2021年北京丰台区丰台二中八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京丰台区丰台二中八年级上期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 2017 年 6 月北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 化简 x2−y2y−x2 的结果是
A. −1B. 1C. x+yy−xD. x+yx−y

3. 下列方程中，关于 x 的一元二次方程是
A. 3x+12=2x+1B. 1x2+1x−2=0
C. ax2+bx+c=0D. x2+2x=x2−1

4. 若分式 x−2x+5 的值为 0，则 x 的值是
A. 2B. 0C. −2D. −5

5. 116 的平方根是
A. ±12B. ±14C. 14D. 12

6. 三角形的三边长分别为 3，8，2a，则 a 的取值范围为
A. 1.5
7. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿 AC 折叠，点 B 落在点 Bʹ 处，则重叠部分 △AFC 的面积为
A. 12B. 10C. 8D. 6

8. 对于任意实数 k，关于 x 的方程 12x2−k+5x+k2+2k+25=0 的根的情况为
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法判定

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 当 x 时，x+5 是二次根式．

10. 一元二次方程 4xx−2=x−2 的解为 ．

11. 五边形的内角和是 ∘．

12. 写出一个比 2 大且比 15 小的整数 ．

13. 如图，在 △ABC 中，AC=5，BC=8，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，那么 △ADC 的周长为 ．

14. 方程 x−1x=0 的解为 ．

15. 在 △ABC 中，点 D 在 BC 边 上，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，DE=DF，∠B=50∘，∠C=70∘，那 么 ∠DAF= ，∠ADE= ．

16. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”（如图中的实线）．其实他们仅仅少走了 m，却踩伤了花草．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 将半径为 12 cm 的铁球熔化，重新铸造 8 个半径相同的小铁球，若不计损耗，求小铁球的半径．
（球的体积公式是 V=43πr3，r 为球的半径）

18. 化简：4xx2−4−2x−2−1．
圆圆的解答如下：4xx2−4−2x−2−1=4x−2x+2−x2−4=−x2+2x
圆圆的解答正确吗?如果不正确，写出正确的答案．

19. 解分式方程：4x2−1+1=x−1x+1．

20. 解方程：x2−4x−8=0．

21. 如图，点 E，F 在 BC 上，AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．

22. 填写下列表格．
x−112−101221x3−x2

23. 如图，C 为 ∠AOB 平分线上一点，CD∥OB 交 OA 于点 D．求证：OD=CD．

24. 如果一元二次方程的两根都为整数，且其中一根是另一根的整数倍，我们称该方程为倍根方程．例如 x2−2x−3=0 的两根为 x1=3，x2=−1，因为 x1 是 x2 的 −3 倍，所以 x2−2x−3=0 是倍根方程．
（1）说明 x2+3x−18=0 是倍根方程；
（2）若存在正整数 m，使得关于 x 的一元二次方程 x2−3x+2m=0 有实数根，求 m 的值．

25. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=2∠C，AD 是 ∠BAC 的平分线，求证：AC=AB+BD．

26. 如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高 50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多 40 件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．

27. 如图，在 △ABC 中，AB=AC．
（1）P 为 BC 的中点，求证：AB2−AP2=PB⋅PC；
（2）若 P 为 BC 上的任意一点，（1）中的结论是否成立，请证明；
（3）若 P 为 BC 延长线上一点，说明 AB，AP，PB，PC 之间的数量关系．

28. 图 a 是一个长为 2m，宽为 2n 的长方形，沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形，然后按图 b 的形状拼成一个正方形．
（1）图 b 中，大正方形的边长是 ．阴影部分小正方形的边长是 ；
（2）观察图 b，写出 m+n2，m−n2，mn 之间的一个等量关系，并说明理由．
答案
第一部分
1. D
2. D
3. A
4. A
5. A
【解析】∵116=14，14 的平方根是 ±12，
∴116 的平方根是 ±12．
6. B
7. B【解析】由翻折变换的性质可知，△AFD≌△CFBʹ，
∴DF=BʹF，
设 DF=x，则 AF=CF=8−x，
在 Rt△AFD 中，AF2=DF2+AD2，
即 8−x2=x2+42，
解之得：x=3，
∴CF=CD−FD=8−3=5，
∴S△AFC=12⋅AF⋅BC=10．
故选B．
8. B【解析】由题可得 Δ=−k+52−4×12×k2+2k+25=−k2+6k−25=−k−32=−16，
∵ 无论 k 为何值，−k−32≤0，
∴Δ=−k−32−16<0，
∴ 方程没有实数根．
故选B．
第二部分
9. ≥−5
10. x1=2，x2=14
【解析】4xx−2=x−2，
4xx−2−x−2=0，
x−24x−1=0，
x−2=0 或 4x−1=0．
解得 x1=2，x2=14．
11. 540
【解析】5−2⋅180∘=540∘．
12. 2（或 3）
13. 13
14. x=1
15. 30∘，60∘
16. 4
第三部分
17. 6 cm
18. 圆圆的解答错误，正确解法：
4xx2−4−2x−2−1=4xx−2x+2−2x+2x−2x+2−x−2x+2x−2x+2=4x−2x−4−x2+4x−2x+2=2x−x2x−2x+2=−xx+2.
19. 去分母，得
4+x2−1=x2−2x+1.
移项，合并同类项，得
2x=−2.
系数化为 1，得
x=−1.
经检验 x=−1 是增根，
∴ 原分式方程无解．
20. a=1，b=−4，c=−8，
Δ=16−4×1×−8=48，
x=4±482，
x1=2+23，x2=2−23．
21. ∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
在 △ABF 和 △DCE 中，
AB=DC,∠B=∠C,BF=CE,
∴△ABF≌△DCESAS，
∴∠A=∠D．
22. −23；−1；无意义；2；12；34；2；3；114；−1
23. ∵OC 平分 ∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵CD∥OB，
∴∠DCO=∠BOC，
∴∠AOC=∠DCO，
∴OD=CD．
24. （1） 解方程 x2+3x−18=0 得 x1=3，x2=−6，
∵−6 是 3 的 −2 倍，
∴x2+3x−18=0 是倍根方程．
（2） ∵x2−3x+2m=0 有实数根，
∴Δ=−32−4×1×2m=9−8m≥0，
解得 m≤98，
∵m 是正整数，
∴m=1．
25. 延长 CB 至 E，使 BE=BA，连接 AE．
∵BE=BA，
∴∠BAE=∠E，
∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠E+∠BAE，
∴∠C=∠E，
∴AC=AE，
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠EAD=∠BAE+∠BAD=∠E+∠BAD=∠C+∠DAC=∠BDA，
∴EA=ED，
又 ∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE，
∴AC=AB+BD．
26. 设乙商品的进价为 x 元/件，则甲商品的进价为 1+50%x 元/件，
依题意，得：
72001+50%x−3200x=40,
解得：
x=40,
经检验，x=40 是原方程的解，且符合题意，
∴1+50%x=60，3200x=80，72001+50%x=120．
答：甲商品的进价为 60 元/件，乙商品的进价为 40 元/件，购进甲商品 120 件，购进乙商品 80 件．
27. （1） 如图，连接 AP．
因为 AB=AC，P 是 BC 的中点，
所以 AP⊥BC，PB=PC．
在 Rt△ABP 中，AB2=BP2+AP2，
所以 AB2−AP2=BP2．
又 PB=PC，
所以 PB⋅PC=BP2．
所以 AB2−AP2=PB⋅PC．
（2） 结论成立．证明如下：
如图，连接 AP，作 AD⊥BC，交 BC 于点 D．
因为 AB=AC，AD⊥BC．
所以 BD=CD．
在 Rt△ABD 中，AB2=AD2+BD2，
同理 AP2=AD2+DP2，
所以 AB2−AP2=AD2+BD2−AD2+DP2=BD2−DP2．
又 PB=BD+DP，PC=CD−DP=BD−DP，
所以 PB⋅PC=BD+DPBD−DP=BD2−DP2．
所以 AB2−AP2=PB⋅PC．
（3） AP2−AB2≡BP⋅CP．
如图，P 是 BC 延长线上一点，连接 AP，并作 AD⊥BC，交 BC 于点 D．
因为 AB=AC，AD⊥BC，
所以 BD=CD .
在 Rt△ABD 中，AB2=AD2+BD2，
在 Rt△ADP 中，AP2=AD2+DP2，
所以 AP2−AB2=AD2+DP2−AD2+BD2=DP2−BD2．
又 BP=BD+DP，CP=DP−CD=DP−BD，
所以 BP⋅CP=BD+DPDP−BD=DP2−BD2，
所以 AP2−AB2=BP⋅CP．
28. （1） m+n；m−n
【解析】观察图形很容易得出图 b 中大正方形的边长和阴影部分小正方形的边长．
（2） m−n2=m+n2–4mn，
理由如下:右边=m+n2−4mn=m2+2mn+n2−4mn=m2−2mn+n2=m−n2=左边.
所以结论成立．