专项训练6 圆中常用的作辅助线的八种方法

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在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等．
作半径，巧用同圆的半径相等
1．如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4 cm，求该半圆的半径．
(第1题)
连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等
2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足为H.求证：AP＝BH.
(第2题)
作直径，巧用直径所对的圆周角是直角
3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.
(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；
(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．
(第3题)
证切线时辅助线作法的应用
4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
(第4题)
遇弦加弦心距或半径
5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为( )
A．3 B．4 C．3eq \r(2) D．4eq \r(2)
(第5题)
6．如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝2eq \r(3)，OH＝1，则∠APB＝________.
(第6题)
遇直径巧加直径所对的圆周角
7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点．
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)求DE的长．
(第7题)
遇切线巧作过切点的半径
8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)已知PA＝eq \r(3)，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．
(第8题)
巧添辅助线计算阴影部分的面积
9．如图，点B，C，D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6eq \r(3) cm.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求由弦CD，BD与eq \(BC,\s\up8(︵))所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．
(第9题)
参考答案
1．解：如图，连接OA，OF.设OA＝OF＝r cm，AB＝a cm.
(第1题)
在Rt△OAB中，r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\up12(2)＋a2，
在Rt△OEF中，r2＝42＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(a,2)))eq \s\up12(2)，
∴eq \f(a2,4)＋a2＝16＋16＋4a＋eq \f(a2,4).
解得a1＝8，a2＝－4(舍去)．
∴r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,2)))eq \s\up12(2)＋82＝80.
∴r1＝4eq \r(5)，r2＝－4eq \r(5)(舍去)．
即该半圆的半径为4eq \r(5) cm.
【解析】在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题．
2．证明：如图，连接AD，BD.
(第2题)
∵∠DAC，∠DBC都是eq \(DC,\s\up8(︵))所对的圆周角．
∴∠DAC＝∠DBC.
∵CD平分∠ACM，DP⊥AC，DH⊥CM，
∴DP＝DH.
在△ADP和△BDH中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DAP＝∠DBH，,∠DPA＝∠DHB＝90°，,DP＝DH.))
∴△ADP≌△BDH.∴AP＝BH.
【解析】本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC＝∠DBC，为证两三角形全等创造了条件．
3．(1)证明：如图，过点D作⊙O的直径DE，连接AE，EC，AC.
(第3题)
∵DE是⊙O的直径，
∴∠ECD＝∠EAD＝90°.
又∵CD⊥AB，∴EC∥AB.
∴∠BAC＝∠ACE.
∴eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(AE,\s\up8(︵)).∴BC＝AE.
在Rt△AED中，AD2＋AE2＝DE2，
∴AD2＋BC2＝4R2.
(2)解：如图，过点O作OF⊥AD于点F.∵弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，
∴AD＝5，BC＝1.
由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，
∴52＋12＝4R2.∴R＝eq \f(\r(26),2).
∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，∴OF∥EA.
又∵O为DE的中点，∴OF＝eq \f(1,2)AE＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)，即点O到AD的距离为eq \f(1,2).
【解析】本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便．
4．解：CD与⊙O相切，理由如下：如图，作⊙O的直径CE，连接AE.
(第4题)
∵CE是⊙O的直径，∴∠EAC＝90°.
∴∠E＋∠ACE＝90°.
∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB.∴∠B＝∠ACD.
又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E.
∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.
又∵OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．
5．C 6.60°
(第7题)
7．(1)证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵点D是BC的中点，
∴AD是线段BC的垂直平分线．
∴AB＝AC.
又∵AB＝BC，
∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC为等边三角形．
(2)解：如图，连接BE.∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°.∴BE⊥AC.
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，即E为AC的中点．
又∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线．
∴DE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×2＝1.
8．(1)证明：如图，连接OB，∵OA＝OB，
(第8题)
∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA.
∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，
即∠PAO＝∠PBO.
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.
又∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线．
(2)解：如图，连接OP，
∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
∵OA＝OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上．
∴OP为线段AB的垂直平分线．
又∵BC⊥AB，
∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.
由(1)知∠PAO＝90°.
∴∠APO＝30°.∴PO＝2AO.
∵在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，
∴AO2＋3＝(2AO)2.
又∵AO＞0，
∴AO＝1.
∴⊙O的半径为1.
(第9题)
9．(1)证明：如图，连接CO，交DB于点E，∴∠O＝2∠CDB＝60°.
又∵∠OBE＝30°，
∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.
∵AC∥BD，
∴∠ACO＝∠BEO＝90°，即OC⊥AC.
又∵点C在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线．
(2)解：∵OE⊥DB，
∴EB＝eq \f(1,2)DB＝3eq \r(3) cm.
在Rt△EOB中，∵∠OBE＝30°，
∴OE＝eq \f(1,2)OB.
∵EB＝3eq \r(3) cm，
∴由勾股定理可求得OB＝6 cm.
∵∠CDB＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，
∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE＝S△OBE.
∴S阴影＝S扇形COB＝eq \f(60,360)π·62＝6π(cm2)．