北师大版八年级下册第四章 因式分解2 提公因式法教案

教师活动

学生活动

一、创设情景

(5分钟)

师：

（1）630能被哪些数整除？请你说说是怎样想的。
（2） 当a=102，b=98时，求a²－b²的值。

师：

通过对上面两个问题解决方法和过程的讨论，可以看到把一个数进行质因数分解或把一个多项式变为几个整式的乘积时，其实是对数或式的一种恒等变形，能让计算变简便。

学生活动1：学生独立思考，进行解答，然后互相交流，得出结论：

（1）在小学我们已经知道，要解决这个问题，需要把630进行质因数分解：630=2×32×5×7；

（2）学生：应用平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²，先把a²-b²变形成(a+b)(a-b)的形式再代入进行计算；

当然也可以直接把a=102,b=98代入进行计算，但是计算量比较大；

二、探索新知（20分钟）

 请同学们尝试发现以上两个式子的特征。

师：非常正确，那么，像这样“把一个多项式化成了几个整式的积的形式”，我们叫做把这个多项式——因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

师：请同学们观察下面的两个式子,我们在学习整式的乘法时，学习了乘法分配率和平方差公式，看看它们和因式分解之间有什么联系。  

a²－b² ＝ (a＋b)(a－b)

师：非常好！

（在学生回答问题的时候板书）

  因式分解

a²-b²          (a＋b)(a－b)  

 整式乘法

师：下面同学们一起判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?

(1) x²－4y²=(x+2y)(x－2y)；

(2) 2x(x－3y)=2x²－6xy ;

(3) (5a－1)²=25a²－10a+1 ；

(4) x²+4x+4=(x+2)² ；

(5) m²－4=(m+2)(m－2) ；

师：

    如图，一块草坪由三个长方形组成，这些长方形的长分别是1.3米,3.5米,5.2米,宽都是3.7米 ,如何计算这块草坪的面积呢？

师：3.7×5.2+3.7×3.5 +3.7×1.3=3.7×(5.2+3.5+1.3)

如果我们把3.7换成m，5.2换成a，3.5换成b，1.3换成c，你发现什么？

师：你能验证这个式子吗？

师：我们观察多项式：ma＋mb +mc

你发现它有什么特点吗？

师：很好，各项都含有一个公共的因式m对吗？我们以前将各个数字公共含有的因数成为公因数，那这个公共的因式我们给它起一个名字，你想叫它什么？

师：那么我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式，我们需注意公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。

那么同学们能不能尝试寻找如何确定公因式的方法呢？

⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）；

⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂（相同因式的最低次幂）；

（3）系数与字母相乘。

简记为：定系数→定字母→定指数

师：指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）

⑴ax+ay-a

⑵5x²y³-10x²y  

⑶24abc-9a²b²

⑷m²n+mn²

⑸x(x-y)²-y(x-y)

师：我们从刚刚得出的等式：

ma＋mb+mc =m(a＋b+c)

你发现了什么？

师：非常正确，像这样把多项式各项含有的公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，我们称这种分解因式的方法叫做提公因式法。

师：提公因式法分解因式的依据是乘法的分配律。

师：这个时候相信同学们可以得出用提公因式法进行因式分解的步骤。

学生活动4：学生思考后，交流自己归纳总结；

学生：上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式。

学生活动5：学生思考后，交流自己归纳总结；

学生1：从左到右变形是因式分解，从右到左变形是整式乘法。

学生2：因式分解与整式乘法是相反方向的变形。

学生活动6：学生思考后，交流自己的答案；

学生活动7：

学生思考后列式：3.7×3.8+3.7×6.2

3.7×5.2+3.7×3.5 +3.7×1.3

=3.7×(5.2+3.5+1.3)

=3.7×10=37(m²)

于是有：ma＋mb+mc=m(a＋b+c)

利用整式乘法的分配律验证:

m(a＋b+c)=ma＋mb+mc

学生活动7：观察归纳：

学生1：都有m，含有两种运算乘法、加法；

学生2：公共的因式叫公因式。

学生活动8：学生讨论总结，然后教师进行归纳。

学生：

（a）

（5x²y）

（3ab）

（mn）

 (x-y)

学生：

把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式。

学生思考后得出结论：观察多项式→确定公因式→提取公因式→确定另外一个因式

教师归纳为：找公因式→提公因式。  

三、巩固新知（10分钟）

例题：

把8a³b²+12ab³c分解因式

例题讲解：先找出8a³b与12ab³c的公因式，再提出公因式。

1、找公因式：

（定系数）先看两项的系数8与12，它们的最大公约数是4；

（定字母）两项的字母部分a³b与ab³c都含有字母a和b；

（定指数）a的最低次数为1，b的最低次数为2。

所以我们选定4ab²为要提出的公因式。

2、提公因式：提出公因式4ab²后，另一个因式2a²+3bc就不再有公因式了。

练习一：

把下列各式分解因式：

⑴ x²+x^6 ；   ⑵ 8m²n+2mn；

⑶ -12xyz-9x²y². 

练习二：

1、把2a(b+c)-3(b+c)分解因式

2、把2a(y-z)-3b(z-y)分解因式

3、先分解因式，再求值。

4a²（x+7）-3（X+7），其中a=-5，x=3

教师引导学生根据找公因式的方法，寻求解答思路。

学生进行解答，再自行点评，找出分解因式出现的错误，比如：符号、项数。

四、课堂小结（4分钟）

请同学们回顾今天这节课你学到了什么？谈谈本节课学习的收获与体会。

（2）教师概括小结，重点强调：

本节课主要学习

1、什么叫因式分解？它与整式乘法有何区别？

2、确定公因式的方法：

一看系数　；二看字母　；三看指数。

3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：

第一步，找出公因式；

第二步，提公因式。

4、用提公因式法分解因式应注意的问题：

（1）公因式要提尽；

（2）多项式的首项取正号

学生：

这节课，我的收获是……

我最感兴趣的地方是……

我想进一步研究的问题是……

对本节课学习还有的疑惑……

五、作业布置（1分钟）

因式分解与提公因式法

一、因式分解

   1、因式分解：1、多项式  2、化成几个因式的乘积

   2、辨析：     因式分解

            x2-1           (x+1)(x-1) 

                整式乘法

二、提公因式法

   1、公因式：各项都有的公共因式

   2、确定公因式：定系数→定字母→定指数

   3、步骤：观察多项式→确定公因式→提取公因式→确定另外一个因式

          （找公因式→提公因式）

四、例题