18.高中数学（人教B版）平面的基本事实与推论的应用1教案.

教学基本信息

课题

平面的基本事实与推论的应用

学科

数学

学段： 高中

年级

高一

教材

书名：数学必修第四册               出版社：人民教育出版社           

出版日期：    2019年12月

教学目标及教学重点、难点

    在上节课学习了平面的基本事实及推论的基础上，进一步学习用数学的语言表达客观事实（熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换）；学会证明点共线、线共点问题的基本方法. 能够在上述内容的学习中，逐步提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；提升直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.

重点：平面的基本事实及推论，符号语言、文字语言、图形语言之间的转换.

难点：逻辑推理.

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

上节课我们学习了平面的基本事实及推论，这节课我们重点学习运用平面的基本事实及推论解决相关问题的方法，进一步培养大家的空间想象能力与逻辑推理能力.

首先我们来复习平面的基本事实及推论:

基本事实1　经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.

基本事实2　如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

如果 A∈α, B∈α，那么 直线 ABα .

基本事实3　如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

推论1　经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.

推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面.

复习引出这节课要学的知识及作用.

新课

通过例题讲解，掌握平面的基本事实及其推论的应用

例题

例题  判断下列命题的真假

（1）如果两个平面有3个公共点，则这两个平面一定重合；

（假命题）

（2）如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数多个公共点，并且这些公共点都在AB上；（真命题）

（3）已知平面ABD和平面CBD相交于BD，直线EF与直线GH分别在这两个平面内且相交于点M，则点M一定在直线BD上；

（真命题）

例题 如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1 中, E是棱CC1上一点, 试说明D1 , A , E 3点确定的平面与平面ABCD相交, 并画出这两个平面的交线.

解：因为 A ∈ 面D1AE , A ∈ 面ABCD ,

所以面D1 A E与面ABCD相交.

延长D1E与DC,设它们相交于F,则F∈直线D1E,直线D1E 面D1 AE,

F∈直线DC,直线DC 面ABCD ,

则 F∈面D1 AE ∩面ABCD,

从而AF为面D1 A E与面ABCD的交线,如图所示.

例题3 已知△ABC在平面α外，它的三边所在直线分别交平面α于点P ， Q ， R ，求证：

P ， Q ， R 三点共线.

证明：因为△ABC确定一个平面及P∈直线BC，所以P∈平面ABC，

又因为P∈平面α ，所以点P是平面ABC与平面α的公共点.

同理可证点Q，点R都是平面ABC与平面α的公共点.

由基本事实3可知P ， Q ， R 三点共线.

方法总结

证明三点共线的方法

（1）找出两个平面，然后证明三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在交线上.

（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上.

例题4  已知三个平面α，β，γ两两相交，且α∩β＝c，β∩γ＝a，α∩γ＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线相交于同一点.

证明：因为β∩γ＝a，α∩γ＝b，

所以a γ，b γ，因为a和b不平行，所以a与b相交，设 a∩b=P.

则P∈a， P∈b，

而a ，b ，所以P∈， P∈，

又因为α∩β＝c，所以P∈，即a，b，c三条直线相交于同一点.

方法总结

    证明三线共点问题的方法：先确定三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.

常利用基本事实3，说明该点分别在两个平面内，于是此点就在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.

例1利用平面基本事实1、3判断命题真假，帮助学生回顾平面的基本事实及推论，提升逻辑推理能力.

例2应用平面基本事实3 作两平面的交线，初步学习画截面与几何体表面的交线的方法.

应用平面基本事实证明三点共线问题，初步掌握证明三点共线的方法.

运用平面基本事实证明三线共点问题，初步掌握证明三线共点的方法.

总结

这节课我们主要学习了平面的基本事实及推论的应用，特别是点共线、线共点问题的解决方法.进一步学习用数学的语言表达客观事实（熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换）, 逐步提升直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.

课堂小结帮助学生归纳总结本节课所学知识.

作业

作业：

1.（1）为什么梯形是平面图形？

（2）一个角一定是平面图形吗？为什么？

2. 三个平面把空间分为7部分时，它们的交线有        条.

3. 空间有四条交于一点的直线，过其中每两条作一个平面，这样的平面至多有          个.

答案：

1.（1）由推论3可知两条平行线确定一个平面，再根据基本事实2知梯形的两腰也在这个平面内；

（2）一个角一定是平面图形，因为角的两边所在直线是相交直线，由推论2可知，两条相交直线确定一个平面，因此角是平面图形.

2.3.

3.6.

作业的设计由易到难，旨在巩固和提高学生本节课所学知识.