2021年北京朝阳区中科院附属实验学校（初中部）八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区中科院附属实验学校（初中部）八年级下期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 使二次根式 x−3 有意义的 x 的取值范围是
A. x<3B. x≥3C. x≥0D. x≠3

2. 下列数学符号中，不是中心对称图形的是
A. ∽B. =C. ∥D. >

3. 根据图中所给条件，不能说明四边形 ABCD 是平行四边形的是
A. B.
C. D.

4. 在市运动会射击比赛选拔赛中，某校射击队甲、乙、丙、丁四名队员的 10 次射击成绩如图所示．他们的平均成绩均是 9.0 环，若选一名射击成绩稳定的队员参加比赛，最合适的人选是
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁

5. 若反比例函数 y=m−3x 的图象在第一、第三象限，则 m 的值可以是
A. 4B. 3C. 0D. −3

6. 如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，F 点是 AC 的中点，连接 EF．如果 EF=4，那么菱形 ABCD 的周长为
A. 9B. 12C. 24D. 32

7. 某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为
A. 801+x2=100B. 1001−x2=80
C. 801+2x=100D. 801+x2=100

8. 若 a，b，c 是 △ABC 的三边长且关于 x 的方程 ax2−1−2cx+bx2+1=0 有两个相等的实数根，那么这个三角形的形状为
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形

9. 如图①，在长方形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止，设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，如果 y 与 x 之间的图象如图②所示，则长方形 ABCD 的面积是
A. 10B. 16C. 20D. 36

10. 如图，△ABC 中，∠CAB=65∘，在同一平面内，将 △ABC 绕点 A 旋转到 △AED 的位置，使得 DC∥AB，则 ∠BAE 等于
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘

二、填空题（共10小题；共52分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高 3 m 处折断，若木杆折断前的高度为 8 m，则木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为 m．

13. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 ∠AOD=120∘，AB=2，则 BC 的长为 ．

14. 某汽车制造商对新投入市场的两款汽车进行了调查，这两款汽车的各项得分如表所示：
汽车型号安全性能省油效能外观吸引力内部配备A3123B3222
（得分说明：3 分——极佳，2 分——良好，1 分——尚可接受）
（1）技术员认为安全性能、省油效能、外观吸引力、内部配备这四项的占比分别为 30%，30%，20%，20%，并由此计算得到A型汽车的综合得分为 2.2，B型汽车的综合得分为 ；
（2）请你写出一种各项的占比方式，使得A型汽车的综合得分高于B型汽车的综合得分．（说明：每一项的占比大于 0，各项占比的和为 100%）
答：安全性能： ，省油效能： ，外观吸引力： ，内部配备： ．

15. 在查阅勾股定理证明方法的过程中，小红看到一种利用“等积变形 —— 同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学．
（1）根据信息将以下小红的证明思路补充完整：
① 如图 1，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，四边形 ADEC，四边形 BCFG，四边形 ABPQ 都是正方形．延长 QA 交 DE 于点 M，过点 C 作 CN∥AM 交 DE 的延长线于点 N，可得四边形 AMNC 的形状是 ；
② 在图 1 中利用“等积变形”可得 S正方形ADEC= ；
③ 如图 2，将图 1 中的四边形 AMNC 沿直线 MQ 向下平移 MA 的长度，得到四边形；
④ 设 CCʹ 交 AB 于点 T，延长 CCʹ 交 QP 于点 H，在图 2 中再次利用“等积变形”可得 S四边形QACCʹ= ，则有 S正方形ADEC= ；
⑤ 同理可证 S正方形BCFG=S四边形HTBP，因此得到 S正方形ADEC+S正方形BCFG=S正方形ABPQ，进而证明了勾股定理．
（2）小芳阅读完小红的证明思路后，对其中的第 ③ 步提出了疑问，请将以下小红对小芳的说明补充完整：
图 1 中 △ ≌△ ，则有 =AB=AQ，由于平行四边形的对边相等，从而四边形 AMNC 沿直线 MQ 向下平移 MA 的长度，得到四边形．

16. 如果平行四边形两个邻角度数之比为 2:1，则此平行四边形较大内角的度数为 度．

17. 将代数式 x2+6x+7 进行如下变形：x2+6x+7=x2+2⋅x⋅3+9−9+7=x+32−2，当 x 的值为 时，x+32 的最小值为 0，即 x+32−2 的最小值为 −2，从而代数式 x2+6x+7 的最小值为 ．

18. 如图，连接四边形 ABCD 的中点，得到四边形 EFGH，还要添加条件 ，才能保证四边形 EFGH 是矩形．

19. 把二元二次方程 x2−xy−2y2=0 化成两个二元一次方程，所得的两个二元一次方程分别是 ．

20. 如图，Rt△ABC 在第一象限内，∠BAC=90∘，AB=AC=2，点 A 在函数 y=x 的图象上，其中点 A 的横坐标为 1，且 AB∥x轴，AC∥y轴，若反比例函数 y=kxk≠0 与 △ABC 有交点，则 k 的取值范围是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
21. 解方程：
（1）x2−4x−5=0；
（2）2x2−2x−1=0．

22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，Rt△ABC 的直角边 AB 在 x 轴上，∠ABC=90∘．点 A 的坐标为 1,0，点 C 的坐标为 3,4，M 是 BC 边的中点，函数 y=kxx>0 的图象经过点 M．
（1）求 k 的值；
（2）将 △ABC 绕某个点旋转 180∘ 后得到 △DEF（点 A，B，C 的对应点分别为点 D，E，F），且 EF 在 y 轴上，点 D 在函数 y=kxx>0 的图象上，求直线 DF 的表达式．

23. 在 △ABC 中，M 是 BC 边的中点．
（1）如图 1，BD，CE 分别是 △ABC 的两条高，连接 MD，ME，则 MD 与 ME 的数量关系是 ；若 ∠A=70∘，则 ∠DME= ∘；
（2）如图 2，点 D，E 在 ∠BAC 的外部，△ABD 和 △ACE 分别是以 AB，AC 为斜边的直角三角形，且 ∠BAD=∠CAE=30∘，连接 MD，ME．
①判断（1）中 MD 与 ME 的数量关系是否仍然成立，并证明你的结论；
②求 ∠DME 的度数；
（3）如图 3，点 D，E 在 ∠BAC 的内部，△ABD 和 △ACE 分别是以 AB，AC 为斜边的直角三角形，且 ∠BAD=∠CAE=α，连接 MD，ME．直接写出 ∠DME 的度数（用含 α 的式子表示）．

24. 某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了 20 天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：
16 14 13 17 15 14 16 17 14 1415 14 15 15 14 16 12 13 13 16
（1）根据上述样本数据，补全条形统计图；
（2）上述样本数据的众数是 ，中位数是 ；
（3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．

25. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠DAB=60∘，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边上一动点（不与点 A 重合），延长 ME 交射线 CD 于点 N，连接 MD，AN．
（1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形．
（2）填空：①当 AM 的值为 时，四边形 AMDN 是矩形．
②当 AM 的值为 时，四边形 AMDN 是菱形．

26. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k−2=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．

27. 在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 拼在一起，使点 A 与点 F 重合，点 C 与点 D 重合（如图①），其中 ∠ACB=∠DFE=90∘，BC=EF=3 cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动．
活动：将图①中的纸片 DEF 沿 AC 方向平移，连接 AE，BD（如图②），当点 F 与点 C 重合时停止平移．
（1）【思考】图②中的四边形 ABDE 是平行四边形吗?请说明理由．
（2）【发现】当纸片 DEF 平移到某一位置时，小兵发现四边形 ABDE 为矩形（如图③），求此时 AF 的长．

28. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 A，B 两点．
（1）根据图象，分别写出点 A，B 的坐标．
（2）求出这两个函数的解析式．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. C
4. D【解析】因为四人的平均成绩相同，
而观察图形可知：
丁比甲稳定有两次恰好为平均成绩，
故选：D．
5. A
【解析】因为反比例函数 y=m−3x 的图象在第一、第三象限，
所以 m−3>0，解得 m>3．
6. D【解析】∵ 点 E，F 分别是 AB，AC 中点，EF＝4，
∴BC=2EF=8．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ 菱形 ABCD 的周长是：4×8=32．
7. A
8. C【解析】方程化为一般形式为：a+bx2−2cx−a−b=0，
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=0，即
Δ=4c2−4a+b−a−b=4c2+4a+ba−b=4c2+4a+ba−b=4a2+c2−b2=0.
∴a2+c2=b2，
∴ 此三角形是以 b 为斜边的直角三角形．
9. C【解析】∵ 动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止，而当点 P 运动到点 C，D 之间时，△ABP 的面积不变，函数图象上横轴表示点 P 运动的路程，x=4 时，y 开始不变，说明 BC=4，x=9 时，接着变化，说明 CD=9−4=5，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=5，BC=4，
∴ 长方形 ABCD 的面积是：4×5=20．
故选C．
10. C
【解析】∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=65∘，
∵△ABC 绕点 A 旋转到 △AED 的位置，
∴∠BAE=∠CAD，AC=AD，
∴∠ADC=∠DCA=65∘，
∴∠CAD=180∘−∠ADC−∠DCA=50∘，
∴∠BAE=50∘．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 4
13. 23
14. 2.3，答案不唯一．如：30%，10%，10%，50%
15. 平行四边形，S四边形AMNC，S四边形QATH，S四边形QATH，AMD 或 CNE，ABC，AM 或 CN
16. 120
17. −3，−2
18. AC⊥BD
19. x−2y=0 和 x+y=0
20. 1≤k≤4
【解析】由题意得 A1,1，B3,1，C1,3，
y=kx 与 △ABC 有交点，考虑极端情况．
反比例函数过点 1,1 和 2,2 时，函数解析式为 y=1x 和 y=4x，
则 1≤k≤4．
第三部分
21. （1） 配方，得
x2−4x+4=5+4,
即
x−22=9,
由此可得
x−2=±3,
原方程的根为
x1=5,x2=−1.
（2）
a=2,b=−2,c=−1,Δ=b2−4ac=−22−4×2×−1=12>0.
方程有两个不相等的实数根，
x=−b±b2−4ac2a=2±124=1±32,
原方程的根为
x1=1+32,x2=1−32.
22. （1） ∵Rt△ABC 的直角边 AB 在 x 轴上，∠ABC=90∘，点 C 的坐标为 3,4，
∴ 点 B 的坐标为 3,0，CB=4．
∵M 是 BC 边的中点，
∴ 点 M 的坐标为 3,2．
∵ 函数 y=kxx>0 的图象经过点 M，
∴k=3×2=6．
（2） ∵△ABC 绕某个点旋转 180∘ 后得到 △DEF，
∴△DEF≌△ABC．
∴DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90∘．
∵ 点 A 的坐标为 1,0，点 B 的坐标为 3,0，
∴AB=2．
∴DE=2．
∵EF 在 y 轴上，
∴ 点 D 的横坐标为 2．
∵ 点 D 在函数 y=6xx>0 的图象上，当 x=2 时，y=3．
∴ 点 D 的坐标为 2,3．
∴ 点 E 的坐标为 0,3．
∵EF=BC=4，
∴ 点 F 的坐标为 0,−1．
设直线 DF 的表达式为 y=ax+b，将点 D，F 的坐标代入，
得 3=2a+b,−1=b. 解得 a=2,b=−1.
∴ 直线 DF 的表达式为 y=2x−1．
23. （1） MD=ME；40
（2） ① MD=ME 仍然成立；
证明：分别取 AB，AC 的中点 F，H，连接 FD，FM，HE，HM，如图 1．
∵ 点 F，M 分别是 AB，BC 的中点，
∴FM 是 △ABC 的中位线．
∴FM∥AC，FM=12AC．
∴∠1=∠BAC．
∵H 是 AC 的中点，
∴EH 是 Rt△AEC 的中线．
∴EH=12AC=AH．
∴FM=EH．
同理可证 MH=DF．
∵DF=12AB=AF，
∴∠2=∠FAD．
∴∠3=∠2+∠FAD=2∠FAD．
∵∠BAD=30∘，
∴∠3=60∘．
∴∠DFM=∠3+∠1=60∘+∠BAC．
同理可证 ∠MHE=60∘+∠BAC．
∴∠DFM=∠MHE．
在 △DFM 和 △MHE 中，
DF=MH,∠DFM=∠MHE,FM=HE,
∴△DFM≌△MHE．
∴MD=ME．
②如图 2．
∵HM∥AB，
∴∠4=∠1．
∵△DFM≌△MHE，
∴∠5=∠6．
∴∠DME=∠7+∠4+∠6=∠7+∠1+∠5=180∘−∠3=120∘.
（3） 180∘−2α．
24. （1） 由题目中的数据可得，销售额为 14 万元的有 6 天，销售额为 16 万元的有 4 天，补全的条形统计图如下图所示；
（2） 14 万元；14.5 万元；
【解析】由条形统计图可得，样本数据的众数是 14 万元，
中位数是 14+15÷2=14.5（万元）．
（3） 12×1+13×3+14×6+15×4+16×4+17×220=14.65（万元），
答：估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额是 14.65 万元．
25. （1） 在菱形 ABCD 中，
∵AB∥CD，
∴∠AME=∠DNE．
∠MAE=∠NDE．
∵ 点 E 是 AD 边的中点，
∴AE=DE．
∴△AEM≌△DENAAS．
∴AM=DN．
∴ 四边形 AMDN 是平行四边形．
（2） 1；2
【解析】① ∵AM=1=12AD，
∴∠ADM=30∘，
∵∠DAM=60∘，
∴∠AMD=90∘，
∴ 平行四边形 AMDN 是矩形；
② ∵AM=2，
∴AM=AD=2，
∴△AMD 是等边三角形，
∴AM=DM，
∴ 平行四边形 AMDN 是菱形．
26. （1） ∵x2+2x+k−2=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=22−4k−2=−4k+12>0，
∴k<3．
（2） ∵ 若 k 为正整数，
∴k 的值是 1，2．
当 k=1 时，则有 x2+2x−1=0，Δ=8，方程的根不是整数，不合题意，舍去，
当 k=2 时，则有 x2+2x=0，则有 x1=0，x2=−2，
∴k 的值是 2．
27. （1） 四边形 ABDE 是平行四边形．
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，∠BAC=∠EDF，
∴AB∥DE，
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形．
（2） 如图，连接 BE 交 AD 于点 O．
∵ 四边形 ABDE 为矩形，
∴OA=OD=OB=OE，
设 AF=x cm，则 OA=OE=12x+4cm，
∴OF=OA−AF=2−12xcm，
在 Rt△OFE 中，
∵OF2+EF2=OE2，
∴2−12x2+32=14x+42，
解得 x=94，
∴AF=94 cm．
28. （1） A−6,−1，B3,2．
（2） y=6x，y=13x+1．