2021年北京朝阳区芳草地国际学校富力分校(初中部)八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区芳草地国际学校富力分校(初中部)八年级下期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 如图，在 △ABC 中，点 D，E，F 分别是边 AB，BC，AC 的中点，若 AB=AC=2，则四边形 ADEF 的周长为
A. 1B. 2C. 4D. 8

3. 当 m<0 时，一次函数 y=−2x+m 的图象经过
A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限
C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限

4. 一组数据 −1，−2，3，4，5，则该组数据的极差是
A. 10B. 4C. 7D. 2

5. 若关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两根同为负数，则
A. p>0 且 q>0B. p>0 且 q<0C. p<0 且 q>0D. p<0 且 q<0

6. 把方程 x2+8x+7=0 变形为 x+h2=k 的形式应为
A. x+42=−7B. x−42=−7
C. x+42=9D. x−42=9

7. 将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内璧匀速注水，如图所示，则小水杯内水面的高度 hcm 与注水时间 tmin 的函数图象大致为
A. B.
C. D.

8. 如图，五边形 ABCDE 中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3 分别是 ∠BAE，∠AED，∠EDC 的外角，则 ∠1+∠2+∠3 等于
A. 90∘B. 180∘C. 210∘D. 270∘

9. 如图，是某地区一种产品 30 天的销售图象，图 1 是产品日销售量 y（单位：件）与时间 t（单位：天）的函数关系，图 2 是一件产品的销售利润 z（单位：元）与时间 t（单位：天）的函数关系．已知 日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是
A. 第 24 天的销售量为 200 件
B. 第 10 天销售一件产品的利润是 15 元
C. 第 12 天与第 30 天的日销售利润相等
D. 第 30 天的日销售利润是 750 元

10. 关于 x 的一元二次方程 x2+2x+3m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是
A. m<13B. m≤13C. m>−12D. m≤12

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 在函数 y=x+2x 中，自变量 x 的取值范围是 ．

12. 一组数据 4，5，6，7，8 的方差为 S12，另一组数据 3，5，6，7，9 的方差为 S22，那么 S12 S22（填“ > ”、“ = ”或“ < ”）．

13. 一次函数 y=kx+bk≠0 的图象如图所示，那么不等式 kx+b<0 的解集是 ．

14. 如果四边形有一组对边平行，且另一组对边不平行，那么称这样的四边形为梯形，若梯形中有一个角是直角，则称其为直角梯形．下面四个结论中：
①存在无数个直角梯形，其四个顶点分别在同一个正方形的四条边上；
②存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一条抛物线上；
③存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一个反比例函数的图象上；
④至少存在一个直角梯形，其四个顶点在同一个圆上．
所有正确结论的序号是 ．

15. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=10，AC=12，则它的面积是 ．

16. 如图，长方体长、 宽、高分别为 4 cm，3 cm，12 cm，则 BD1= cm．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 阅读材料：
例：解方程 x2−∣x∣−2=0．
解：令 y=∣x∣，原方程化为 y2−y−2=0．
因式分解，得 y−2y+1=0．
于是得 y−2=0，或 y+1=0，
y1=2，y2=−1．
当 ∣x∣=2 时，x=±2；
当 ∣x∣=−1 时，无实数根．
∴ 原方程的解是 x1=2，x2=−2．
根据上述方法解方程：x−12−5∣x−1∣−6=0．

18. （1）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O．直线 EF 过点 O，分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．
（2）如图，将平行四边形 ABCD（纸片）沿过对角线交点 O 的直线 EF 折叠，点 A 落在点 A1 处，点 B 落在点 B1 处．设 FB1 交 CD 于点 G，A1B1 分别交 CD，DE 于点 H，I．求证：EI=FG．

19. 吴江区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 150 元，每桶水的进价是 5 元，规定销售单价不得高于 12 元/桶，也不得低于 7 元/桶，调查发现日均销售量 P（桶）与销售单价 x（元）的函数图象如图所示．
（1）求日均销售量 P（桶）与销售单价 x（元）的函数关系；
（2）若该经营部希望日均获利 1200 元，求该桶装水的销售单价．

20. 某校准备在七年级同时开设四门选修课（A．艺术；B．乒乓球；C．羽毛球；D．文学）．要求每位同学选报一项，学校随机调查了部分学生的选报意向，绘制成如下尚不完整的统计图表：
部分学生选报意向统计表
选项频数人频率
请结合图表中所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）请补全频数直方图；
（3）已知七年级学生一共有 400 人，若每门选修课中每 40 名学生配备一名教师（学生若不到 40 名按 40 名算），则开设这四门选修课共需配备多少名教师?

21. 一次函数 y=kx+bk≠0 的图象由直线 y=3x 向下平移得到，且过点 A1,2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求直线 y=kx+b 与 x 轴的交点 B 的坐标；
（3）设坐标原点为 O，一条直线过点 B，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是 12，这条直线与 y 轴交于点 C，求直线 AC 对应的一次函数的解析式．

22. 利用计算器求下列方程的近似解（结果精确到 0.01 ）．
（1）2.18x2+4.21x−0.32=0 .
（2）3x2+43x=2．

23. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为 450 万元，第七天的营业额是前六天总营业额的 12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店 7 月份的营业额为 350 万元，8，9 月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与 9 月份的营业额相等．求该商店去年 8，9 月份营业额的月增长率．

24. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=4，以 AC 为一边作正方形 ACDE，过点 D 作 DF⊥BC 交 BC 延长线于点 F，连接 AF，求 AF 的长．

25. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 ABCD 的中点，BD 是对角线，过 A 点作 AG∥DB 交 CB 的延长线于点 G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若 ∠G=90∘，求证：四边形 DEBF 是菱形．

26. 已知两直线 l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，若 l1⊥l2，则有 k1⋅k2=−1．
（1）应用：已知 y=2x+1 与 y=kx−1 垂直，求 k；
（2）直线经过 A2,3，且与 y=−13x+3 垂直，求该直线的解析式．

27. 如图，△ABC 绕点 O 旋转 70∘ 得到 △AʹBʹCʹ，则：
（1）旋转中心是 ，旋转方向是 ，旋转角为 ∠ =∠ =∠ = ∘；
（2）线段 AB 的对应线段是 ，线段 的对应线段是 BʹCʹ，线段 的对应线段是 AʹCʹ；
（3）∠BAC 的对应角是 ，∠ 的对应角是 ∠AʹBʹCʹ．

28. 如图，在等边 △ABC 中，线段 AM 为 BC 边上的中线．动点 D 在直线 AM 上时，以 CD 为一边在 CD 的下方作等边 △CDE，连接 BE．
（1）填空：∠CAM= 度．
（2）若点 D 在线段 AM 上时，求证：△ADC≌△BEC．
（3）当动点 D 在直线 AM 上时，设直线 BE 与直线 AM 的交点为 O，试判断 ∠AOB 是否为定值?并说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. C【解析】∵ 点 D，E，F 分别是边 AB，BC，AC 的中点，
∴AD=12AB=1，AF=12AC=1，DE，FE 是 △ABC 的中位线，
∴DE=12AC=1，EF=12AB=1，
∴ 四边形 ADEF 的周长 =AD+DE+EF+AF=4．
3. D
4. C
5. A
6. C【解析】∵x2+8x+7=0，
∴x2+8x+16=9，
∴x+42=9．
7. B【解析】将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小水杯内的水原来的高度一定大于 0，所以A，D错误；
用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小水杯，因而这段时间 h 随 t 的增大保持不变，当大容器中的水面与小水杯的高度齐平时，开始向小水杯中流水，h 随 t 的增大而增大，小水杯注满水后，小水杯内水面的高度 h 不再变化．
8. B【解析】如答图，延长 AB，BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠5，∠ABC+∠4=180∘，
∴∠4+∠5=180∘．
根据多边形的外角和定理，得 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360∘，
∴∠1+∠2+∠3=360∘−180∘=180∘．
9. C
10. A
第二部分
11. x≥−2 且 x≠0
【解析】由题意得，x+2≥0 且 x≠0，
解得 x≥−2 且 x≠0．
12. <
13. x>−3
【解析】当不等式 kx+b<0 时，一次函数 y=kx+b 图象在 x 轴下方，因此 x>−3．
14. ①②③
【解析】①如图 1 中，点 P 是正方形 ABCD 的边 AD 上的任意一点，
则四边形 ABCP 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故①正确．
②如图 2 中，四边形 ABCO 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故②正确．
③如图 3 中，四边形 ABCD 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故③正确．
④直角梯形的四个顶点不可能在同一个圆上，故④错误．
15. 96
【解析】∵AB=10，AO=6，
∴OB=8，
∴BD=16．
S=12AC⋅BD=96．
16. 13
第三部分
17. 令 y=∣x−1∣，原方程可化为
y2−5y−6=0.
因式分解，得
y+1y−6=0.
于是得
y+1=0,或y−6=0,y1=−1,y2=6.
当 ∣x−1∣=−1 时，无实数根；
当 ∣x−1∣=6 时，
x−1=6,或x−1=−6,x1=7,x2=−5.∴
原方程的解为
x1=7,x2=−5.
18. （1）
在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OA=OC，
∴△AOE≌△COF．
∴AE=CF．
（2） 由（1）得 AE=CF．
∵AE=A1E，
∴A1E=CF．
又 ∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，∠IHD=∠GHB1，
∴∠DIH=∠B1GH．
∴∠A1IE=∠CGF．
在 △A1IE 与 △CGF 中，
∠A1=∠C,∠A1IE=∠CGF,A1E=CF,
∴△A1IE≌△CGF．
∴EI=FG．
19. （1） 设 p=kx+b，
将 7,500，12,250 代入得 500=7k+b,250=12k+b,
k=−50,b=850.
∴ 日均销售量 P（桶）与销售单价 x（元）的函数关系式为：p=−50x+850．
（2） 由题意，得：x−5−50x+850−150=1200，
x2−22x+112=0，
∴x1=8，x2=14，
∵7≤x≤12，
∴x=8．
答：该经营部希望日均获利 1200 元，求该桶装水的销售单价为 8 元．
20. （1） 0.2；12
【解析】调查的学生总数为 20÷0.4=50（人）．
a=10÷50=0.2，b=50×0.24=12．
（2） 补全频数直方图如图：
（3） 选艺术的学生有 400×0.2=80（人），80÷40=2（名），需要 2 名教师．
选乒乓球的学生有 400×0.4=160（人），160÷40=4（名），需要 4 名教师．
选羽毛球的学生有 400×0.24=96（人），96÷40=2.4（名），需要 3 名教师．
选文学的学生有 400×0.16=64（人），64÷40=1.6（名），需要 2 名教师．
2+4+3+2=11（名）．
∴ 共需要 11 名教师．
21. （1） 根据题意得，k=3,k+b=2.
解得 k=3,b=−1.
∴y=3x−1．
（2） B13,0；
（3） 设直线 AC 的解析式为 y=mx+n,（其中 m≠0），则点 C 的坐标为 0,n，
根据题意，S△BOC=12×13n=12，
∴n=3，
∴n=±3．
当 n=3 时，n=3,m+n=2,
解得，n=3,m=−1
∴y=−x+3．
当 n=−3 时，n=−3,m+n=2,
解得，n=−3,m=5,
∴y=5x−3．
∴ 直线 AC 的解析式为 y=−x+3或y=5x−3．
22. （1） x1≈0.07，x2≈−2.00
（2） x1≈0.26，x2≈−2.57
23. （1） 450+450×12%=504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为 504 万元．
（2） 设该商店去年 8，9 月份营业额的月增长率为 x．
依题意，得：
3501+x2=504.
解得：
x1=0.2=20%,x2=−2.2不合题意,舍去.
答：该商店去年 8，9 月份营业额的月增长率为 20%．
24. 过点 A 作 AH⊥BC 于 H .
∴∠AHC=90∘，
∵AB=AC=5，BC=4，
∴HC=12BC=2，
∴AH=AC2−HC2=52−22=1，
∵DF⊥BC，
∴∠CFD=90∘，∠DCF+∠CDF=90∘，
∴∠AHC=∠CFD=90∘．
∵ 四边形 ACDE 是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90∘，
∴∠ACH+∠DCF=90∘，
∴∠ACH=∠CDF，
∴△AHC≌△CFD，
∴AH=CF=1，
∴HF=3，
∴AF=AH2+HF2=12+32=10．
25. （1） ∵ 平行四边形 ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵E，F 分别为 AB，CD 的中点，
∴DF=12DC，BE=12AB．
∴DF∥BE，DF=BE．
∴ 四边形 DEBF 为平行四边形．
∴DE∥BF．
（2） ∵AG∥BD，
∴∠G=∠DBC=90∘，
∴△DBC 为直角三角形．
又 ∵F 为边 CD 的中点，
∴BF=12DC=DF．
又 ∵ 四边形 DEBF 为平行四边形，
∴ 四边形 DEBF 是菱形．
26. （1） 由已知可得 2k=−1，
∴k=−12．
（2） ∵ 经过点 A 的直线与直线 y=−13x+3 垂直，
∴ 可设过点 A 的直线的解析式为 y=3x+b，
把 A2,3 代入 y=3x+b，解得 b=−3，
∴ 所求直线的解析式为 y=3x−3．
27. （1） 点 O；顺时针；AOAʹ；BOBʹ；COCʹ；70
（2） AʹBʹ；BC；AC
（3） ∠BʹAʹCʹ；ABC
28. （1） 30
【解析】∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=60∘．
∵ 线段 AM 为 BC 边上的中线，
∴∠CAM=12∠BAC，
∴∠CAM=30∘．
（2） ∵△ABC 与 △DEC 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在 △ADC 和 △BEC 中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ADC≌△BECSAS．
（3） ∠AOB 是定值，∠AOB=60∘，
理由如下：
①当点 D 在线段 AM 上时，如图 1，
由（2）可知 △ADC≌△BEC，则 ∠CBE=∠CAD=30∘，
又 ∠ABC=60∘，
∴∠CBE+∠ABC=60∘+30∘=90∘，
∵△ABC 是等边三角形，线段 AM 为 BC 边上的中线，
∴AM 平分 ∠BAC，即 ∠BAM=12∠BAC=12×60∘=30∘，
∴∠BOA=90∘−30∘=60∘．
②当点 D 在线段 AM 的延长线上时，如图 2，
∵△ABC 与 △DEC 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在 △ACD 和 △BCE 中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ADC≌△BECSAS，
∴∠CBE=∠CAD=30∘，
同理可得：∠BAM=30∘，
∴∠BOA=90∘−30∘=60∘．
③当点 D 在线段 MA 的延长线上时，如图 3，
∵△ABC 与 △DEC 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60∘，
∴∠ACD=∠BCE，
在 △ADC 和 △BCE 中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ADC≌△BECSAS，
∴∠CBE=∠CAD，
同理可得：∠CAM=30∘，
∴∠CBE=∠CAD=150∘，
∴∠CBO=30∘，∠BAM=30∘，
∴∠BOA=90∘−30∘=60∘．
综上，当动点 D 在直线 AM 上时，∠AOB 是定值，∠AOB=60∘．