2021年北京平谷区黄松峪中学八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京平谷区黄松峪中学八年级下期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 图中阴影部分是由 4 个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在
A. 区域①处B. 区域②处C. 区域③处D. 区域④处

2. 下列式子中，属于最简二次根式的是
A. 8B. 12C. 62D. 0.5

3. 以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是
A. 32，42，52B. 13，5，12C. 13，14，15D. 312，412，512

4. 若关于 x 的一元二次方程 x2+4x−m=0 有两个实数根，则实数 m 的取值范围是
A. m≥−4B. m≤−4C. m≥4D. m≤4

5. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码的鞋销售量如下表：
尺码销售量/双12510462
店主决定在下次进货时增加一些 23.5 cm 尺码的女鞋，影响店主决策的统计量是
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差

6. 用配方法解方程 x2+4x+1=0，经过配方，得到
A. x+22=5B. x−22=5C. x−22=3D. x+22=3

7. 若方程 a−1x2+x−9=0 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的取值范围是
A. a≠0B. a≠1C. a≠−1D. a>1

8. 如图，把六张大小形状完全相同的小平行四边形卡片放在一个底面为平行四边形的盒子底部，两种放置方法如图②，③所示，其中图③中的重叠部分是平行四边形 EFGH，若 EH=2GH，且图②中阴影部分的周长比图③中阴影部分的周长大 3，则 AB−AD 的值为
A. 0.5B. 1C. 1.5D. 3

9. 菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘

10. 某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下表：
砝码的质量x/g050100150200250300400500指针位置
则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 函数 y=x−1 中，自变量 x 的取值范围是 ．

12. 一次函数 y=kx+b （ k，b 为常数，且 k≠0 ）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于 x 的方程 kx+b=0 的解为 ．

13. 一组数据 4，5，6，7，8 的方差为 S12，另一组数据 3，5，6，7，9 的方差为 S22，那么 S12 S22（填“ > ”、“ = ”或“ < ”）．

14. 已知点 P1x1,y1，P2x2,y2 是一次函数 y=−5x+b 图象上的两个点，若 x1”“<”或“=”）．

15. 用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 64 cm2 的长方形．设长方形的长为 xcm，则可列方程为 ．

16. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥CB，且 AD>BC，BC=6 cm，动点 P，Q 分别从 A，C 同时出发，P 以 1 cm/s 的速度由 A 向 D 运动，Q 以 2 cm/s 的速度由 C 向 B 运动（Q 运动到 B 时两点同时停止运动），则 s 后四边形 ABQP 为平行四边形．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 计算：2−1+3cs30∘+∣−5∣−π−20110．

18. 解方程：y−12=2−3y−45．

19. 已知：如图，E、F 分别为平行四边形 ABCD 的边 BC、AD 上的点，且 ∠1=∠2 ，求证：AE=CF．

20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，BC=1，AC=5．
（1）以点 B 为旋转中心，将 △ABC 沿逆时针方向旋转 90∘ 得到 △AʹBCʹ，请画出变换后的图形（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求点 A 和点 Aʹ 之间的距离．

21. 如图，直线 y=2x+3 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B．
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）过点 B 作直线 BP 与 x 轴相交于点 P，且使 OP=2OA，求 △ABP 的面积．

22. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽得 12 名选手所用的时间（单位：分钟）得到如下样本数据：140，146，143，175，125，164，134，155，152，168，186，148．
（1）计算该样本数据的中位数和平均数；
（2）如果一名选手的成绩是 147 分钟，请你依据该样板数据中位数，推断他的成绩如何?

23. 为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳 300 元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以 x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中 y 关于 x 的函数解析式；
（2）若某人计划在商都购买价格为 5880 元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱?

24. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形 OCED 是菱形．
（2）若 ∠ACB=30∘，BC 的长为 43，求四边形 OCED 的周长．

25. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数 y=6xx2+1 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
x⋯−5−4−3−2−1012345⋯y=6xx2+1⋯−1513−2417−125−30312524171513⋯
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”；
① 该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为 y 轴．
② 该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当 x=1 时，函数取得最大值 3；当 x=−1 时，函数取得最小值 −3．
③ 当 x<−1 或 x>1 时，y 随 x 的增大而减小；当 −1（3）已知函数 y=2x−1 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 6xx2+1>2x−1 的解集（保留 1 位小数，误差不超过 0.2）．

26. 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
已知：在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，斜边 BC=5，直角边 AB=3，Rt△ABC 的准外心 P 在边上，试求 PA 的长．

27. （1）（1）问题发现
如图1，△ACB 和 △DCE 均为等边三角形，点 A 、 D 、 E 在同一直线上，连接 BE .
填空：
（1）∠AEB 的度数为 ；
（2）线段 BE 和 AD 之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘ ， 点 A 、 D 、 E 在同一直线上，CM 为 △DCE 中 DE 边上的高，连接 BE．请判断 ∠AEB 的度数及线段 CM 、 AE 、 BE 之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形 ABCD 中，CD=2．若点 P 满足 PD=1 ，且 ∠BPD=90∘，请直接写出点 A 到 BP 的距离．
答案
第一部分
1. B【解析】增加一个正方形，使得图形为中心对称图形，可得区域②满足题意．
故选B．
2. C
3. B【解析】A．322+422≠522，不能构成直角三角形；
B．52+122=132，能构成直角三角形；
C．142+152≠132，不能构成直角三角形；
D．3122+4122≠5122，不能构成直角三角形．故选B．
4. A【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2+4x−m=0 有两个实数根，
∴Δ=16+4m≥0，即 m≥−4．
5. C
【解析】由表中数据知，这组数据的众数为 23.5 cm，所以影响店主决策的统计量是众数，故选C．
6. D
7. B
8. A【解析】设 AB=a，BC=b，题图①中的平行四边形中相邻两条边的长是 x，yy>x，GH=c，则 EH=2c，
∵ 题图②中阴影部分的周长比题图③中阴影部分的周长大 3，
∴2b+2a−2b−2c+2a−c=3，
解得 c=0.5，
即 GH=0.5，EH=1，
所以 AB−AD=y−0.5+3x−3x−1+y=0.5．
9. C
10. B
【解析】由选项可知选项中分段函数前一段为一次函数，再观察表格前六组数据可求表达式为 y=150x+2，
则当 y=7.5 时，x=275．
故选B．
第二部分
11. x≥0
12. x=−1
13. <
14. >
【解析】∵k=−5<0，
∴y 值随 x 值的增大而减小，
又 ∵ 点 P1x1,y1，P2x2,y2 是一次函数 y=−5x+b 图象上的两个点，且 x1 ∴y1>y2．
15. x20−x=64
16. 2
【解析】设 x s 后四边形 ABQP 为平行四边形，则 AP=x cm，QC=2x cm，BQ=6−2x cm，
四边形 ABQP 是平行四边形，
所以 AP=BQ，
所以 x=6−2x，
所以 x=2．
所以 2 s 后四边形 ABQP 是平行四边形．
第三部分
17. 原式=12+3×32+5−1=12+32+5−1=6.
18. y=3
19. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC .
∴∠FCB=∠2 .
∵∠1=∠2 ，
∴∠1=∠FCB .
∴AE∥CF .
又 ∵AF∥CE ，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
∴AE=CF
20. （1） 如图所示，△AʹBCʹ 即为所求．
（2） 如图，连接 AAʹ，
∵ 在 Rt△ABC 中，BC=1，AC=5，
∴AB=52+12=2，
∵ 在 Rt△ABAʹ 中，AB=ABʹ=2，
∴AAʹ=AB2+AʹB2=22+22=22，
∴ 点 A 与点 Aʹ 的距离为 22．
21. （1） 当 y=0 时，x=−32，
∴ 点 A 的坐标为 −32,0；
当 x=0 时，y=3，
∴ 点 B 的坐标为 0,3．
（2） 当 P3,0 时，△ABP 的面积为 274；
当 P−3,0 时，△ABP 的面积为 94．
22. （1） 中位数为：148+1522=150．
设基准数 a=140，则新数据为：
0，6，3，35，−15，24，6，15，12，28，22，8
∴x=140+3+35+24+12+28+22+812=151．
（2） 依据 1 中得到的样本数据的中位数可以估计，在这次马拉松比赛中，大约有一半选手的成绩快于 150 分钟，有一半选手的成绩慢于 150 分钟．这名选手的成绩是 147 分钟，快于中位数 150 分钟，可以推断他的成绩估计比一半以上选手的成绩好．
23. （1） 方案一：y=0.95x；
方案二：y=0.9x+300．
（2） 当 x=5880 时，
方案一：y=0.95x=5586，
方案二：y=0.9x+300=5592，
5586<5592，所以选择方案一更省钱．
24. （1） ∵DE∥OC，CE∥OD，
∴ 四边形 OCED 是平行四边形．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AO=OC=BO=OD，
∴ 四边形 OCED 是菱形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=90∘．
∵∠ACB=30∘，
∴AB=12AC，设 AB=x，则 AC=2x，
∴BC=3x=43．
∴x=4．
∴OC=12AC=4．
由（1）可知四边形 OCED 是菱形，故它的周长为 16．
25. （1） −95；95；
（2） √；√；×
【解析】x<−1 时，y 值随 x 增大而增大，−1 （3） x<−1，−0.28 6xx2+1=2x−1 时，x+12x2−3x−1=0 得
x1=−1，x2=3+174≈1.78，x3=3−174≈−0.28．
26. PA=2或78
【解析】如图：
∵BC=3，AB=5，
∴AC=AB2−BC2=4，
若 PB=PC，设 PA=x，
则 4−x2=32+x2，
∴x=78，则 PA=78，
若 PA=PC，则 PA=2，
若 PA=PB，此情况不成立；
综上，PA=2或78 .
27. （1） ① 60∘ ；② AD=BE
（2） ∵△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE−∠DCB，即 ∠ACD=∠BCE .
∴△ACD≌△BCE .
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135∘．
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135∘−45∘=90∘．
在等腰直角三角形 DCE 中，CM 为斜边 DE 上的高，
∴CM=DM=ME .
∵DE=2CM ，
∴AE=DE+AD=2CM+BE .
（3） PD=1，∠BPD=90∘，
∴BP 是以点 D 为圆心、以 1 为半径的 OD 的切线，点 P 为切点．
第一种情况：如图①，过点 A 作 AP 的垂线，交 BP 于点 Pʹ，
可证 △APD≌△APʹB，PD=PʹB=1，CD=2 .
∴BD=2，BP=3 .
∴AM=12PPʹ=12PB−BPʹ=3−12 .
第二种情况如图②，
可得 AM=12PPʹ=12PB+BPʹ=3+12