专项训练5 圆中常见的计算题型

这是一份专项训练5 圆中常见的计算题型，共15页。

与圆有关的计算主要体现在：利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积，利用圆的知识解决实际问题等；其中涉及面积的计算，常采用作差法、等积法、平移法、割补法等，涉及实际应用计算，常采用建模思想进行计算．
有关角度的计算
1．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.
(1)求证：△ABD≌△CDB；
(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．
(第1题)
半径、弦长的计算
2．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2eq \r(2) cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为________．
(第2题)
3．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30 cm.求直径AB的长．
(第3题)
面积的计算
eq \a\vs4\al(技巧1) 利用“作差法”求面积
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.
(1)求证：DF⊥AC；
(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．
(第4题)
eq \a\vs4\al(技巧2) 利用“等积法”求面积
5．如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF.
(1)求证：CB是⊙O的切线；
(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
(第5题)

eq \a\vs4\al(技巧3) 利用“平移法”求面积
6．如图，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？
(第6题)
eq \a\vs4\al(技巧4) 利用“割补法”求面积
7．如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD.
(1)由AB，BD，eq \(AD,\s\up8(︵))围成的曲边三角形的面积是______；
(2)求证：DE是⊙O的切线；
(3)求线段DE的长．
(第7题)
实际应用的计算
eq \a\vs4\al(应用1) 利用垂径定理解决台风问题
8．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半径为200 km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点320 km处．
(1)试说明台风是否会影响B市；
(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．
(第8题)
eq \a\vs4\al(应用2) 利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想)
9．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门．从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？
(第9题)
eq \a\vs4\al(应用3) 利用直线与圆的位置关系解决范围问题
10．如图，已知A，B两地相距1 km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350 m为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？
(第10题)
参考答案
1．(1)证明：∵AB，CD是⊙O的直径，
∴AB＝CD，∠ADB＝∠CBD＝90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CD，,BD＝DB.))
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)，
即△ABD≌△CDB.
(2)解：∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥BE.
∴∠ABE＝90°.
∵∠DBE＝37°.
∴∠ABD＝53°.
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°.
即∠ADC的度数为37°.
2．2 cm 【解析】如图，连接OB，∵∠BCD＝22°30′，∴∠BOD＝2∠BCD＝45°.∵AB⊥CD，∴BE＝AE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)＝eq \r(2)(cm)，且△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝eq \r(2)BE＝2 cm.
(第2题)
(第3题)
3．解：如图，连接OC.∵∠A＝30°，
∴∠COD＝60°.
∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°.
∴∠D＝30°.
∵OD＝30 cm，∴OC＝eq \f(1,2)OD＝15 cm.
∴AB＝2OC＝30 cm.
4．(1)证明：如图，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠ODB＝∠ACB.
∴OD∥AC.
∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD.
∴DF⊥AC.
(2)解：如图，连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°.
∴∠BAC＝45°.
∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠BAC＝45°.
∴∠AOE＝90°.
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8.
∴S阴影＝S扇形AOE－S△AOE＝4π－8.
(第4题)
5．(1)证明：如图，连接OD，与AF相交于点G，
(第5题)
∵CE与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE.
∴∠CDO＝90°.
∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠BOC.
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO.
∴∠DOC＝∠BOC.
在△CDO和△CBO中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(CO＝CO，,∠DOC＝∠BOC，,OD＝OB，))
∴△CDO≌△CBO.
∴∠CBO＝∠CDO＝90°.
∴CB是⊙O的切线．
(2)解：由(1)可知
∠DOC＝∠BOC，
∵∠ECB＝60°，
∴∠DCO＝∠BCO＝eq \f(1,2)∠ECB＝30°.
∴∠DOC＝∠BOC＝60°.
∴∠DOA＝60°.
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形．
∴AD＝OD＝OF.
在△FOG和△ADG中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠GOF＝∠GDA，,∠FGO＝∠AGD，,OF＝DA，))
∴△FOG≌△ADG.
∴S△ADG＝S△FOG.
∵AB＝6，
∴⊙O的半径r＝3.
∴S阴影＝S扇形ODF＝eq \f(60π×32,360)＝eq \f(3,2)π.
6．解：将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图所示，则阴影部分的面积等于半圆环的面积．
(第6题)
作OE⊥AB于E(易知E为切点)，连接OA，
∴AE＝eq \f(1,2)AB＝9.
∴阴影部分的面积＝eq \f(1,2)π·OA2－eq \f(1,2)π·OE2＝eq \f(1,2)π(OA2－OE2)＝eq \f(1,2)π·AE2＝eq \f(1,2)π·92＝eq \f(81,2)π.

【解析】观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，因此当小半圆在大半圆范围内左右移动时，阴影部分面积不改变，所以我们可以通过平移，使两个半圆的圆心重合，这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积．
7．(1)eq \f(25,2)＋eq \f(25π,4)
(第7题)
(2)证明：如图，连接OD，∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACD＝eq \f(1,2)∠ACB＝45°.
∴∠AOD＝90°，
即OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线．
(3)解：∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝8，AO＝BO＝DO＝5.
如图，过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，
∴AF＝OD＝FD＝5，∠FAB＝90°.
∴∠EAF＝90°－∠CAB＝∠ABC.
∴tan∠EAF＝tan∠ABC.
∴eq \f(EF,AF)＝eq \f(AC,BC)，即eq \f(EF,5)＝eq \f(6,8).
∴EF＝eq \f(15,4).
∴DE＝DF＋EF＝5＋eq \f(15,4)＝eq \f(35,4).
8．解：(1)如图，过点B作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件易知：BP＝320 km，∠BPQ＝30°.∴BH＝eq \f(1,2)BP＝160 km<200 km.∴台风会影响B市．
(2)如图，以B为圆心，200 km为半径作圆，交PQ于P1，P2两点，连接BP1，由垂径定理知P1P2＝2P1H.
(第8题)
在Rt△BHP1中，BP1＝200 km，
BH＝160 km，
∴P1H＝eq \r(2002－1602)＝120(km)．
∴P1P2＝2P1H＝240 km.
∴台风影响B市的时间为eq \f(240,30)＝8(h)．
【解析】本题在图形中画出圆，可以非常直观地构造数学模型，然后利用垂径定理解决生活中的实际问题．
9．解：选择射门方式二较好，理由如下：设AQ与圆的另一交点为C，连接PC，如图所示．
(第9题)
∵∠PCQ是△PAC的外角，
∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ＝∠B，
∴∠B>∠A.∴在B点射门比在A点射门好．∴选择射门方式二较好．
【解析】本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，建模转化到圆中，根据圆周角的相关结论来解决实际问题．
10．解：修建的这条水渠不会穿过公园．
理由：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
由题易得∠CBA＝45°，
∴∠BCD＝45°.
∴CD＝BD.
设CD＝x km，则BD＝x km.
(第10题)
由题易得∠CAB＝30°，
∴AC＝2CD＝2x km，
∴AD＝eq \r(（2x）2－x2)＝eq \r(3)x(km)，
∴eq \r(3)x＋x＝1.解得x＝eq \f(\r(3)－1,2)，
即CD＝eq \f(\r(3)－1,2)≈0.366(km)＝366 m＞350 m，
也就是说，以点C为圆心，350 m为半径的圆与AB相离．
∴修建的这条水渠不会穿过公园．