2021年北京海淀区四十七中八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区四十七中八年级下期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在平面直角坐标系中，点 −1,m2+1 一定在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

2. 如图，点 A 与点 B 关于点 O 中心对称，则下列说法错误的是
A. O 为 AB 中点
B. 点 A，B，O 共线
C. 点 A 绕 O 旋转 90∘ 与点 B 重合
D. 点 A 绕 O 旋转 180∘ 与点 B 重合

3. 一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其它顶点），内角和为 1980∘，则原多边形的边数为
A. 11B. 12C. 13D. 11 或 12

4. 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 上的中点，如果 DE 的长度是 6，则 BC 的长度是
A. 3B. 6C. 12D. 18

5. 已知平行四边形 ABCD 的周长为 32，AB=4，则 BC 的长为
A. 4B. 12C. 24D. 28

6. 甲、乙两同学近四次数学测试成绩的平均分都为 80 分，且 S甲2=62，S乙2=14，则成绩较稳定的是
A. 甲B. 乙
C. 甲、乙的稳定性相同D. 无法比较

7. 如图，在点 M，N，P，Q 中，一次函数 y=kx+2k<0 的图象不可能经过的点是
A. MB. NC. PD. Q

8. 已知 m 为实数，则关于 x 的方程 x2−m−2x−2m=0 的实数根情况一定是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个实数根D. 没有实数根

9. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，如果一个点的坐标可以用来表示关于 x，y 的二元一次方程组 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 的解，那么这个点是
A. MB. NC. ED. F

10. 如图①，在长方形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止，设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，如果 y 与 x 之间的图象如图②所示，则长方形 ABCD 的面积是
A. 10B. 16C. 20D. 36

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 在平面直角坐标系中，点 −2,−3 位于第 象限．

12. 函数 y=1x−3 中，自变量 x 的取值范围是 ．

13. 已知一次函数 y=kx+b（k，b 为常数且 k≠0）的图象经过点 A0,−2 和点 B1,0，则 k= ，b= ．

14. 已知函数 y=3x−6，当 x=0 时，y= ；当 y=0 时，x= ．

15. 把直线 y=23x 的图象向上平移 4 个单位，再向左平移 3 个单位，得到函数为 ．

16. 在数学课上，老师提出一个问题“用直尺和圆规作一个矩形”．
小华的做法如下：
（1）如图 1，任取一点 O，过点 O 作直线 l1，l2；
（2）如图 2，以 O 为圆心，任意长为半径作圆，与直线 l1，l2 分别相交于点 A，C，B，D；
（3）如图 3，连接 AB，BC，CD，DA．
四边形 ABCD 即为所求作的矩形．
老师说：“小华的作法正确”．
请回答：小华的作图依据是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 用配方法解方程 x2+4x+3=0．

18. 如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，AE 是 ∠BAC 的外角平分线，DE∥AB 交 AE 于点 E．求证：四边形 ADCE 是矩形．

19. 星期天，小明与小刚骑自行车去距家 50 千米的某地旅游，匀速骑行 1.5 小时后，其中一辆自行车出现故障，因此二人在自行车修理点修车，用了半小时，然后以原速继续前行，骑行 1 小时后到达目的地．请在如图所示的平面直角坐标系中画出符合他们骑行的路程 s（千米）与骑行时间 t（小时）之间的函数图象．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，AF⊥DC 于点 F，AE=AF．求证：四边形 ABCD 是菱形．

21. 已知关于 x 的方程 mx2+3−mx−3=0（m 为实数，m≠0）．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数 m 的值．

22. 如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC，点 D 是 AB 上一点，过点 D 作 DE⊥BC 交 BC 于点 E，交 CA 延长线于点 F．
（1）证明：△ADF 是等腰三角形；
（2）若 ∠B=60∘，BD=4，AD=2，求 EC 的长．

23. 一个容器盛满纯药液 63 L，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是 28 L，则每次倒出的液体是多少?

24. 为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布表如表（成绩得分均为整数）：
组别成绩分组/分频数频率147.5∼∼∼∼∼107.5bc6107.5∼12060.15合计 401.00
根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的 a= ，b= ，c= ；
（2）已知全区八年级共有 200 个班（平均每班 40 人），用这份试卷检测，108 分及以上为优秀，预计优秀的人数约为 ，72 分及以上为及格，预计及格的人数约为 ，及格的百分比约为 ；
（3）补充完整频数分布直方图．

25. 直线 l1:y=kx+b 过点 A−4,0，且与直线 l2:y=3x 相交于点 Bm,6．
（1）求直线 l1 的表达式；
（2）过动点 P0,n，且垂直于 y 轴的直线与 l1，l2 的交点分别为 C，D，当点 C 在点 D 左侧时，直接写出 n 的取值范围．

26. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图 1 中以格点为顶点画一个面积为 10 的正方形；
（2）在图 2 中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为 2，5，13；
（3）如图 3，∠BCD 是不是直角?请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】因为点 −1,m2+1，横坐标 <0，纵坐标 m2+1 一定大于 0，
所以满足点在第二象限的条件．
故选：B．
2. C
3. B
4. C
5. B
6. B
7. D
8. C【解析】Δ=m−22−4×−2m=m+22．
对于任意实数 m，都有 m+22≥0，即 Δ≥0，
所以原方程一定有两个实数根．
9. C
10. C
【解析】∵ 动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止，而当点 P 运动到点 C，D 之间时，△ABP 的面积不变，函数图象上横轴表示点 P 运动的路程，x=4 时，y 开始不变，说明 BC=4，x=9 时，接着变化，说明 CD=9−4=5，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=5，BC=4，
∴ 长方形 ABCD 的面积是：4×5=20．
故选C．
第二部分
11. 三
12. x≠3
13. 2，−2
14. −6 2
15. y=23x+6
16. 同圆半径相等，对角线相等且互相平分的四边形是矩形（或直径所对的圆周角是直角，三个角是直角的四边形是矩形．等等）
第三部分
17.
x2+4x=−3,x2+4x+22=−3+22,x+22=1,x+2=±1,x=−2±1,所以x1=−1,x2=−3.
18. ∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∵∠EAC=12∠FAC，∠FAC=∠B+∠ACB，
∴∠EAC=12∠B+∠ACB=∠ACB，
∴AE∥BC．
∵DE∥AB，
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD．
∴AE=CD．
又 ∵AE∥CD，
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形．
∵∠ADC=90∘，
∴ 四边形 ADCE 是矩形．
19. 由题意可知，共骑行 2.5 小时走完全程 50 千米，所以前 1.5 小时走了 30 千米，修车用了 0.5 小时后继续骑行1小时，走了 20 千米，图象如图所示．
20. 证法一：
连接 AC，如图 1．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE=AF，
∴∠2=∠1．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠1，
∴∠DAC=∠2，
∴DA=DC，
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形．
【解析】证法二：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，如图 2．
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB=∠AFD=90∘，
又 ∵AE=AF，
∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形．
证法三：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，如图 2．
AE⊥BC，AF⊥DC，
∴S=BC⋅AE=CD⋅AF，
∵AE=AF，
∴BC=CD，
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形．
21. （1） 因为 m≠0，
所以方程 mx2+3−mx−3=0 为一元二次方程．
依题意，得 Δ=3−m2+12m=m+32．
因为无论 m 取何实数，总有 m+32≥0，
所以此方程总有两个实数根．
（2） 由求根公式，得 x=−3−m±m+32m．
所以 x1=1，x2=−3mm≠0．
因为此方程的两个实数根都为正整数，
所以整数 m 的值为 −1 或 −3．
22. （1） ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C=90∘，∠BDE+∠B=90∘，
∴∠F=∠BDE，而 ∠BDE=∠FDA，
∴∠F=∠FDA，
∴AF=AD，
∴△ADF 是等腰三角形．
（2） ∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90∘，
∵∠B=60∘，BD=4，
∴BE=12BD=2，
∵AB=AC，
∴△ABC 是等边三角形，
∴BC=AB=AD+BD=6，
∴EC=BC−BE=4．
23. 设每次倒出药液 x 升，
第一次倒出后剩 63−x 升药液，
第二次倒出后还剩 63−x−63−x63×x=631−x632 升药液，
即列方程为：
631−x632=28.
解得
x=21 或 x=105不合题意,舍去.
即每次倒出 21 升．
24. （1） 8；10；0.25
【解析】∵ 被调查的总人数为 2÷0.05=40（人），
∴a=40×0.2=8，b=40−2+4+8+10+6=10，c=10÷40=0.25．
（2） 1200 人；6800 人；85%
【解析】∵ 全区八年级学生总人数为 200×40=8000（人），
∴ 预计优秀的人数约为 8000×0.15=1200（人），
预计及格的人数约为 8000×0.2+0.25+0.25+0.15=6800（人），
及格的百分比约为 170200×100%=85%．
（3） 补全频数分布直方图如图所示．
25. （1） 由已知，把 Bm,6 代入 y=3x，得 6=3m，
求得：m=2，
∴B2,6．
把 A−4,0，B2,6 代入 y=kx+b 中，0=−4k+b,6=2k+b.
解得 k=1,b=4.
∴ 直线 l1 的表达式为 y=x+4．
（2） n<6．
26. （1） 如图 4．
（2） 如图 5．
（3） 如图 6，连接BD，
∵CD2=12+22=5，BC2=42+22=20，BD2=42+32=25，
∴CD2+BC2=BD2，
∴∠BCD=90∘，是直角．