12.高中数学（人教B版）空间中点、线、面的位置关系教案

教学基本信息

课题

空间中点、线、面的位置关系

学科

数学

学段： 第四学段

年级

高一

教材

书名：        普通高中教科书数学必修第四册B版       

出版社：人民教育出版社            出版日期：  2019  年 8  月

教学目标及教学重点、难点

通过生活中的观察，认识空间中点、线、面、体的关系；学习点、线、面的符号表示，并借助长方体，学习点、线、面、体在空间几何体中的表示方法直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，学习它们位置关系的符号表示和图形表示；学习直线与平面垂直的概念，从而理解点到平面、直线到平面、两平面间的距离和计算方法.

着重培养学生的观察能力、抽象概括能力和空间想象能力，建立空间图形性质的正确概念的描述方法，为学好立体几何打下良好的基础，共设计3道例题,分别为两条直线的位置关系的判定、直线与平面平行的认识，以及立体图形中的距离的求解.

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

点、线、面、体是构成空间几何体的基本元素.

几何体，即体，面包围着体，面与面相交于线，线与线相交于点.

点运动成线，线运动成面，面运动成体.

通过对生活中的观察，认识几何体的基本元素之间相互依存的关系，从而引出对点、线、面的位置关系的研究.

新课

一、点、线、面、体的表示

 点：用大写的英文字母来表示.

 线：用小写英文字母表示直线，也可用直线上两个点表示，如.

 面：用小写希腊字母表示平面，也可用平面内不共线的三个点表示，如平面.

二、空间中点、线、面的位置关系

1.点与直线

空间中的直线可看成这条直线上所有点组成的集合.

2.两条直线

异面直线的定义：空间中的两条直线既不平行也不相交，则称这两条直线异面.

两条直线异面，则它们不同在任何一个平面内.

用平面衬托的方法表示异面直线.

3. 点与平面

空间中的平面也可看成这个平面上的所有点组成的集合.

4. 直线与平面

（1）直线在平面内（或平面过直线）：直线上的所有点都在平面内，记作.

（2）直线在平面外：直线上至少有一个点不在平面内，记作.

①直线与平面相交：直线与平面有且只有一个公共点，记作.

②直线与平面平行：直线与平面没有公共点，记作.

5. 平面与平面

三、直线与平面垂直

1. 直线与平面垂直的定义：如果直线与平面相交于点，且对平面内任意一条过点的直线，都有，则称直线与平面垂直（或是平面的一条垂线，是直线的一个垂面），记作.其中点称为垂足.

2. 点与面的距离：给定空间中的一个平面及一个点，过点作只可以作平面的一条垂线，如果记垂足为，则称为在平面内的射影（也称投影），线段为平面的垂线段，的长为点到平面的距离.

3. 直线与平面的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；

4. 两个平行平面的距离：当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.

学习几何体基本元素的符号表示方法，建立点、线、面位置关系的符号表示的基础.

把线看成点的集合，通过集合关系来表达点与直线的位置关系，配合图示研究在运动变化的观点下，点与线存在的位置关系.

线与线的位置关系拓展到空间中，增加了两条直线不同在任何一个平面中的异面直线的概念，因此可借助平面衬托的方法来表示异面直线的关系.

把平面看成点的集合，类比点与线的位置关系描述点与平面的位置关系.

线与面都是点的集合，借助于直线与平面公共点的个数来刻画直线与平面的位置关系.

通过两个平面的公共点个数来判断两个平面的位置关系，引导学生借助观察,理解线是面与面的界，两个点确定一条直线，所以可以通过存在一个点是两个平面的公共点，从而得出两个平面存在公共交线的结论，为平面基本性质的得出奠定基础.

直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况，通过直线与平面中直线的垂直关系来刻画直线与平面的垂直关系，建立了两组位置关系的联系.

平面外一点到平面的距离是该点到该平面内点的距离的最小值，通过过已知点作已知平面的垂线段求得.

直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都是相等的，所以可以取其中任一点来作点面距来求线面距离.

两个平面平行时，其中一个平面的每一点到另一个平面距离都相等，所以可以转化为点面距来处理.

例题

例1 判断下列命题是否正确.

(1) 若直线上有无数个点不在平面内，则.(     )

(2)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行.  (     )

(3)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. (     )

【答案】（1）错；（2）错；（3）对.

例2 在正方体中，

（1）与直线异面的棱有         条；

（2）与直线相交的棱有            条；

（3）直线与直线的位置关系是         ；

（4）直线与直线的位置关系是         .

【答案】(1)排除相交和平行的情况，4条；

(2)从一个顶点出发的棱有3条，所以共有6条；

(3)异面，通过找到衬托平面来判断；

(4)平行.

例3 已知是长方体，且.               

 （1）求点A到平面的距离；

（2）求直线到平面的距离；

（3）求平面与平面之间的距离.

【答案】(1)4；(2)2；(3)4.

对线面平行关系的定义的认识，线与面没有公共点即线与平面中的所有线都没有公共点，且直线上的所有点都不在平面内，这与直线上无数个点都不在平面上不同.

两条直线的平行依赖于在同一平面内没有公共点，所以仅由直线与平面平行不可得到.

在正方体内，判断两条直线的位置关系，通过对图形的观察，熟练掌握位置关系描述和判断的方法.

通过找线面垂直，完成距离的求解.

总结

1. 回顾点、线、面的位置关系
2.   明确点与面、线与面、面与面的距离的求法是过点作面的垂线，求垂线段的长度.

总结反思，强化本节课的学习重点

作业

作业1 在长方体中，写出所有

(1)与直线平行的直线，并用“//”表示；

(2)与直线异面的直线；

(3)与直线平行的平面，并用合适的符号表示；

(4)与平面平行的平面，并用合适的符号表示；

(5)与直线垂直的平面，并用合适的符号表示.

通过本节课的学习，你是否已经熟练掌握了点、线、面的位置关系的判定方法？理解把线和面看成点的集合，用集合的关系符号来描述点、线、面的位置关系，是本节课的第一个重点，初步体会垂直在空间中的线与面之间是相交关系的特殊情况，利用垂直关系来求解距离问题是本节课的第二个重点，学会总结和反思，提升自己的空间想象能力和判断能力.

复习本节课的学习内容，学会在几何体中进行位置关系的判断和距离的计算.