【二轮复习】2024年中考数学 题型5 圆的相关证明与计算 - 圆的基本性质证明与计算（专题训练）

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A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】连接，由圆周角定理得，由得，，，在中，由，计算即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．
2.如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】B
【分析】
过点作，交于点，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果．
【详解】
解：过点作，交于点，
是的外接圆，，
，
又，，
，，
在中，，
，，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键．
3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：

点在上，为的中点，
，
，
，
根据圆周角定理可知，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
4.如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
过点作于，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据正弦的定义求出，根据弧长公式计算求解．
【详解】
解：过点作于，
则，
由圆周角定理得：，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
5．（2023·安徽·统考中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．
【详解】∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．
5.设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）
A．有最大值πB．有最小值πC．有最大值πD．有最小值π
【答案】C
【分析】
由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl，利用配方法整理得出，S侧＝﹣2π(r﹣)2+π，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】
解：∵2r+l＝6，
∴l＝6﹣2r，
∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，
∴当r＝时，S侧有最大值．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面积:是解题的关键．
6．（2023·云南·统考中考真题）如图，是的直径，是上一点．若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7.如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
连接AD，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出，从而得到的度数．
【详解】
解：连接AD，如图，
AB为的直径，
，
，
．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
8．（2023·重庆·统考中考真题）如图，是的切线，为切点，连接．若，，，则的长度是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据切线的性质及正切的定义得到，再根据勾股定理得到．
【详解】解：连接，
∵是的切线，为切点，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵，
∴在，，
故选：．

【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．
9.如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cs∠ABC的值．
【详解】
解：连接AD，如右图所示，
∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD==8，
∴cs∠ADC==，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cs∠ABC的值为，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出cs∠ADC的值，利用数形结合的思想解答．
10．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是( )

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求得，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：B.
【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．
11.如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
连接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根据垂径定理求出AE=3，然后证明三角形OAC是等边三角形，从而可以得到∠OAE=30°，再利用三线合一定理求解即可.
【详解】
解：如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E，
∵C是弧AB的中点，AB=6，
∴OC⊥AB，AE=BE=3，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∵OC⊥AB,
∴，,
∴
∴
∴圆心O到弦AB的距离为，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
12．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数．
13.如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27°B．29°C．35°D．37°
【答案】A
【分析】
连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】
解：连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．（2023·山西·统考中考真题）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键．
15.如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】
如图，过点C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH，可得结论．
【详解】
解：如图，过点C作CH⊥AB于H．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝，
∴OC＝AB＝，
∵＝•AB•CH＝•AC•BC，
∴CH＝，
∴sin∠BOC＝＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用面积法求出CH的长，属于中考常考题型．
16．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，

半径互相垂直，
，
所对的圆心角为，
所对的圆周角，
又，
，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
17.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
【答案】B
【分析】
直接根据直径所对的圆周角是直角进行判断即可．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，
∴∠C=90°
故选：B
【点睛】
此题主要考查了：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，灵活掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
18．（2023·四川·统考中考真题）如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
19.如图，是⊙O的直径，点、在⊙O上，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.
【详解】
∵,
∴∠BOC=2∠BDC=40°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，
故选：B.
【点睛】
此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，邻补角的定义.
20．（2023·广东·统考中考真题）如图，是的直径，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理可进行求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
21.如图，内接于圆，，过点的切线交的延长线于点．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OC，根据切线的性质得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根据外角的性质得出∠CAB.
【详解】
解：连接OC，
∵CP与圆O相切，
∴OC⊥CP，
∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∵∠P=28°，
∴∠COP=180°-90°-28°=62°，
而OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，
即∠CAB=31°，
故选B.
【点睛】
本题考查了切线的性质，三角形内角和，外角，解题的关键是根据切线的性质得出∠COP.
22．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵圆内接四边形中，，
∴
∴
∵
∴，
∵
∴,
故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23.如图，已知是的直径，是弦，若则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先由圆周角定理得到∠DAB=∠BCD=36°，然后根据是的直径确定∠ADB=90°，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】
解：∵是弦，若
∴∠DAB=∠BCD=36°
∵是的直径
∴∠ADB=90°
∴∠ABD=90°-∠DAB=54°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，灵活利用圆周角定理是解答本题的关键．
24.如图，是圆上一点，是直径，，，点在圆上且平分弧，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由是圆O的直径，可得∠A=∠D=90°，又在圆上且平分弧，则∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC长，从而可求DC的长.
【详解】
解：∵是圆O的直径，
∴∠A=∠D=90°.
又在圆上且平分弧，
∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.
在Rt△ABC中，，，根据勾股定理，得BC==2.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CD==.
故选:D.
【点睛】
此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
25.如图，四边形的外接圆为⊙，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得，根据三角形的内角和可得，利用角的和差运算即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查同弧所对的圆周角相等、三角形的内角和、等边对等角，熟练应用几何知识是解题的关键．
26．（2023·上海·统考中考真题）如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．

(1)求的半径；
(2)求的正切值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）延长，交于点，连接，先根据圆周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得；
（2）过点作于点，先解直角三角形可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据正切的定义即可得．
【详解】（1）解：如图，延长，交于点，连接，

由圆周角定理得：，
弦的长为8，且，
，
解得，
的半径为．
（2）解：如图，过点作于点，

的半径为5，
，
，
，
，
，即，
解得，
，，
则的正切值为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
27.如图，在中，以为直径的交于点弦交于点且．
（1）求证：是的切线；
（2）求的直径的长度．
【答案】（1）见解析；（2）的直径的长度为
【解析】
【分析】
(1)先用勾股定理的逆定理证明△AEM为直角三角形，且∠AEM=90°，再根据MN∥BC即可证明∠ABC=90°进而求解；
(2)连接BM，由AB是直径得到∠AMB=90°，再分别在Rt△AMB和Rt△AEM中使用∠A的余弦即可求解．
【详解】
解：(1)，
，
为的直径，
是的切线．
(2)如图，连接
为的直径，
又
，
即，
，
∴的直径的长度为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆中切线的证明，圆周角定理，直角三角形中锐角的三角函数的求法，熟练掌握切线的性质和判定及锐角三角函数的定义是解决此类题的关键．
28．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，都是的半径，．

(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论；
（2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：过点作半径于点，则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．
29.如图，圆是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．
（1）求的度数；
（2）若，求圆的半径．
【答案】（1）的度数为；（2）圆O的半径为2．
【解析】
【分析】
（1）如图（见解析），设，先根据等腰三角形的性质得出，再根据圆的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的性质可得，又根据三角形的内角和定理可求出x的值，从而可得的度数，最后根据圆周角定理即可得；
（2）如图（见解析），设圆O的半径为，先根据圆周角定理得出，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】
（1）如图，连接OA
设
，
AE是圆O的切线
，即
在中，由三角形的内角和定理得：
即
解得
则由圆周角定理得：
故的度数为；
（2）如图，连接AD
设圆O的半径为，则
BD是圆O的直径
由（1）可知，
则在中，
在中，由勾股定理得：，即
解得或（不符题意，舍去）
则圆O的半径为2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键．