高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论教案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论教案设计，共15页。教案主要包含了教学重点，教学难点，对点快练，变式练习，变式练习1，变式训练2等内容，欢迎下载使用。

本节课是必修2《立体几何初步》的第二大节内容，主要内容是平面的三个基本性质和推论。平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据，是进一步学习立体几何其他知识的基础和关键，也是学生已有的平面几何观念的拓展，可以对学生的知识结构进行顺应性的建构，通过这些内容的教学，使学生掌握从整体到局部的研究方法，初步了解从具体的直观想象到严格的数学表述形式，使学生的思维从直觉上升到分析思维，因此，掌握平面的三个基本性质至关重要.通过本节课的学习，要求学生理解和掌握平面的三个基本性质，并能用图形语言和符号语言表示，通过实物模型和多媒体进行直观教学，培养学生的观察能力和空间形象能力，通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养学生的观察能力和空间想象能力，通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养逻辑思维能力.
【教学重点】
平面的基本事实和推理
【教学难点】
符号语言、文字语言、图形语言之间的转换
引入：
在初中几何中，观察得到了如下的点与直线的基本事实：
（1）连接两点的线中，线段最短；
（2）过两点有一条直线，并且只有一条直线.
结论（2）也可以简单地说成“两点确定一条直线”，事实上，通过指定的一个点可以作无数条直线，通过指定的三个点，不一定能作一条直线。
问题1：平面的基本事实
基本事实1：
文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.
符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
图形表示：
注：（1）可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”
(2)过不共线的3点A，B，C的平面，通常记作平面ABC，用图像直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示.
(3)如图的平面可以看成由不共线的3点A，B，C确定的，此时显然有：
(4)如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面.
作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面
基本事实2：
文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
符号表示：A∈α，B∈α⇒AB⊂α
图形表示：
作用：
①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面
注：基本事实2可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面。例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上.
基本事实3：
文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号表示：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
图形表示：
注：（1）基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有；
（2）在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示；
（3）根据基本事实3可知，棱柱中，有公共棱的两个面所在的平面一定是相交的，而且公共棱是交线的一部分.
作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上
【对点快练】
1．下列说法正确的是( )
A．三点可以确定一个平面
B．若直线上有一个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内
C．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一点
D．如果两个平面有三个不共线的点，那么这两个平面重合
答案：D A错误，不共线的三点可以确定一个平面；B错误，直线上的两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；C错误，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一条直线；D正确，过不共线的三个点有且只有一个平面．
2．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则( )
A．C∈α B．C∉α
C．AB⊄α D．AB∩α＝C
答案：A 因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB⊂α.又因为C∈直线AB，所以C∈α.
问题2：由平面的基本事实得到的推论
推论1：
文字表示：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.
符号表示：A∉l⇒存在唯一的平面α，使A∈α，且l⊂α
图形表示：
注：(1)这是由基本事实1与基本事实2得到的，
如图，在直线上取两点，因为，所以3点不共线.
由基本事实1可知，确定一个平面，记为，由基本事实2以及可知.
(2)推论1可以简单地说成：直线和直线外一点确定一个平面.
推论2：
文字表示：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
符号表示：l∩m＝A⇒存在唯一的平面α，使l⊂α，且m⊂α
图形表示：
推论3：
文字表示：经过两条平行直线，有且只有一个平面
符号表示：l∥m⇒存在唯一的平面α，使l⊂α，且m⊂α
图形表示：
注：（1）推论2与推论3可以分别简单地说成“两条相交直线确定一个平面”，“两条平行直线确定一个平面”。
（2）推论2可以说明，三角形是平面图形，因此初中有关三角形全等，相似，以及前面我们学习的解三角形等结论，在空间中也是成立的。
（3）推论3可以说明平行四边形，梯形也是平面图形，初中有关平行四边形、梯形的判定与性质等结论，在空间中也成立.
【对点快练】
1．下列说法不正确的是( )
A．三角形是平面图形 B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．平行四边形是平面图形 D．初中学习的梯形的判断与性质等结论，在空间中仍然成立
答案：B A正确，利用推论2可以说明三角形是平面图形；B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面；C正确，利用推论3可以说明平行四边形是平面图形；D正确，因为梯形是平面图形．
2．经过空间任意三点作平面( )
A．只有一个 B．可作二个
C．可作无数多个D．只有一个或有无数多个
答案：D 当三点在一条直线上时，过这三点的平面能作无数个；当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个．
例1. 用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(1)三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；
(2)平面ABD与平面BCD相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC．
[分析] 根据条件，适当确定其中的某一个平面，然后根据点、线、面的位置关系，将其附着于固定平面上，注意图形的立体感，要将被遮挡部分用虚线表示．
解 (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC．用图形表示如图①.
(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，
平面ABC∩平面ADC＝AC．
图形表示如图②.
【变式练习】A、B、C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α⇒α∩β ＝直线AB
C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合
D．l⊄α，A∈l⇒A∉α
答案：D A是基本事实2，故A正确；B是基本事实3，故B正确；C是基本事实1，故C正确；当l⊄α，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故D不正确．
例2.证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内.
证明：设直线两两相交，交点分别是
显然，3点不共线，因此它们能确定一个平面.
因为 那么直线
同理
即直线都在平面内.
【变式练习1】
已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．
证明 法一：如图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，
∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．
法二：∵a∥b，∴过a，b有且只有一个平面α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，则过a与l有且只有一个平面β.
∴a⊂α，a⊂β，B∈α，B∈β，
又∵B∉a，∴平面α与β重合．即过a，b，l有且只有一个平面．
【变式训练2】
如图，已知E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点．
求证：E，F，G，H四点共面．
证明 在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD．
同理FG∥BD，则EH∥FG.故E，F，G，H四点共面．
例3.如图所示的正方体中，E是棱上的一点，试说明3点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线.
解：因为面，面ABCD
所以面，即面与面相交。
延长与，设它们相交于F，如图所示，则：
直线，直线面，
直线，直线面，
则面面，从而为面与面的交线，如图所示.
【变式练习】
如图所示，在正方体中．
画出平面与平面及平面与平面的交线．
解答：如图，∵，，
∴平面，平面．
又平面，平面．
∴平面 平面．
同理平面平面．
例4. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．
证明 ∵MN∩EF＝Q，
∴Q∈直线MN，Q∈直线EF.
又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，
AB⊂平面ABCD，
∴M，N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD．
∴Q∈平面ABCD．同理，可得EF⊂平面ADD1A1，
∴Q∈平面ADD1A1.
又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．
【变式练习】
如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的AB、BC、CD、DA边上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B、D、O三点共线．
证明 ∵E∈AB，H∈AD，
∴E∈平面ABD，H∈平面ABD，
∴EH⊂平面ABD．
∵EH∩FG＝O，
∴O∈平面ABD．
同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，
∴O∈BD，即B、D、O三点共线．
例5. 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．
证明 因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，所以AB，CD必定相交于一点．
如图，设AB∩CD＝M.
又因为AB⊂α，CD⊂β，
所以M∈α，且M∈β，
所以M∈(α∩β)．
又因为α∩β＝l，所以M∈l，即AB，CD，l共点．
【变式练习】
如图所示，已知四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且eq \f(BG,GC)＝eq \f(DH,HC)＝2.求证：直线EG，FH，AC相交于同一点．
证明 ∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF∥BD且EF＝eq \f(1,2)BD．
又∵eq \f(BG,GC)＝eq \f(DH,HC)＝2，
∴GH∥BD且GH＝eq \f(1,3)BD，
∴EF∥GH且EF>GH，
∴四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，
设两腰EG，FH的延长线相交于一点P，
∵EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，
又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC，故直线EG，FH，AC相交于同一点．
小结：
1．证明三点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．
2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．
3．证明多线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．
考点
教学目标
核心素养
平面的基本事实和推论
了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论，理解三个基本事实和三个推论的地位与作用
直观想象、数学抽象、逻辑推理
平面的基本事实和推论的应用
会用平面的基本事实正面点共线、线共点、点线共面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语言之间的转换
直观想象，逻辑推理