23.高中数学（人教B版）直线与平面垂直的概念-1教案

教学基本信息

课题

11.4.1直线与平面垂直的概念

学科

数学

学段：高一下

年级

高一

教材

书名： 《数学必修第四册》B版                    出版社：人教社            出版日期：2019    年8  月

教学目标及教学重点、难点

教学目标：

1.了解异面直线成角的概念，了解空间中线线垂直的含义.

2.理解线面垂直的概念，学会用线面垂直判定定理证明直线和平面垂直.

3.初步运用线面垂直的概念和判定定理解决实际问题.

教学重点、难点：重点是线面垂直的概念和判定的理解，难点是运用线面垂直的判定定理解决相关问题．

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

（一）知识回顾

1、空间中两条直线的位置关系，从有无公共点的角度可以分为：有且仅有一个公共点，为相交直线，没有公共点，包含平行和异面两种情况，从是否共面的角度可以分为共面直线和异面直线，共面直线包含平行和相交两种情况．

2、等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.

3、两条相交直线所成角：两条直线相交所得的不大于直角的角的大小即为两条相交直线所成的角的大小，特别两条平行直线所成的角为.

（二）问题探究

4、思考探究:如图在正方体中与异面，与也异面.

(1)直观上，你认为这两种异面有什么区别？(2)如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为该怎样做？

回顾复习前面学过知识，为新课学习铺垫.

问题思考探究，启发学生思考异面直线成角的概念.

新课

（一）线线垂直的概念

1、空间中异面直线的成角：如图，如果，，是空间中的两条异面直线过空间任一点分别作与，平行或重合直线， ，我们把与所成角的大小叫做异面直线，所成的角的大小.异面直线所成角的范围：.

2、空间中两条直线所成角的取值范围： .空间中若两条直线所成角为直角，则称它们互相垂直。空间中两条直线与垂直也记作: 由定义可知:.

3、思考探究下面问题：思考(见上图)：在正方体中 (1)直线与所成的角为多少度；(2)直线与所成的角为多少度．

(1) (2)

（二）线面垂直的概念

4、如何来定义空间中一条直线和平面垂直呢？生活中也有很多线面垂直的例子，比如旗杆和地面是垂直的．

直线和平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足.由定义可知： ．

（三）线面垂直的判定定理

5、请同学们思考如何来判断直线和平面垂直呢？

探究：问题1.利用直线与平面垂直定义能检验旗杆竖直地面吗?由定义可知需要检验地面上任意一条直线都与旗杆垂直，操作起来太麻烦，不太容易实现.

问题2.如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？举个例子，如图所示，虽然一条直线和面内一条直线垂直，但是显然不能和该平面垂直.

问题3.如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直？如图所示，如果该直线和平面内的两条平行直线都垂直，也不能判定直线和平面垂直．

6、直线和平面垂直的判定定理：

定理：如果一条直线垂直于平面内两条相交直线，则这条直线垂直于这个平面。图形语言可以如图所示，符号语言为

定理的证明留待后续的学习中同学们学习了空间向量的知识后再来做详细证明。

直线与平面垂直的判定定理也给出了证明线面垂直的方法：在平面内找两条相交直线与已知直线垂直。

辨析：下面叙述中其中正确的有：

①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；

②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；

③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于梯形所在平面；

④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于梯形所在平面.

A.1个   B.2个      C.3个        D.4个

辨析：①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；

②由定义可知正确；③中直线与梯形的两腰所在直线垂直，两腰相交，则由判定定理知与梯形所在平面垂直，所以正确；④中直线与梯形两底边所在直线垂直，两底平行，则不一定与梯形所在平面垂直，不正确.故选B.

梳理线面垂直定义、定理，我们可以得到判定线面垂直的两种方法．

方法总结：

方法一借助定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则此直线垂直于这个平面.

方法二借助判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面．

明确线线垂直概念，为引入直线和平面垂直的概念做准备.

联系生活中的实际问题，引导学生探究直线和平面垂直的概念.

例题

例1有一旗杆高，在它的顶点处系两条长的绳子，拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距，则旗杆就和地面垂直，为什么?

我们根据题目中的信息，画出几何图形，如图所示，旗杆，两绳长，且 不共线，则 确定平面α （即地面）.又因为，，则,，，所以.从而旗杆 与地面垂直．

例题1是线面垂直的实际应用，解决此类问题时，需要挖掘问题的实质，建立适当的数学模型，将实际问题转化成几何语言，利用勾股定理，推证旗杆所在直线与地面上两条相交直线垂直，将问题解决.

例2如图所示，在四棱锥中，侧棱，,底面是平行四边形，与交于点．

求证：.

例题2要求我们证明，关键在于在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直.

证明：如图所示，因为底面 是平行四边形，所以是的中点，因为，所以．同理而，，所以．

例题2是线面垂直判定定理的应用，通过证明线线垂直，得到了线面垂直．

例3如图，在四面体中，是的中点， 和均为等边三角形，，．求证：．

例题3要求我们证明，运用判定定理，我们可以找到面内的两条相交直线与其垂直。证明：如图，连接．因为为等边三角形， 为的中点，

所以．因为和为等边三角形，为 的中点，，，

所以．在中，

因为，

所以，即．因为，所以．

练习1：如图，已知垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上不同于A、B任意一点．

求证：BC⊥平面PAC.

证明：因为PA⊥平面ABC，，

所以PA⊥BC.又因为AB是⊙O的直径，

所以BC⊥AC.而PA∩AC＝A，，

所以BC⊥平面PAC.

我们对练习1进行引申探究：

引申探究1：若练习1中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.

题目中要求同学们证明AE⊥平面PBC，同时条件中增加了AE⊥PC，只需在面内再找到一条直线与AE垂直即可。具体证明过程：

证明：由练习1知BC⊥平面PAC，

又因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE.

因为PC⊥AE，且PC∩BC＝C，,

所以AE⊥平面PBC.

我们将上述问题进一步探究，

引申探究2：若引申探究1中其他条件不变，作AF⊥PB于F，求证：PB⊥平面AEF.

通过前面问题的逐步探究，我们不难得到下面的证明

证明：由引申探究1知AE⊥平面PBC.

因为PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB，

又AF⊥PB，且AE∩AF＝A，

所以PB⊥平面AEF.

例4如图， 所在平面外一点，且，点为斜边的中点．

（1）求证：；

（2）若，求证：．

（1）证明： 因为，为斜边的中点，所以．连接．在中，为斜边的中点，则..所以，所以．

又，所以．

 （2）证明： 因为，为的中点，所以．又由（1）知，所以．

,,

所以．

练习2如图，菱形的边长为，，，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

（1）证明： 因为是菱形，，，

中，，，

所以．又是的中点，

所以，，

因为，所以．

因为，，

所以．

    （2）解：中，，，，

所以，

由（）得，

所以．

本题利用线面垂直的判定定理找到三棱锥的高，同时也需关注折叠过程中变化与不变化的量.

例5 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，且，是的中点．

（1）求证：；

（2）当 的值等于多少时，．

（1）证明：因为，即，

因为，所以.又知为矩形，则， ，,

所以．又，所以．又因为侧面是正三角形，是的中点，所以．，，因此．

    （2）解： 设，，则．

因为，所以，

从而，由（）知．

当时，则，又为的中点，

所以．即，

解得，所以当  时，．

例题5是立体几何知识的综合运用，也请同学们课后认真反思体会．

通过例题1，联系实际问题逐步掌握判定定理的使用.

例2是线面垂直判定定理的应用，意在引导学生寻找线面垂直的条件.

例3启发学生借助平面几何的知识寻找到线线垂直，从而证明线面垂直.

练习1和它的两个探究问题，在条件改变的情况下，引导学生始终关注判定定理中的成立条件，关注线线垂直和线面垂直的转化.

例题4借助平面几何中的知识，利用线面垂直判定定理，解决问题.

练习2把前面所学过的三棱锥的体积公式和本节课线面垂直建立联系，培养学生前后一致的思维习惯过程.

例题5是一个综合问题，把前后知识梳理起来，综合运用，培养学生逐步提升综合运用知识的能力.

总结

本节课和同学们一起学习了异面直线成角，线面垂直的概念，直线和平面垂直的两种判定方法，请同学们课后深入体会线面垂直和线线垂直的转化思想．

总结梳理，回顾反思.

作业

作业1：如图所示，在正方体中，，分别是棱，的中点．求证：．

作业2：在空间四边形中，，分别是 ，的中点，若，，，求证：．

巩固本节课所学的新知识.