16.高中数学（人教B版）平面的基本事实与推论1教案

教学基本信息

课题

平面的基本事实与推论

学科

数学

学段： 高中

年级

高一

教材

书名：数学必修第四册               出版社：人民教育出版社           

出版日期：    2019年12月

教学目标及教学重点、难点

    在学习了空间几何体的基础上，通过观察和分析得到并了解平面的基本事实，学习用数学的语言表达客观事实（熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换）；学会证明点线共面问题的基本方法. 能够在上述内容的学习中，逐步提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；提升直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.

教学重点：平面的基本事实及推论

教学难点：利用平面基本事实及推论证明点线共面问题

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

前面我们已经通过几何体的学习，直观地认识了点、线、面之间的位置关系，从本节开始，我们将在直观认识的基础上论证它们之间的关系，以期进一步培养大家的空间想象能力与逻辑推理能力.

下面我们来总结空间中关于平面的基本事实（也称公理）.

引出这节课要学的知识及作用.

新课

一、平面的基本事实

基本事实1　经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.

基本事实2　如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

如果 A∈α, B∈α，那么 直线 ABα .

基本事实3　如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

有 A∈a , α∩β=a .

推论1　经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.

事实上，在直线上取两点A ，B ，

因为点C不在直线上，所以A ，B ， C三点不共线，A ，B ， C确定一个平面α.

由A∈a， B∈a，可知lα.

推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面.

如图，由基本事实1可知A ，B ， C确定一个平面α，

由基本事实2及 由A∈a， B∈a，可知直线ABα，同理直线ACα.

推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面.

根据直线平行的定义，这两条平行线在同一个平面内，

又因为这个平面含有不共线的三点A ，B ， C，由基本事实1可知，这个平面是确定的.

由直观抽象出平面的基本事实

例题

例题1 如图 ， 正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 分别指出空间中是否存在平面通过以下各组对象，如果存在，指出有多少个；如果不存在，说明理由.

（1）A，B ，C1 ；

存在，1个

（2）AB ，BC1 ；

存在，1个

（3）AC1，CC1 ；

 存在，1个

（4）AB ，C，C1 .

不存在，因为C1 ∉平面ABC.

例题2 证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一平面内.

证明：设直线AB, BC, AC

两两相交,交点分别为A, B, C.显然A, B, C三点不共线, 因此它们能确定一个平面α. 因为A∈α, B∈α,所以直线 ABα .同理直线 ACα ,直线 BCα .即直线AB, BC, AC都在同一平面内.

例题3 过直线外一点与这条直线上的3点，分别画3条直线.证明：这3条直线在同一平面内.

证明：记直线外一点为P，

直线l上3点为A ，B ， C，由推论1可知直线l和点P确定一个平面，记为平面α.

因为点A ，B ， C在直线l上，所以3点都在平面α内，根据基本事实2可知直线PA，直线PB，直线PC在同一平面内.

例题4 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗？试说说你的理由.

解：这三条直线共面.

事实上，直线l，m确定平面α，直线AB与直线l，m的交点A，B都在平面α内，根据基本事实2可知直线AB也在平面α内.

变式： 如果一条直线与三条平行直线都相交，那么这四条直线共面吗？

解：这四条直线共面.

由上例可知，直线l，m及直线AB确定平面α，同理直线m，n及直线AB确定平面 β.

    因为经过相交直线m与直线AB的平面有且仅有一个，所以平面α与平面 β重合.

    即这四条直线在同一平面内.

证明点线共面问题的主要方法

（1）纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；

（2）平面重合法，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，再证明平面α，β重合.

例1是平面的基本事实与推论的简单应用，帮助同学初步掌握基本事实及推论的内容，并应用它们解决简单问题.

例题2利用平面基本事实1、2证明共面问题，尝试用数学语言表达集合元素位置关系，提升逻辑推理能力.

例3仍然是利用平面基本事实1、2证明共面问题，尝试用数学语言表达集合元素位置关系，提升逻辑推理能力.

例题4的设计是应用平面基本事实的推论证明共面问题.

变换题目的非本质特征（题目条件），使得学生对于共面问题的认识更加深刻，提高学生分析问题及解决问题的能力.

归纳小结解题方法，有利于巩固本节课所学知识并有理论性提高.

总结

课堂小结：

基本事实1　经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.

基本事实2　如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

基本事实3　如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

推论1　经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.

推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面.

课堂小结帮助学生归纳总结本节课所学知识.

作业

作业：

1.如果要把一个三角形固定在空间中，可以怎样做？说明理由.

解：只需固定三角形的三个顶点就可以了，因为不共线的三点确定一个平面.

2.  4条线段首尾相连，得到的图形一定是平面图形吗？不共面的4个点确定几个平面？

解：不一定，可以确定4个平面.

3.用符号语言改写下列语句.

（1）点A在平面内，点B不在直线l上；

（2）直线a与b相交于一点M；

（3）平面与平面β相交于过点A的直线l.

解：（1）A∈α , Bl；

（2）a∩b＝M；

（3）α∩β＝l，A∈l.

作业的设计是为了即使巩固本节课所学知识，使得学生学以致用.