×1.082−0.412=93.8，
∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8≈119 cm．
答：支架 DC 的高应为 119 cm．
25. （1） 连接 BD．
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ADB=90∘，BD⊥AC，
∴ ∠DAB+∠DBA=90∘．
∵ BA=BC．
∴ 2∠ABD=∠ABC．
∵ AF 为 ⊙O 的切线，
∴ ∠FAB=90∘．
∴ ∠FAC+∠CAB=90∘．
∴ ∠FAC=∠ABD．
∴ ∠ABC=2∠CAF．
（2） 连接 AE．
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠AEB=∠AEC=90∘．
∵ sin∠CAF=1010，∠ABD=∠CAF=∠CBD=∠CAE，
∴ sin∠ABD=sin∠CAF=1010．
∵ ∠ADB=90∘，AC=210，
∴ AD=10，AB=ADsin∠ABD=10=BC．
∵ ∠AEC=90∘，AC=210，
∴ CE=AC⋅sin∠CAE=2．
∴ BE=BC−CE=10−2=8．
26. （1） x=−2 或 2
（2） x<−2 或 x>2
（3） −227. （1） 3,0
【解析】抛物线的对称轴为 x=1，点 A 坐标为 −1,0，则点 B3,0，故：答案为 3,0；
（2） 二次函数表达式为：y=ax+1x−3=ax2−2x−3，
即：−3a=−3，解得：a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2−2x−3，
由题意得：S△POC=2S△BOC，则 x=±2OB=6，
故点 P 的坐标为 6,21 或 −6,45；
（3） 如图所示：
将点 B，C 坐标代入一次函数 y=kx+b 得表达式得：c=−3,3k+b=0, 解得 k=1,b=−3, 故直线 BC 的表达式为：y=x−3，
设：点 M 坐标为 x,x−3，则点 D 坐标为 x,x2−2x−3，
则 MD=x−3−x2+2x+3=−x−322+94．
故 MD 长度的最大值为 94．
28. （1） 10；NM⊥AB
（2） 依题意补全图如图所示：
结论：（1）中 NM 与 AB 的位置关系不变．
证明：∵∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=45∘．
∴∠CAN+∠NAM=45∘．
∵AD 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 得到线段 AE，
∴AD=AE，∠DAE=90∘．
∵N 为 ED 的中点，
∴∠DAN=12∠DAE=45∘，
AN⊥DE．
∴∠CAN+∠DAC=45∘，
∠AND=90∘．
∴∠NAM=∠DAC．
在 Rt△AND 中，ANAD=cs∠DAN=cs45∘=22．
在 Rt△ACB 中，ACAB=cs∠CAB=cs45∘=22．
∵M 为 AB 的中点，
∴AB=2AM．
∴ACAB=AC2AM=22．
∴AMAC=22．
∴ANAD=AMAC．
∴△ANM∽△ADC．
∴∠AMN=∠ACD．
∵ 点 D 在线段 BC 的延长线上，
∴∠ACD=180∘−∠ACB=90∘．
∴∠AMN=90∘．
∴NM⊥AB．
（3） 当 BD 的长为 6 时，ME 的长的最小值为 2．
（2） 45∘，−32,12 或 −12,32
（3） （1）如图2，直线 OQ 与 ⊙M 相切于点 Q，
点 Q 在第一象限，
连接 MQ，过点 Q 作 QH⊥x 轴于点 H．
∵ 直线 OQ 与 ⊙M 相切于点 Q，
∴MQ⊥OQ．
∴∠MQO=90∘．
∵MO=2，MQ=1，
∴ 在 Rt△MQO 中，sin∠MOQ=MQMO=12．
∴∠MOQ=30∘．
∴OQ=OM﹒cs∠MOQ=3．
∵QH⊥x 轴，
∴∠QHO=90∘．
∵∠QOH=90∘−∠MOQ=60∘，
∴ 在 Rt△QOH 中，QH=OQ﹒sin∠QOH=32．
（2）如图 3，当反射光线 PN 与坐标轴平行时，
连接 MP 并延长交 x 轴于点 D，过点 P 作 PE⊥OD 于点 E，过点 O 作 OF⊥PD 于点 F．
∵ 直线 l 是 ⊙M 的切线，
∴MD⊥l．
∴∠1+∠OPD=∠2+∠NPD=90∘．
∵∠1=∠2，
∴∠OPD=∠NPD．
∵PN∥x 轴，
∴∠NPD=∠PDO．
∴∠OPD=∠PDO．
∴OP=OD．
∵OF⊥PD，
∴∠MFO=90∘，PF=FD．
∵cs∠OMF=MFMO=MOMD，
设 PF=FD=x，而 MO=2，MP=1，
∴1+x2=21+2x．
解得 x=−3±334．
∵x>0，
∴x=−3+334．
∵PE⊥OD，
∴∠PED=90∘=∠MOD．
∴PE∥MO．
∴∠EPD=∠OMF．
∴cs∠EPD=cs∠OMF．
∴PEPD=MFMO．
∴PE=MFMO⋅PD=1+x2⋅2x=x1+x=15−338．
可知，当反射点 P 从（2）中的位置开始，在 ⊙M 上沿逆时针方向运动，到与（1）中的点 Q 重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点 P 的纵坐标的取值范围是 15−338≤yP<32．