2021年北京朝阳区润丰学校（初中部）八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区润丰学校（初中部）八年级下期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 在实数 2，12，0，−1 中，最小的数是
A. −1B. 0C. 12D. 2

2. 下列函数中，自变量 x 的取值范围选取错误的是
A. y=2x2 中，x 取全体实数B. y=1x+1 中，x≠−1
C. y=x−2 中，x≥2D. y=1x+3 中，x≥−3

3. 已知点 P3,a 关于 x 轴的对称点是点 Qb,−2，那么点 a,b 为
A. 2,−3B. 2,3C. 3,2D. 3,−2

4. 如图，点 A 与点 B 关于点 O 中心对称，则下列说法错误的是
A. O 为 AB 中点
B. 点 A，B，O 共线
C. 点 A 绕 O 旋转 90∘ 与点 B 重合
D. 点 A 绕 O 旋转 180∘ 与点 B 重合

5. 正 n 边形的每个内角都是 120∘，则 n 的值是
A. 3B. 4C. 6D. 8

6. 用配方法解方程 x2+4x+1=0，经过配方，得到
A. x+22=5B. x−22=5C. x−22=3D. x+22=3

7. 将某班女生的身高分成三组，情况如下表所示，则表中 a 的值是
第一组第二组第三组频数610a频率bc20%
A. 2B. 4C. 6D. 8

8. 下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是
A. 一组对角相等B. 对角线互相平分
C. 一组对边相等D. 对角线互相垂直

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 化简 2x2−1−1x−1 的结果是 ．

10. 方程 x4−25=0 的根是 ．

11. 已知一个平行四边形两个内角的度数比为 1:3，则其中较小的内角为 ．

12. 一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，且 k≠0）的增减性与 k 的关系：当 k 时，y 的值随 x 值的增大而增大；当 k 时，y 的值随 x 值的增大而减小．

13. 甲乙两个战士在射击训练中，打靶的次数相同，且中环的平均数 x甲=x乙，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差大小关系是 s甲2 s乙2．（选填“>”“=”或“<”）

14. 已知关于 x 的方程 x2+2x+k=0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 ．

15. 如图，在 △ABC 中，D，E，F 分别是边 AB，BC，CA 的中点，若 △DEF 的周长为 10，则 △ABC 的周长为 ．

16. 为了做到合理用药，使药物在人体内发挥疗效作用，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间．某成人患者在单次口服 1 单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图：
根据图中提供的信息，下列关于成人患者使用该药物的说法中：
①首次服用该药物 1 单位约 10 分钟后，药物发挥疗效作用；
②每间隔 4 小时服用该药物 1 单位，可以使药物持续发挥治疗作用；
③每次服用该药物 1 单位，两次服药间隔小于 2.5 小时，不会发生药物中毒．
所有正确的说法是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 已知 y
18. 用配方法解方程 x2+4x+3=0．

19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F，若 ∠EAF=60∘，BE=4，DF=6，求平行四边形 ABCD 的周长和面积．

20. （1）如图 1，在正方形 ABCD 的边 CD 上任取一点 E，作 EF⊥CD，交 CH 于点 F，取 AF 的中点 H，连接 EH，BH．判断线段 EH 和 BH 有怎样的数量关系和位置关系?并加以证明；
（2）若将图 1 中的 △CEF 绕点 C 顺时针旋转 90 度，如图 2，判断线段 EH 和 BH 有怎样的数量关系和位置关系?不写证明，直接写出结论；
（3）若将图 1 中的 △CEF 绕点 C 顺时针旋转 180 度，如图 3，判断线段 EH 和 BH 有怎样的数量关系和位置关系?并加以证明；

21. 用你认为简单的方法在坐标系中画出下列函数的图象：
（1）y=x+1；
（2）y=−2x−2．

22. 有这样一个作图题目：画一个平行四边形 ABCD，使 AB=3 cm，BC=2 cm，AC=4 cm．
下面是小红同学设计的尺规作图过程．
作法：如图，
①作线段 AB=3 cm，
②以 A 为圆心，4 cm 为半径作弧，以 B 为圆心，2 cm 为半径作弧，两弧交于点 C；
③再以 C 为圆心，3 cm 为半径作弧，以 A 为圆心，2 cm 为半径作弧，两弧交于点 D；
④连接 AD，BC，CD．
所以四边形 ABCD 即为所求作平行四边形．
根据小红设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．证明：
因为以 A 为圆心，4 cm 为半径作弧，以 B 为圆心，2 cm 为半径作弧，两弧交于点 C，
所以 BC= cm，AC= cm．
因为以 C 为圆心，3 cm 为半径作弧，以 A 为圆心，2 cm 为半径作弧，两弧交于点 D，
所以 CD=3 cm．AD=2 cm．
又因为 AB=3 cm，
所以 AB=CD，AD= ．
所以四边形 ABCD 是平行四边形（ ）（填推理依据）．

23. 方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，请分别画出符合要求的图形．
要求：所画图形的各顶点必须与方格纸中的小正方形的顶点重合．
（1）在图（1）中，画一个周长为 20，面积为 20 的菱形；
（2）在图（2）中画一个周长为 65 的矩形，并直接写出其面积的值为： ．

24. 关于 x 的一元二次方程 x2−2m+1x+m2=0 有两个实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根．

25. 为了解甲、乙两座城市的邮政企业 4 月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了 25 家邮政企业，获得了它们 4 月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业 4 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成 5 组：6≤x<8，8≤x<10，12≤x<14，14≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业 4 月份收入的数据在 10≤x<12 这一组的是：
10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c．甲、乙两座城市邮政企业 4 月份收入的数据的平均数、中位数如下：
平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 m 的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 p2．比较 p1，p2 的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有 200 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业 4 月份的总收入（直接写出结果）．

26. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6 cm，AD=3 cm，点 P 是边 DC 上一动点，设 D，P 两点之间的距离为 x cm，P，A 两点之间的距离为 y cm．
小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）确定自变量 x 的取值范围 ；
（2）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
（3）在下列网格中建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各组数值对应的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：当 PA=2AD 时，PD 的长度约为 cm．

27. 某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约 20 cm 时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60 天内，这种瓜苗生长的高度 y（cm）与生长时间 x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约 80 cm 时，开始开花结果，求这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约多少天，开始开花结果．

28. 【感知】如图①，AD 平分 ∠BAC，∠B+∠C=180∘，∠B=90∘，易知 DB=DC．
（1）【探究】如图②，AD 平分 ∠BAC，∠B+∠C=180∘，∠B<90∘．求证：DB=DC．
（2）【应用】如图③，在四边形 ABDC 中，∠B=45∘，∠C=135∘，DB=DC，过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E．若 BE=a，则 AB−AC 的值是多少（用含 a 的代数式表示）?
答案
第一部分
1. A【解析】∵−1<0<12<2，
∴ 最小的是 −1，
故选：A．
2. D
3. B【解析】∵ 点 P3,a 关于 x 轴的对称点为 Qb,−2，
∴a=2，b=3，
∴ 点 a,b 为 2,3，
故选B．
4. C
5. C
6. D
7. B
8. B
第二部分
9. −1x+1
10. x1=5，x2=−5
11. 45∘
12. >0，<0
13. <
14. 1
【解析】一元二次方程有两个相等的实数根，
所以 Δ=4−4k=0，
解得 k=1．
15. 20
【解析】∵ 点 D，E，F 分别是 △ABC 的 AB，BC，CA 边的中点，
∴EF，DE，DF 为 △ABC 的中位线，∴EF=12AB，DF=12BC，DE=12AC，
∴AB=2EF，BC=2DF，AC=2DE，
∵△DEF 的周长为 10，
∴EF+DE+DF=10，
∴2EF+2DE+2DF=20，
∴AB+BC+AC=20，
∴△ABC 的周长为 20．
16. ①②
【解析】因为该药物的血药浓度介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，所以观察图象的变化情况可知：①首次服用该药物 1 单位约 10 分钟后，达到最低有效浓度，药物开始发挥疗效作用，所以①正确；②每间隔 4 小时服用该药物 1 单位，该药物的血药浓度始终介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间，可以使药物持续发挥治疗作用，所以②正确；③每次服用该药物 1 单位，两次服药间隔小于 2.5 小时，会发生药物中毒，所以③错误．故答案为①②．
第三部分
17. −1．
18.
x2+4x=−3,x2+4x+22=−3+22,x+22=1,x+2=±1,x=−2±1,所以x1=−1,x2=−3.
19. 周长 =40；面积 =483．
20. （1） EH=BH，EH⊥BH，理由如下：
延长 EF 交 AB 于点 G，并连接 HG．
在正方形 ABCD 中，EF⊥CD，即 EG⊥AB．
易知三角形 △AGF，△CEF 为等腰直角三角形，
四边形 CEGB 为矩形．
∵ 点 H 为 AF 的中点
∴GH=12AF=HF．
在等腰直角三角形 △AGF 中，点 H 为 AF 的中点，∠HGF=∠GFH=45∘，∠GHF=90∘，
∴∠HGB=∠HFE=135∘，
在等腰直角三角形 △CEF 和矩形 CEGB 中，GB=EC=EF，
∴△HGB≌△HFE .
∴BH=EH，∠GHB=∠FHE．
又 ∠GHF=90∘，即 ∠GHB+∠BHF=90∘，
∴∠EHF+∠BHF=90∘，即 BH⊥EH．
（2） EH=BH，EH⊥BH．
【解析】过 F 作 FG⊥AB 垂足为 G 交 CD 于 N，连接 AC，GH，CH .
∵△CEF 绕点 C 顺时针旋转 90 度，
∴B 、 C，E 共线．
∵∠ACD=45∘ ，
∴∠ACF=90∘ .
∵H 为 AF 中点，
∴CH=HF .
∵CE=EF，HE=HE ，
∴△HCE≌△HFE .
∴HE 平分 ∠CEF .
∴HE 与 CD 的交点为 N .
∵FG⊥AB，H 为 AF 中点，
∴GH=HF，GB=EF .
∴∠HGF=∠HFG .
∴∠HGB=∠HFE .
∴△HGB≌△HFE .
∴HB=HE，∠GBH=∠FEH=45∘ .
∵∠HEB=45∘ ，
∴HB⊥HE .
（3） EH=BH，EH⊥BH．理由如下：
延长 FE 交 AB 的延长线于点 G，并连接 HG．
在正方形 ABCD 中，EF⊥CD，即 FG⊥AB．
易知三角形 △AGF，△CEF 为等腰直角三角形，
四边形 CEGB 为矩形．
∵ 点 H 为 AF 的中点，
∴GH=12AF=HF．
在等腰直角三角形 △AGF 中，点 H 为 AF 的中点，
∠HGA=∠F=45∘，∠GHF=90∘．
在等腰直角三角形 △CEF 和矩形 CEGB 中，GB=EC=EF，
∴△HGB≌△HFE，
∴BH=EH，∠GHB=∠FHE．
又 ∠GHF=90∘，即 ∠FHE+∠EHG=90∘，
∴∠EHG+∠GHB=90∘，即 BH⊥EH．
21. （1） 一次函数 y=x+1 的图象是经过 0,1，−1,0 的一条直线；
（2） 一次函数 y=−2x−2 的图象是经过 0,−2，−1,0 的一条直线；
如图：
22. （1） 四边形 ABCD 即为所求．
（2） 2；4；BC；两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】因为以 A 为圆心，4 cm 为半径作弧，以 B 为圆心，2 cm 为半径作弧，两弧交于点 C，
所以 BC=2 cm，AC=4 cm．
因为以 C 为圆心，3 cm 为半径作弧，以 A 为圆心，2 cm 为半径作弧，两弧交于点 D，
所以 CD=3 cm．AD=2 cm．
又因为 AB=3 cm，
所以 AB=CD，AD=BC．
所以四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
23. （1） 如图四边形 ABCD 为所求．
（2） 四边形 EFGH 为所求；10
【解析】面积为 5×25=10．
24. （1） 依题意，得 Δ=−2m+12−4×1×m2=4m+1≥0，
解得 m≥−14．
（2） 答案不唯一，如：m=0，
此时方程为 x2−x=0，
解得 x1=0，x2=1．
25. （1） 将甲城市抽取的 25 家邮政企业 4 月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是 10.1 ，
因此中位数是 10.1，即 m=10.1．
（2） 由题意得 p1=5+3+4=12（家），
由于乙城市抽取的 25 家邮政企业 4 月份的营业额的平均数是 11.0，中位数是 11.5，
因此所抽取的 25 家邮政企业 4 月份营业额在 11.5 及以上的占一半，
也就是 p2 的值要大于 12，
∴p1 （3） 11.0×200=2200（百万元），
答：乙城市 200 家邮政企业 4 月份的总收入约为 2200 百万元．
26. （1） 0≤x≤6
【解析】∴ 点 P 在线段 CD 上运动，
∴0≤x≤6．
（2） 5.0
【解析】当 x=4 时，利用测量法可知 y=5.0．
（3） 图形如图所示：
（4） 5.4
【解析】观察图象可知：y=6 时，x=5.4cm．
27. （1） 当 0≤x≤15 时，
设 y=kxk≠0，则 20=15k，
∴k=43，
∴y=43x．
当 15≤x≤60 时，设 y=kʹx+bkʹ≠0，
则 20=15kʹ+b,170=60kʹ+b, 解得 kʹ=103,b=−30.
∴y=103x−30．
∴y=43x,0≤x≤15103x−30,15 （2） 当 y=80 时，80=103x−30，
解得 x=33．
33−15=18（天）．
∴ 这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约 18 天，开始开花结果．
28. （1） 如图①，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC，交 AC 的延长线于点 F．
∴∠F=∠AED=∠DEB=90∘．
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD．
在 △ADF 和 △ADE 中，
∠F=∠AED,∠FAD=∠EAD,AD=AD,
∴△ADF≌△ADEAAS．
∴DF=DE．
∵∠B+∠ACD=180∘，∠ACD+∠FCD=180∘，
∴∠B=∠FCD．
在 △DEB 和 △DFC 中，
∠DEB=∠F,∠B=∠FCD,DE=DF,
∴△DEB≌△DFCAAS．
∴DB=DC．
（2） 如图②，连接 AD，过点 D 作 DF⊥AC，交 AC 的延长线于点 F．
∵DE⊥AB，
∴∠F=∠DEB=90∘．
∵∠B=45∘，∠ACD=135∘，
∴∠B+∠ACD=180∘．
∵∠ACD+∠FCD=180∘，
∴∠B=∠FCD．
在 △DFC 和 △DEB 中，
∠F=∠DEB,∠FCD=∠B,DC=DB,
∴△DFC≌△DEBAAS．
∴DF=DE，CF=BE．
在 Rt△ADF 和 Rt△ADE 中，
AD=AD,DF=DE,
∴Rt△ADF≌Rt△ADEHL．
∴AF=AE．
∴AB−AC=AE+BE−AF−CF=AE+BE−AE+BE=2BE=2a.