专项训练7 圆与相似三角形的综合

这是一份专项训练7 圆与相似三角形的综合，共7页。试卷主要包含了5 B．2，∴OD⊥BC等内容，欢迎下载使用。

方法指导：
圆与相似三角形相综合是中考中的热门考点，解圆与相似三角形相综合的问题时，关键是要从圆中去抽取出相似三角形模型，然后利用相似三角形的性质去证明和求解相关问题．在证两三角形相似时，往往构造同弧所对的圆周角相等或直径所对的圆周角是直角；从而为证两三角形相似创造角相等的条件．
1.如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是( )
A．3 B．4 C.eq \f(25,6) D.eq \f(25,8)
(第1题)
2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为( )
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
(第2题)
3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为( )
A．3 B．2eq \r(3) C.eq \r(21) D．3eq \r(5)
(第3题) (第4题)
4．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．
5．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是________．
(第5题)
6．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB，其中正确结论的序号是________．
(第6题)
7．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.
(1)求证：直线DM是⊙O的切线；
(2)求证：DE2＝DF·DA.
(第7题)
8．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PBPC＝12.
(1)求证：AC平分∠BAD；
(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AD＝3，求△ABC的面积．
(第8题)
参考答案
1．D 2.B 3.C 4.4 5.2 6.①④
7．证明：(1)如图，连接OD.
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵)).∴OD⊥BC.
又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，
∴∠BDM＝∠DBC.
∴BC∥DM.∴OD⊥DM.
∴直线DM是⊙O的切线．
(2)如图，连接BE.
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE.
∴∠BAE＋∠ABE＝∠CBD＋∠CBE，
即∠BED＝∠EBD.∴DB＝DE.
∵∠DBF＝∠DAB，∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB.
∴eq \f(DF,DB)＝eq \f(DB,DA)，即DB2＝DF·DA.
∴DE2＝DF·DA.
(第7题)
8．(1)证明：如图，连接OC.∵PE与⊙O相切，∴OC⊥PE.
∵AE⊥PE，∴OC∥AE.
∴∠CAD＝∠OCA.
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC.∴∠CAD＝∠OAC.
∴AC平分∠BAD.
(第8题)
(2)解：PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.
理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠BAC＋∠ABC＝90°.∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC.∵∠PCB＋∠OCB＝90°，
∴∠PCB＝∠PAC.
∵∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBC.
∴eq \f(PC,PB)＝eq \f(PA,PC).∴PC2＝PB·PA.
∵PBPC＝12，
∴PC＝2PB.∴PA＝4PB.∴AB＝3PB.
(3)解：过点O作OH⊥AD于点H，如图，则AH＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(3,2)，
四边形OCEH是矩形．∴OC＝HE.∴AE＝eq \f(3,2)＋OC.
∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA.∴eq \f(OC,AE)＝eq \f(PO,PA).
∵AB＝3PB，AB＝2OB，∴OB＝eq \f(3,2)PB.
∴eq \f(OC,\f(3,2)＋OC)＝eq \f(PB＋\f(3,2)PB,PB＋3PB)＝eq \f(5,8)，∴OC＝eq \f(5,2)，∴AB＝5.
∵△PBC∽△PCA，∴eq \f(PB,PC)＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(1,2)，
∴AC＝2BC.
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
∴(2BC)2＋BC2＝52，∴BC＝eq \r(5)，∴AC＝2eq \r(5).
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝5，即△ABC的面积为5.