2021年北京昌平区南邵中学八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京昌平区南邵中学八年级上期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是
A. 12B. x−3C. 32D. a2b

2. 下列事件属于必然事件的是
A. 打开电视，正在播放新闻
B. 我们班的同学将会有人成为航天员
C. 实数 a<0, 则 2a<0
D. 新疆的冬天不下雪

3. 用以下各组线段为边，可以组成三角形的是
A. 2 cm，4 cm，6 cmB. 2 cm，5 cm，7 cm
C. 2 cm，5 cm，8 cmD. 4 cm，5 cm，8 cm

4. 若分式 ∣x∣−1x+1 的值为零，则 x 的值是
A. 1B. −1C. ±1D. 2

5. 下列图形中轴对称图形有
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

6. 下列运算错误的是
A. 2+3=5B. 2×3=6C. 8÷2=2D. −32=3

7. 下列各数中，比 3 大比 4 小的无理数是
A. 3.14B. 103C. 12D. 17

8. 我们可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 3+5−3−5，设 x=3+5−3−5，易知 3+5>3−5，故 x>0，由 x2=3+5−3−52=3+5+3−5−23+53−5=2，解得 x=2，即 3+5−3−5=2．根据以上方法，化简 6+33−6−33 后的结果为
A. 6B. −12C. −6D. −63

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 己知 a−2+∣b−2a∣=0，则 a+2b 的值是 ．

10. 命题“相等的角是内错角”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）．

11. 袋中有形状大小相同的 8 个红球，2 个白球，从袋中任取一只，取到红球的可能性大小为 ．

12. （1）当 x 时，式子 x−2 有意义；
（2）当 x 时，式子 2x−4 有意义；
（3）当 x 时，式子 −2x 意义．

13. 计算 22−33+22 的结果等于 ．

14. 2x3y= 6xy=6xy =100x2y2 ．

15. 如图，已知 ∠DBC=∠ACB，要证明 △ABC≌△DCB，
（1）若以“SAS”为依据，则需要添加的一个条件是 ．
（2）若以“AAS”为依据，则需要添加的一个条件是 ．
（3）若以“ASA”为依据，则需要添加的一个条件是 ．

16. 如图在 △ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，则 ∠A 的度数是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：222−1+18−30．

18. 解方程：2−xx−3=1−13−x．

19. 已知 19−2 的整数部分是 a，小数部分是 b，求 3b+42+2a．

20. 先化简，再求值：x2+2x+1x2+x÷1+x2x−2x，其中 x=2+1．

21. 已知：如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D，E 在 BC 上，且 BD=CE．求证：∠ADE=∠AED．

22. 依法纳税是每个公民应尽的义务．新税法规定：居民个人的综合所得，以每一纳税月收入减去费用 5000 元以及专项扣除、专项附加扣除和依法确定的其他扣除后的余额，为个人应纳税所得额．已知李先生某月的个人应纳税所得额比张先生的多 1500 元，个人所得税税率相同情况下，李先生的个人所得税税额为 76.5 元，而张先生的个人所得税税额为 31.5 元．求李先生和张先生应纳税所得额分别为多少元?个人所得税税率=个人所得税税额应纳税所得额

23. 如图，在 △ABC 中，AB=4，AC=3，BC=5，DE 是 BC 的垂直平分线，DE 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E．
（1）求证：△ABC 为直角三角形；
（2）求 AE 的长．

24. 如图，△ABC 中，AB=AC，BE=CE，延长 AE 交 BC 于点 D，试说明 AD⊥BC 的理由．

25. 某中学组织七年级学生去春游，原计划租用 45 座客车若干辆，但会有 15 人没有座位；如果租用同样数量的 60 座客车，则会多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知 45 座客车日租金为每辆 220 元，60 座客车日租金为每辆 300 元．问：
（1）七年级学生有多少人?按原计划需要租用 45 座客车多少辆?
（2）要使每位学生都有座位，怎样租车更合算?

26. 设 A=2x−1,B=xx2−1．
（1）求 A 与 B 的差；
（2）若 A 与 B 的值相等，求 x 的值．

27. 解答下列问题．
（1）如图，在 △ABC 中，已知 ∠BAC=90∘，AB=AC，点 D 在 BC 上，且 BD=BA，点 E 在 BC 的延长线上，CE=CA，求 ∠DAE 的度数；
（2）如果把（1）中的“AB=AC”条件去掉，其余条件不变，那么 ∠DAE 的度数改变吗?为什么?
（3）如果把（1）中的“∠BAC=90∘”改成“∠BAC>90∘”，其余条件不变，试探究 ∠DAE 与 ∠BAC 的数量关系式，试证明．

28. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，BE 是 AC 边上的中线，点 D 在射线 BC 上．
（1）【猜想】如图（1）所示，点 D 在 BC 边上 BD:BC=2:3，AD 与 BE 相交于点 P，过点 A 作 AF∥BC，交 BE 的延长线于点 F，则 APPD 的值为 ．
（2）【探究】如图（2）所示，点 D 在 BC 的延长线上，AD 与 BE 的延长线交于点 P，CD:BC=1:2，求 APPD 的值．
（3）【应用】在【探究】的条件下，若 CD=2，AC=6，则 BP= ．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. D
4. A【解析】分式的值要为零，则分子为零，且分母不为零．
5. C
【解析】由题图可得，第一个、第三个均为轴对称图形，第二个是中心对称图形不是轴对称图形，第四个既不是中心对称图形也不是轴对称图形，所以轴对称图形有 2 个．
6. A
7. C【解析】3.14 是有理数，故选项A不合题意；
103 是有理数，故选项B不合题意；
12 是比 3 大比 4 小的无理数，故选项C符合题意；
17 是比 4 大的无理数，故选项D不合题意．故选C．
8. A【解析】设 x=6+33−6−33，且 6+33>6−33，
所以 x>0，
所以 x2=6+33−26−36+33+6−33，
所以 x2=12−2×3=6，
所以 x=6．
第二部分
9. 10
10. 如果两个角互为内错角，那么两个角相等，假
【解析】原命题为“相等的角是内错角”也就是如果两个角相等，那么这两个角互为内错角；
它的逆命题是如果两个角互为内错角，那么这两个角相等；
该逆命题是假命题，内错角本身没有大小关系，两条平行直线被第三条直线所截，所截得的内错角才相等．
11. 45
12. ≥2，≥2，≥0
13. −1
【解析】22−33+22=22×3+22×22−3×3−3×22=62+8−9−62=−1.
14. 4x2，9y2，150xy3
15. AC=BD，∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，或 ∠ABD=∠DCA
16. 36∘
【解析】设 ∠A=x∘．
∵BD=AD，
∴∠A=∠ABD=x∘，∠BDC=∠A+∠ABD=2x∘，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=2x∘，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCD=2x∘，
在 △ABC 中 x+2x+2x=180，解得 x=36，
∴∠A=36∘．
第三部分
17. 原式=4−2+32−1=3+22.
18. 方程两边乘 x−3，得
2−x=x−3+1.
解得
x=2.
经检验，x=2 是原分式方程的解．
19. ∵ 19−2 的整数部分是 a，小数部分是 b，
∴a=2，b=19−4．
∴原式=319+4=4319．
20. 原式=x+12xx+1÷1+x2−2x2x=x+12xx+1⋅x1+x1−x=11−x,
当 x=2+1 时，
原式=11−2−1=−22．
21. ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=AC,∠B=∠C,BD=CE,
∴△ABD≌△ACESAS，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED．
22. 设张先生应纳税所得额为 x 元，则李先生应纳税所得额为 x+1500 元．
依题意得，
76.5x+1500=31.5x.
解得
x=1050.
经检验：x=1050 是原方程的根且符合题意，
当 x=1050 时，x+1500=2550，
答：李先生和张先生的应纳税所得额分别为 2550 元，1050 元．
23. （1） ∵ 在 △ABC 中，AB=4，AC=3，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC 是直角三角形．
（2） 连接 CE．如图，
∵DE 是 BC 的垂直平分线，
∴EC=EB，
设 AE=x，则 EC=4−x，
∴x2+32=4−x2，
解得 x=78，即 AE 的长是 78．
24. 在 △ABE 和 △ACE 中，AB=AC,BE=CE,AE=AE,
所以 △ABE≌△ACE，
所以 ∠BAD=∠CAD，
又因为 AB=AC，
所以 AD⊥BC．
25. （1） 七年级学生有 240 人，按原计划需要租用 45 座客车 5 辆；
（2） 租 45 座客车 4 辆和 60 座客车 1 辆更合算．
26. （1） A−B=2x−1−xx2−1=2x+1−xx2−1=2x+2−xx2−1=x+2x2−1.
（2）
A=B,2x−1=xx2−1,2x+1=x,2x+2=x,x=−2.
检验：当 x=−2 时，x2−1≠0.
∴ x=−2 是原方程的解．
27. （1） ∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠B=∠ACB=45∘，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=12180∘−∠B=67.5∘．
∵CE=CA，
∴∠CAE=∠E=12∠ACB=22.5∘，
在 △ABE 中，∠BAE=180∘−∠B−∠E=112.5∘，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=112.5∘−67.5∘=45∘．
（2） 不改变．
设 ∠CAE=x，
∵CA=CE，
∴∠E=∠CAE=x，
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x，
在 △ABC 中，∠BAC=90∘，
∴∠B=90∘−∠ACB=90∘−2x，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=12180∘−∠B=x+45∘，
在 △ABE 中，∠BAE=180∘−∠B−∠E=180∘−90∘−2x−x=90∘+x，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=90∘+x−x+45∘=45∘．
（3） ∠DAE=12∠BAC．
理由：设 ∠CAE=x，∠BAD=y，
则 ∠B=180∘−2y，∠E=∠CAE=x，
∴∠BAE=180∘−∠B−∠E=2y−x，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=2y−x−y=y−x，∠BAC=∠BAE−∠CAE=2y−x−x=2y−2x，
∴∠DAE=12∠BAC．
28. （1） 32
【解析】∵BE 是 AC 边上的中线，
∴AE=CE．
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴AFBC=AECE=EFBE=1，
∵BD:BC=2:3，
∴BD:AF=2:3．
∵AF∥BD，
∴△APF∽△DPB，
∴APPD=AFBD=32．
（2） 过点 A 作 AF∥BC，交 BE 的延长线于点 F，如图所示，
设 DC=k，则 BC=2k，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴AFBC=AECE=1，即 AF=BC=2k．
∵AF∥BD，
∴△APF∽△DPB，
∴APPD=AFBD=2k3k=23．
（3） 6
【解析】CE=12AC=3，BC=2CD=4，在 Rt△BCE 中，BE=32+42=5，
∴BF=2BE=10．
∵AF∥BD，
∴△APF∽△DPB，
∴PFBP=APPD=23，
∴BP=35BF=35×10=6．