还剩23页未读，
继续阅读
2020年甘肃省兰州四十九中中考数学二诊试卷 解析版
展开
这是一份2020年甘肃省兰州四十九中中考数学二诊试卷 解析版，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年甘肃省兰州四十九中中考数学二诊试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项要求的..
1．（4分）的相反数是（ ）
A．2020 B． C．﹣2020 D．
2．（4分）若∠A与∠B互为补角，∠A＝40°，则∠B＝（ ）
A．50° B．40° C．140° D．60°
3．（4分）如图是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
6．（4分）若点P（m+1，2m）在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．m＜0 D．m＞﹣1
7．（4分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（ x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
8．（4分）函数y＝﹣x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（4分）《算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了一道数学问题大意如下：若将绳子三折后测井深则多4尺；若将绳子四折去测井深则多1尺．问绳长和井深各多少尺？设井深为x尺，则可列方程为（ ）
A．3（x+4）＝4（x+1） B．3x+4＝4x+1
C．3（x﹣4）＝4（x﹣1） D．﹣4＝﹣1
10．（4分）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（ ）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
11．（4分）已知关于x的二次函数y＝（x+m）2﹣3，当x＞2时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥﹣2 C．m＜﹣2 D．m≤﹣2
12．（4分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．2
二、填空题：本大题共4小题，每题4分
13．（4分）因式分解：2x2﹣x3﹣x＝ ．
14．（4分）如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC．已知点C（2，0），BD＝2，S△BCD＝3，则S△AOC＝ ．
15．（4分）如图，⊙O的直径AB＝2，C是半圆上任意一点，∠BCD＝60°，则劣弧AD的长为 ．
16．（4分）如图，已知四边形ABCD是菱形，按以下步骤作图：①以顶点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E； ②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，射线BF交AD于点G，连接CG，若∠BCG＝30°，AG＝3，则菱形ABCD的面积等于 ．
三、解答题：本大题共12小题，共86分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（5分）计算：﹣4cos45°﹣（﹣）﹣2﹣|1﹣|．
18．（5分）先化简再求值：÷（1﹣），其中x＝2﹣．
19．（5分）解方程：x2﹣2x＝x﹣2．
20．（5分）如图，D是△ABC的边AC上一点，AB＝DA．DE∥AB，∠DAE＝∠B．求证：AE＝BC．
21．（6分）为落实教育部2月12日印发《关于中小学延期开学期间“停课不停学”有关工作安排的通知》要求，某校创新作业形式，让同学们用自己喜欢的方式表达“我为武汉加油、我为祖国加油”，明明和亮亮计划从以下两类方式中任选一种完成作业：文本类、手抄报、书法作品（分别用A1、A2表示）；视频类：快手视频、PPT（分别用B1、B2表示）
（1）请用列表或树状图的方法表示出明明和亮亮完成作业所选方式的所有可能结果．
（2）求明明和亮亮选择同一类方式完成作业的概率．
22．（8分）为加强中学生体育锻炼，学校组织了九年级300名学生进行了体质监测，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制）．制成如图不完整的统计图表：
表一
成绩x
X＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数
1
2
a
8
4
表二
统计量
平均数
中位数
众数
成绩
79.7
b
72
根据以上信息回答下列问题：
（1）若抽取的学生成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：88 87 81 80 82 88 84 86
根据以上数据将表一和表二补充完整：a ；b ；
（2）在扇形统计图中，表示问卷成绩在70≤x＜80这一组的扇形圆心角度数为 ；
（3）若成绩在80分以上为体质达标，请你估计该校九年级一共有多少名学生的体质达标？
23．（7分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
24．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
25．（7分）兰州白塔山山势起伏，山中白塔七级八面，上有绿项，下筑圆基，几经强烈地震仍屹立未动，显示了我国古代劳动人民在建筑艺术上的智慧与才能．
问题提出：如何测量白塔的高MN．
方案设计：九年级三班的白亮同学去测量白塔的高，如图，他在点A处测得塔尖M的仰角是30°，向前走了50米到达点B处，又测得塔尖M的仰角是60°．
问题解决：根据上述方案和数据，求白塔的高度MN（结果精确到1m，参考数据：≈1.73）．
26．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点D是AB的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠A，∠MDN的两边分别与线段AC交于点M．N（点M在点N左边）．设A，M两点间的距离为xcm，C、N两点间的距离为ycm．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：
x/cm
0
0.6
1.2
1.8
2.3
2.9
3.4
3.5
4.0
4.3
4.5
4.7
4.8
y/cm
a
4.6
4.3
3.9
3.6
3.1
2.6
2.4
b
1.2
0.9
0.4
0.2
请你补全表格：a＝ ；b＝ ．
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象：
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ．
（4）解决问题：当AM＝CN时，A、M两点间的距离大约是 cm．（保留一位小数）
27．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，求BD的长．
28．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣，0）、B两点，交y轴于点C（0，﹣3），点D是线段BC下方的抛物线上一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，交线段BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△BCD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．
（3）是否存在点D，使得△CDF与△BEF相似，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
2020年甘肃省兰州四十九中中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项要求的..
1．（4分）的相反数是（ ）
A．2020 B． C．﹣2020 D．
【分析】根据相反数的意义即可求解．
【解答】解：的相反数是；
故选：B．
2．（4分）若∠A与∠B互为补角，∠A＝40°，则∠B＝（ ）
A．50° B．40° C．140° D．60°
【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案．
【解答】解：∵∠A与∠B互为补角，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝180°﹣40°＝140°．
故选：C．
3．（4分）如图是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：圆柱的主视图是矩形，里面有两条用虚线表示的看不到的棱，故选C．
4．（4分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：＝2，不是最简二次根式；
＝，不是最简二次根式；
＝，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
故选：D．
5．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据等腰三角形的性质可得到∠B＝∠C，已知顶角的度数，根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝（180°﹣40°）÷2＝70°．
故选：B．
6．（4分）若点P（m+1，2m）在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．m＜0 D．m＞﹣1
【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，可得不等式组，求不等式的解即可．
【解答】解：由点P（m+1，2m）在第四象限，得
，
解得﹣1＜m＜0．
故选：B．
7．（4分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（ x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
故选：D．
8．（4分）函数y＝﹣x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的性质作答．
【解答】解：由已知得，k＝﹣1＜0，b＝2＞0，
∴函数y＝﹣x+2的图象经过一、二、四象限，不过第三象限．
故选：C．
9．（4分）《算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了一道数学问题大意如下：若将绳子三折后测井深则多4尺；若将绳子四折去测井深则多1尺．问绳长和井深各多少尺？设井深为x尺，则可列方程为（ ）
A．3（x+4）＝4（x+1） B．3x+4＝4x+1
C．3（x﹣4）＝4（x﹣1） D．﹣4＝﹣1
【分析】根据题意可得等量关系：井深×3+4＝井深×4+1，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设井深为x尺，由题意得：
3x+4＝4x+1，
故选：B．
10．（4分）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（ ）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
【分析】先由AD：DB＝3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC＝BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB＝CE：AC，则可求得答案．
【解答】解：∵AD：DB＝3：5，
∴BD：AB＝5：8，
∵DE∥BC，
∴CE：AC＝BD：AB＝5：8，
∵EF∥AB，
∴CF：CB＝CE：AC＝5：8．
故选：A．
11．（4分）已知关于x的二次函数y＝（x+m）2﹣3，当x＞2时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥﹣2 C．m＜﹣2 D．m≤﹣2
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x＞2时，y随着x的增大而增大，可知二次函数的对称轴x＝﹣m≤2，求出m的取值范围即可．
【解答】解：二次函数y＝（x+m）2﹣3，中，a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵当x＞2时，y随着x的增大而增大，
∴二次函数的对称轴x＝﹣m≤2，即m≥﹣2，
故选：B．
12．（4分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．2
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，此时PD+PE＝BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【解答】解：连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2，
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝2，
故所求最小值为2．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每题4分
13．（4分）因式分解：2x2﹣x3﹣x＝ ﹣x（x﹣1）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣x（x2﹣2x+1）
＝﹣x（x﹣1）2．
故答案为：﹣x（x﹣1）2．
14．（4分）如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC．已知点C（2，0），BD＝2，S△BCD＝3，则S△AOC＝ 5 ．
【分析】根据S△BCD＝BD•CD＝3，求出CD的长，由OC+CD求出OD的长，确定出B坐标，进而求出比例系数k的值，利用反比例函数系数k的几何意义，求出三角形AOC面积即可．
【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝2，
∴S△BCD＝BD•CD＝3，即CD＝3．
∵C（2，0），即OC＝2，
∴OD＝OC+CD＝2+3＝5，
∴B（5，2），代入反比例解析式得：k＝10，
即y＝，则S△AOC＝5．
故答案为：5．
15．（4分）如图，⊙O的直径AB＝2，C是半圆上任意一点，∠BCD＝60°，则劣弧AD的长为 ．
【分析】根据圆周角定理求出∠BOD，得到∠AOD的度数，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：由圆周角定理得，∠BOD＝2∠BCD＝120°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝60°，
∴劣弧AD的长＝＝，
故答案为：．
16．（4分）如图，已知四边形ABCD是菱形，按以下步骤作图：①以顶点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E； ②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，射线BF交AD于点G，连接CG，若∠BCG＝30°，AG＝3，则菱形ABCD的面积等于 ．
【分析】过点D作DH⊥BC于点H，证明CH＝AG，设BG＝x，由三角函数用x表示BC，在Rt△CDH中由勾股定理列出x的方程，进而由菱形的面积公式求得结果．
【解答】解：过点D作 DH⊥BC于点H，
由作图知，BG⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，AD∥BC，
∴BG⊥BC，
∴BG∥DH，
∴四边形BHDG为矩形，
∴BG＝DH，DE＝BH，
∴AE＝CH＝3，
设BG＝x，
∵∠BCG＝30°，
∴CD＝BC＝，
∵CD2﹣DH2＝CH2，
∴，
∴，
∴DH＝，BC＝，
∴菱形ABCD的面积＝BC•DH＝，
故答案为：．
三、解答题：本大题共12小题，共86分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（5分）计算：﹣4cos45°﹣（﹣）﹣2﹣|1﹣|．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣4×﹣4﹣（﹣1）
＝3﹣2﹣4﹣+1
＝﹣3．
18．（5分）先化简再求值：÷（1﹣），其中x＝2﹣．
【分析】首先计算下括号里面分式的减法，然后再计算分式的除法，化简后，再代入x的值即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝﹣（x﹣2）
＝﹣x+2，
当x＝2﹣时，原式＝﹣2+2＝．
19．（5分）解方程：x2﹣2x＝x﹣2．
【分析】根据因式分解法，可得答案．
【解答】解：方程整理，得
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
因式分解，得
（x﹣2）（x﹣1）＝0
于是，得
x﹣2＝0或x﹣1＝0
解得x1＝2，x2＝1．
20．（5分）如图，D是△ABC的边AC上一点，AB＝DA．DE∥AB，∠DAE＝∠B．求证：AE＝BC．
【分析】由“ASA”可证△ADE≌△BAC，可得AE＝BC．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠ADE，
在△ADE和△BAC中，
，
∴△ADE≌△BAC（ASA），
∴AE＝BC．
21．（6分）为落实教育部2月12日印发《关于中小学延期开学期间“停课不停学”有关工作安排的通知》要求，某校创新作业形式，让同学们用自己喜欢的方式表达“我为武汉加油、我为祖国加油”，明明和亮亮计划从以下两类方式中任选一种完成作业：文本类、手抄报、书法作品（分别用A1、A2表示）；视频类：快手视频、PPT（分别用B1、B2表示）
（1）请用列表或树状图的方法表示出明明和亮亮完成作业所选方式的所有可能结果．
（2）求明明和亮亮选择同一类方式完成作业的概率．
【分析】（1）画树状图展示所有16种等可能的结果数；
（2）找出明明和亮亮选择同一类方式完成作业的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：明明和亮亮完成作业所选方式的所有可能结果如下所示：
（2）由树状图知共有16种等可能的结果数，其中明明和亮亮选择同一类方式完成作业的有8种，
∴明明和亮亮选择同一类方式完成作业的概率为＝．
22．（8分）为加强中学生体育锻炼，学校组织了九年级300名学生进行了体质监测，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制）．制成如图不完整的统计图表：
表一
成绩x
X＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数
1
2
a
8
4
表二
统计量
平均数
中位数
众数
成绩
79.7
b
72
根据以上信息回答下列问题：
（1）若抽取的学生成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：88 87 81 80 82 88 84 86
根据以上数据将表一和表二补充完整：a 5 ；b 81.5 ；
（2）在扇形统计图中，表示问卷成绩在70≤x＜80这一组的扇形圆心角度数为 90° ；
（3）若成绩在80分以上为体质达标，请你估计该校九年级一共有多少名学生的体质达标？
【分析】首先根据60≤x＜70以及扇形图中所占的比例求得抽取学生总人数．再根据总人数求得70≤x＜80的人数．对于中位数的计算，还需熟练掌握中位数的定义．对于扇形圆心角度，需要求得70≤x＜80的人数占总抽取人数的比例，再根据比例转化到360度的扇形中，求得圆心角的度数．对于第三问，根据抽取的同学推测全部同学，依据部分推断整体思想，根据比例求得．
【解答】解：（1）根据抽取的60≤x＜70为2人，在扇形中所占比例为10%，求得总抽取人数为2÷10%＝20人．因此a＝20﹣1﹣2﹣8﹣4＝5．根据中位数定义，在所有抽取的的20人中，中位数是排名第10和第11两位同学成绩的平均数，因此只需找到排名第10和第11的两位同学即可．根据图表一得知，排名第10和第11的两位同学在80≤x＜90范围当中，80≤x＜90范围之前已有8名同学，因此在80≤x＜90范围中找寻排名第二和第三的即可．将80≤x＜90这一组的数据进行从小到大排列，得到：80 81 82 84 86 87 88 88．因此第10名为81分，第11名为82分，因此中位数b＝（81+82）÷2＝81.5．
（2）70≤x＜80这一范围共有5人，占抽取总人数的比例为5÷20＝25%，因此对应圆心角的度数为：360°×25%＝90°．
（3）根据图表一，成绩在80分以上的同学共有8+4＝12人，占抽取总人数的比例为12÷20＝60%，因此该校九年级一共有300×60%＝180名学生的体质达标．
23．（7分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）分别把A点坐标代入y1＝x+b和y2＝（k≠0，x＜0）中计算出b和k的值即可；
（2）先确定B点坐标，然后设直线y＝x+3与x轴的交点为C，求得C的坐标，再根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）把A（﹣2，1）代入y1＝x+b得﹣2+b＝1，解得b＝3；
把A（﹣2，1）代入y2＝（k≠0，x＜0）得k＝﹣2×1＝﹣2，
∴一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2＝﹣；
（2）由，解得或，
∴B点坐标为（﹣1，2），
设直线y＝x+3与x轴的交点为C，
把y＝0代入求得x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴△AOB的面积＝△BOC的面积﹣△AOC的面积＝﹣＝．
24．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
25．（7分）兰州白塔山山势起伏，山中白塔七级八面，上有绿项，下筑圆基，几经强烈地震仍屹立未动，显示了我国古代劳动人民在建筑艺术上的智慧与才能．
问题提出：如何测量白塔的高MN．
方案设计：九年级三班的白亮同学去测量白塔的高，如图，他在点A处测得塔尖M的仰角是30°，向前走了50米到达点B处，又测得塔尖M的仰角是60°．
问题解决：根据上述方案和数据，求白塔的高度MN（结果精确到1m，参考数据：≈1.73）．
【分析】根据三角形的外角性质求出∠AMB，根据等腰三角形的判定定理得到BM＝AB＝50，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：∵∠MBN是△ABM的一个外角，
∴∠AMB＝∠MBN﹣∠MAB＝30°，
∴∠AMB＝∠MAB，
∴BM＝AB＝50，
在Rt△MBN中，sin∠MBN＝，
∴MN＝BM•sin∠MBN＝50×＝25≈43，
答：白塔的高度MN约为43米．
26．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点D是AB的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠A，∠MDN的两边分别与线段AC交于点M．N（点M在点N左边）．设A，M两点间的距离为xcm，C、N两点间的距离为ycm．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：
x/cm
0
0.6
1.2
1.8
2.3
2.9
3.4
3.5
4.0
4.3
4.5
4.7
4.8
y/cm
a
4.6
4.3
3.9
3.6
3.1
2.6
2.4
b
1.2
0.9
0.4
0.2
请你补全表格：a＝ 4.9 ；b＝ 1.8 ．
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象：
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： y随x的增大而减小 ．
（4）解决问题：当AM＝CN时，A、M两点间的距离大约是 3.0 cm．（保留一位小数）
【分析】（1）在Rt△ANH中，AN＝MN＝＝＝，则y＝CN＝AC﹣AN＝8﹣＝≈4.9＝a，同理可得b＝1.75≈1.8；
（2）再根据表格数据描点连线绘出函数图象即可；
（3）观察函数图象即可求解；
（4）在图2的基础上，画出直线y＝x，求两个函数的交点横坐标即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，则AB＝10，AD＝5，cos∠BAC＝，
如图1，当x＝0时，点A、M重合，
过点N作NH⊥AB于点H，
∵∠MDN＝∠A，故AH＝AD，
在Rt△ANH中，AN＝MN＝＝＝，
则y＝CN＝AC﹣AN＝8﹣＝≈4.9＝a，
同理可得b＝1.75≈1.8，
故答案为4.9，1.8；
（2）根据表格数据描点连线绘图如图2，
（3）随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势为：y随x的增大而减小，
故答案为y随x的增大而减小；
（4）在图2的基础上，画出直线y＝x，即AM＝CN，
从图象看．两个函数的交点横坐标约为3.0，
故答案为3.0．
27．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，求BD的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠CBD+∠OBC＝90°，则∠OBD＝90°，可得出结论；
（2）证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC＝60°，根据直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠BOC+2∠OBC＝180°，
∵∠BOC＝2∠A，
∴∠A+∠OBC＝90°，
又∵BC＝CD，
∴∠D＝∠CBD，
∵∠A＝∠D，
∴∠CBD+∠OBC＝90°，
∴∠OBD＝90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OBD＝90°，∠D＝∠CBD，
∴∠OBC＝∠BOC，
∴OC＝BC，
又∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵BC＝2，
∴OB＝2，
∴BD＝2．
28．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣，0）、B两点，交y轴于点C（0，﹣3），点D是线段BC下方的抛物线上一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，交线段BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△BCD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．
（3）是否存在点D，使得△CDF与△BEF相似，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）△BCD面积＝S△DFC+S△DFB＝×FD×OB＝2×（m﹣3﹣m2+m+3）＝﹣2m2+8m，即可求解；
（3）当∠EDC为直角时，则∠FCD＝∠EBF，则CD∥x轴，进而求解；当∠BCD为直角时，证明∠DCM＝∠OBC，则tan∠DCM＝tan∠OBC，即可求解．
【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）令y＝x2﹣x﹣3＝0，解得x＝4或﹣，故点B（4，0），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣3，
设点D（m，m2﹣m﹣3），则点F（m，m﹣3），
则△BCD面积＝S△DFC+S△DFB＝×FD×OB＝2×（m﹣3﹣m2+m+3）＝﹣2m2+8m，
∵﹣2＜0，故△BCD面积存在最大值，此时m＝﹣＝2，△BCD面积最大值为8，
故点D的坐标为（2，﹣）；
（3）存在，理由：
设点D（m，m2﹣m﹣3），由抛物线的表达式知，点B（4，0），则OB＝4，
①当∠EDC为直角时，
∵△CDF与△BEF相似，则∠FCD＝∠EBF，
∴CD∥x轴，则点C、D关于函数的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为x＝，则点D（，﹣3）；
②当∠BCD为直角时，
如下图，过点D作DM⊥y轴于点M，
∵∠OCB+∠DCM＝90°，∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠DCM＝∠OBC，
∴tan∠DCM＝tan∠OBC，即，
则，解得m＝0（舍去）或，
故点D的坐标为（，﹣），
故点D的坐标为（，﹣3）或（，﹣）．
2020年甘肃省兰州四十九中中考数学二诊试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项要求的..
1．（4分）的相反数是（ ）
A．2020 B． C．﹣2020 D．
2．（4分）若∠A与∠B互为补角，∠A＝40°，则∠B＝（ ）
A．50° B．40° C．140° D．60°
3．（4分）如图是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
6．（4分）若点P（m+1，2m）在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．m＜0 D．m＞﹣1
7．（4分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（ x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
8．（4分）函数y＝﹣x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（4分）《算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了一道数学问题大意如下：若将绳子三折后测井深则多4尺；若将绳子四折去测井深则多1尺．问绳长和井深各多少尺？设井深为x尺，则可列方程为（ ）
A．3（x+4）＝4（x+1） B．3x+4＝4x+1
C．3（x﹣4）＝4（x﹣1） D．﹣4＝﹣1
10．（4分）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（ ）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
11．（4分）已知关于x的二次函数y＝（x+m）2﹣3，当x＞2时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥﹣2 C．m＜﹣2 D．m≤﹣2
12．（4分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．2
二、填空题：本大题共4小题，每题4分
13．（4分）因式分解：2x2﹣x3﹣x＝ ．
14．（4分）如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC．已知点C（2，0），BD＝2，S△BCD＝3，则S△AOC＝ ．
15．（4分）如图，⊙O的直径AB＝2，C是半圆上任意一点，∠BCD＝60°，则劣弧AD的长为 ．
16．（4分）如图，已知四边形ABCD是菱形，按以下步骤作图：①以顶点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E； ②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，射线BF交AD于点G，连接CG，若∠BCG＝30°，AG＝3，则菱形ABCD的面积等于 ．
三、解答题：本大题共12小题，共86分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（5分）计算：﹣4cos45°﹣（﹣）﹣2﹣|1﹣|．
18．（5分）先化简再求值：÷（1﹣），其中x＝2﹣．
19．（5分）解方程：x2﹣2x＝x﹣2．
20．（5分）如图，D是△ABC的边AC上一点，AB＝DA．DE∥AB，∠DAE＝∠B．求证：AE＝BC．
21．（6分）为落实教育部2月12日印发《关于中小学延期开学期间“停课不停学”有关工作安排的通知》要求，某校创新作业形式，让同学们用自己喜欢的方式表达“我为武汉加油、我为祖国加油”，明明和亮亮计划从以下两类方式中任选一种完成作业：文本类、手抄报、书法作品（分别用A1、A2表示）；视频类：快手视频、PPT（分别用B1、B2表示）
（1）请用列表或树状图的方法表示出明明和亮亮完成作业所选方式的所有可能结果．
（2）求明明和亮亮选择同一类方式完成作业的概率．
22．（8分）为加强中学生体育锻炼，学校组织了九年级300名学生进行了体质监测，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制）．制成如图不完整的统计图表：
表一
成绩x
X＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数
1
2
a
8
4
表二
统计量
平均数
中位数
众数
成绩
79.7
b
72
根据以上信息回答下列问题：
（1）若抽取的学生成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：88 87 81 80 82 88 84 86
根据以上数据将表一和表二补充完整：a ；b ；
（2）在扇形统计图中，表示问卷成绩在70≤x＜80这一组的扇形圆心角度数为 ；
（3）若成绩在80分以上为体质达标，请你估计该校九年级一共有多少名学生的体质达标？
23．（7分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
24．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
25．（7分）兰州白塔山山势起伏，山中白塔七级八面，上有绿项，下筑圆基，几经强烈地震仍屹立未动，显示了我国古代劳动人民在建筑艺术上的智慧与才能．
问题提出：如何测量白塔的高MN．
方案设计：九年级三班的白亮同学去测量白塔的高，如图，他在点A处测得塔尖M的仰角是30°，向前走了50米到达点B处，又测得塔尖M的仰角是60°．
问题解决：根据上述方案和数据，求白塔的高度MN（结果精确到1m，参考数据：≈1.73）．
26．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点D是AB的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠A，∠MDN的两边分别与线段AC交于点M．N（点M在点N左边）．设A，M两点间的距离为xcm，C、N两点间的距离为ycm．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：
x/cm
0
0.6
1.2
1.8
2.3
2.9
3.4
3.5
4.0
4.3
4.5
4.7
4.8
y/cm
a
4.6
4.3
3.9
3.6
3.1
2.6
2.4
b
1.2
0.9
0.4
0.2
请你补全表格：a＝ ；b＝ ．
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象：
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ．
（4）解决问题：当AM＝CN时，A、M两点间的距离大约是 cm．（保留一位小数）
27．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，求BD的长．
28．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣，0）、B两点，交y轴于点C（0，﹣3），点D是线段BC下方的抛物线上一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，交线段BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△BCD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．
（3）是否存在点D，使得△CDF与△BEF相似，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
2020年甘肃省兰州四十九中中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项要求的..
1．（4分）的相反数是（ ）
A．2020 B． C．﹣2020 D．
【分析】根据相反数的意义即可求解．
【解答】解：的相反数是；
故选：B．
2．（4分）若∠A与∠B互为补角，∠A＝40°，则∠B＝（ ）
A．50° B．40° C．140° D．60°
【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案．
【解答】解：∵∠A与∠B互为补角，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝180°﹣40°＝140°．
故选：C．
3．（4分）如图是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：圆柱的主视图是矩形，里面有两条用虚线表示的看不到的棱，故选C．
4．（4分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：＝2，不是最简二次根式；
＝，不是最简二次根式；
＝，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
故选：D．
5．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据等腰三角形的性质可得到∠B＝∠C，已知顶角的度数，根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝（180°﹣40°）÷2＝70°．
故选：B．
6．（4分）若点P（m+1，2m）在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．m＜0 D．m＞﹣1
【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，可得不等式组，求不等式的解即可．
【解答】解：由点P（m+1，2m）在第四象限，得
，
解得﹣1＜m＜0．
故选：B．
7．（4分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（ x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
故选：D．
8．（4分）函数y＝﹣x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的性质作答．
【解答】解：由已知得，k＝﹣1＜0，b＝2＞0，
∴函数y＝﹣x+2的图象经过一、二、四象限，不过第三象限．
故选：C．
9．（4分）《算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了一道数学问题大意如下：若将绳子三折后测井深则多4尺；若将绳子四折去测井深则多1尺．问绳长和井深各多少尺？设井深为x尺，则可列方程为（ ）
A．3（x+4）＝4（x+1） B．3x+4＝4x+1
C．3（x﹣4）＝4（x﹣1） D．﹣4＝﹣1
【分析】根据题意可得等量关系：井深×3+4＝井深×4+1，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设井深为x尺，由题意得：
3x+4＝4x+1，
故选：B．
10．（4分）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（ ）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
【分析】先由AD：DB＝3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC＝BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB＝CE：AC，则可求得答案．
【解答】解：∵AD：DB＝3：5，
∴BD：AB＝5：8，
∵DE∥BC，
∴CE：AC＝BD：AB＝5：8，
∵EF∥AB，
∴CF：CB＝CE：AC＝5：8．
故选：A．
11．（4分）已知关于x的二次函数y＝（x+m）2﹣3，当x＞2时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥﹣2 C．m＜﹣2 D．m≤﹣2
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x＞2时，y随着x的增大而增大，可知二次函数的对称轴x＝﹣m≤2，求出m的取值范围即可．
【解答】解：二次函数y＝（x+m）2﹣3，中，a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵当x＞2时，y随着x的增大而增大，
∴二次函数的对称轴x＝﹣m≤2，即m≥﹣2，
故选：B．
12．（4分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．2
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，此时PD+PE＝BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【解答】解：连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2，
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝2，
故所求最小值为2．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每题4分
13．（4分）因式分解：2x2﹣x3﹣x＝ ﹣x（x﹣1）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣x（x2﹣2x+1）
＝﹣x（x﹣1）2．
故答案为：﹣x（x﹣1）2．
14．（4分）如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC．已知点C（2，0），BD＝2，S△BCD＝3，则S△AOC＝ 5 ．
【分析】根据S△BCD＝BD•CD＝3，求出CD的长，由OC+CD求出OD的长，确定出B坐标，进而求出比例系数k的值，利用反比例函数系数k的几何意义，求出三角形AOC面积即可．
【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝2，
∴S△BCD＝BD•CD＝3，即CD＝3．
∵C（2，0），即OC＝2，
∴OD＝OC+CD＝2+3＝5，
∴B（5，2），代入反比例解析式得：k＝10，
即y＝，则S△AOC＝5．
故答案为：5．
15．（4分）如图，⊙O的直径AB＝2，C是半圆上任意一点，∠BCD＝60°，则劣弧AD的长为 ．
【分析】根据圆周角定理求出∠BOD，得到∠AOD的度数，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：由圆周角定理得，∠BOD＝2∠BCD＝120°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝60°，
∴劣弧AD的长＝＝，
故答案为：．
16．（4分）如图，已知四边形ABCD是菱形，按以下步骤作图：①以顶点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E； ②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，射线BF交AD于点G，连接CG，若∠BCG＝30°，AG＝3，则菱形ABCD的面积等于 ．
【分析】过点D作DH⊥BC于点H，证明CH＝AG，设BG＝x，由三角函数用x表示BC，在Rt△CDH中由勾股定理列出x的方程，进而由菱形的面积公式求得结果．
【解答】解：过点D作 DH⊥BC于点H，
由作图知，BG⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，AD∥BC，
∴BG⊥BC，
∴BG∥DH，
∴四边形BHDG为矩形，
∴BG＝DH，DE＝BH，
∴AE＝CH＝3，
设BG＝x，
∵∠BCG＝30°，
∴CD＝BC＝，
∵CD2﹣DH2＝CH2，
∴，
∴，
∴DH＝，BC＝，
∴菱形ABCD的面积＝BC•DH＝，
故答案为：．
三、解答题：本大题共12小题，共86分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（5分）计算：﹣4cos45°﹣（﹣）﹣2﹣|1﹣|．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣4×﹣4﹣（﹣1）
＝3﹣2﹣4﹣+1
＝﹣3．
18．（5分）先化简再求值：÷（1﹣），其中x＝2﹣．
【分析】首先计算下括号里面分式的减法，然后再计算分式的除法，化简后，再代入x的值即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝﹣（x﹣2）
＝﹣x+2，
当x＝2﹣时，原式＝﹣2+2＝．
19．（5分）解方程：x2﹣2x＝x﹣2．
【分析】根据因式分解法，可得答案．
【解答】解：方程整理，得
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
因式分解，得
（x﹣2）（x﹣1）＝0
于是，得
x﹣2＝0或x﹣1＝0
解得x1＝2，x2＝1．
20．（5分）如图，D是△ABC的边AC上一点，AB＝DA．DE∥AB，∠DAE＝∠B．求证：AE＝BC．
【分析】由“ASA”可证△ADE≌△BAC，可得AE＝BC．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠ADE，
在△ADE和△BAC中，
，
∴△ADE≌△BAC（ASA），
∴AE＝BC．
21．（6分）为落实教育部2月12日印发《关于中小学延期开学期间“停课不停学”有关工作安排的通知》要求，某校创新作业形式，让同学们用自己喜欢的方式表达“我为武汉加油、我为祖国加油”，明明和亮亮计划从以下两类方式中任选一种完成作业：文本类、手抄报、书法作品（分别用A1、A2表示）；视频类：快手视频、PPT（分别用B1、B2表示）
（1）请用列表或树状图的方法表示出明明和亮亮完成作业所选方式的所有可能结果．
（2）求明明和亮亮选择同一类方式完成作业的概率．
【分析】（1）画树状图展示所有16种等可能的结果数；
（2）找出明明和亮亮选择同一类方式完成作业的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：明明和亮亮完成作业所选方式的所有可能结果如下所示：
（2）由树状图知共有16种等可能的结果数，其中明明和亮亮选择同一类方式完成作业的有8种，
∴明明和亮亮选择同一类方式完成作业的概率为＝．
22．（8分）为加强中学生体育锻炼，学校组织了九年级300名学生进行了体质监测，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制）．制成如图不完整的统计图表：
表一
成绩x
X＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数
1
2
a
8
4
表二
统计量
平均数
中位数
众数
成绩
79.7
b
72
根据以上信息回答下列问题：
（1）若抽取的学生成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：88 87 81 80 82 88 84 86
根据以上数据将表一和表二补充完整：a 5 ；b 81.5 ；
（2）在扇形统计图中，表示问卷成绩在70≤x＜80这一组的扇形圆心角度数为 90° ；
（3）若成绩在80分以上为体质达标，请你估计该校九年级一共有多少名学生的体质达标？
【分析】首先根据60≤x＜70以及扇形图中所占的比例求得抽取学生总人数．再根据总人数求得70≤x＜80的人数．对于中位数的计算，还需熟练掌握中位数的定义．对于扇形圆心角度，需要求得70≤x＜80的人数占总抽取人数的比例，再根据比例转化到360度的扇形中，求得圆心角的度数．对于第三问，根据抽取的同学推测全部同学，依据部分推断整体思想，根据比例求得．
【解答】解：（1）根据抽取的60≤x＜70为2人，在扇形中所占比例为10%，求得总抽取人数为2÷10%＝20人．因此a＝20﹣1﹣2﹣8﹣4＝5．根据中位数定义，在所有抽取的的20人中，中位数是排名第10和第11两位同学成绩的平均数，因此只需找到排名第10和第11的两位同学即可．根据图表一得知，排名第10和第11的两位同学在80≤x＜90范围当中，80≤x＜90范围之前已有8名同学，因此在80≤x＜90范围中找寻排名第二和第三的即可．将80≤x＜90这一组的数据进行从小到大排列，得到：80 81 82 84 86 87 88 88．因此第10名为81分，第11名为82分，因此中位数b＝（81+82）÷2＝81.5．
（2）70≤x＜80这一范围共有5人，占抽取总人数的比例为5÷20＝25%，因此对应圆心角的度数为：360°×25%＝90°．
（3）根据图表一，成绩在80分以上的同学共有8+4＝12人，占抽取总人数的比例为12÷20＝60%，因此该校九年级一共有300×60%＝180名学生的体质达标．
23．（7分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）分别把A点坐标代入y1＝x+b和y2＝（k≠0，x＜0）中计算出b和k的值即可；
（2）先确定B点坐标，然后设直线y＝x+3与x轴的交点为C，求得C的坐标，再根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）把A（﹣2，1）代入y1＝x+b得﹣2+b＝1，解得b＝3；
把A（﹣2，1）代入y2＝（k≠0，x＜0）得k＝﹣2×1＝﹣2，
∴一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2＝﹣；
（2）由，解得或，
∴B点坐标为（﹣1，2），
设直线y＝x+3与x轴的交点为C，
把y＝0代入求得x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴△AOB的面积＝△BOC的面积﹣△AOC的面积＝﹣＝．
24．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
25．（7分）兰州白塔山山势起伏，山中白塔七级八面，上有绿项，下筑圆基，几经强烈地震仍屹立未动，显示了我国古代劳动人民在建筑艺术上的智慧与才能．
问题提出：如何测量白塔的高MN．
方案设计：九年级三班的白亮同学去测量白塔的高，如图，他在点A处测得塔尖M的仰角是30°，向前走了50米到达点B处，又测得塔尖M的仰角是60°．
问题解决：根据上述方案和数据，求白塔的高度MN（结果精确到1m，参考数据：≈1.73）．
【分析】根据三角形的外角性质求出∠AMB，根据等腰三角形的判定定理得到BM＝AB＝50，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：∵∠MBN是△ABM的一个外角，
∴∠AMB＝∠MBN﹣∠MAB＝30°，
∴∠AMB＝∠MAB，
∴BM＝AB＝50，
在Rt△MBN中，sin∠MBN＝，
∴MN＝BM•sin∠MBN＝50×＝25≈43，
答：白塔的高度MN约为43米．
26．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点D是AB的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠A，∠MDN的两边分别与线段AC交于点M．N（点M在点N左边）．设A，M两点间的距离为xcm，C、N两点间的距离为ycm．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：
x/cm
0
0.6
1.2
1.8
2.3
2.9
3.4
3.5
4.0
4.3
4.5
4.7
4.8
y/cm
a
4.6
4.3
3.9
3.6
3.1
2.6
2.4
b
1.2
0.9
0.4
0.2
请你补全表格：a＝ 4.9 ；b＝ 1.8 ．
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象：
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： y随x的增大而减小 ．
（4）解决问题：当AM＝CN时，A、M两点间的距离大约是 3.0 cm．（保留一位小数）
【分析】（1）在Rt△ANH中，AN＝MN＝＝＝，则y＝CN＝AC﹣AN＝8﹣＝≈4.9＝a，同理可得b＝1.75≈1.8；
（2）再根据表格数据描点连线绘出函数图象即可；
（3）观察函数图象即可求解；
（4）在图2的基础上，画出直线y＝x，求两个函数的交点横坐标即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，则AB＝10，AD＝5，cos∠BAC＝，
如图1，当x＝0时，点A、M重合，
过点N作NH⊥AB于点H，
∵∠MDN＝∠A，故AH＝AD，
在Rt△ANH中，AN＝MN＝＝＝，
则y＝CN＝AC﹣AN＝8﹣＝≈4.9＝a，
同理可得b＝1.75≈1.8，
故答案为4.9，1.8；
（2）根据表格数据描点连线绘图如图2，
（3）随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势为：y随x的增大而减小，
故答案为y随x的增大而减小；
（4）在图2的基础上，画出直线y＝x，即AM＝CN，
从图象看．两个函数的交点横坐标约为3.0，
故答案为3.0．
27．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，求BD的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠CBD+∠OBC＝90°，则∠OBD＝90°，可得出结论；
（2）证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC＝60°，根据直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠BOC+2∠OBC＝180°，
∵∠BOC＝2∠A，
∴∠A+∠OBC＝90°，
又∵BC＝CD，
∴∠D＝∠CBD，
∵∠A＝∠D，
∴∠CBD+∠OBC＝90°，
∴∠OBD＝90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OBD＝90°，∠D＝∠CBD，
∴∠OBC＝∠BOC，
∴OC＝BC，
又∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵BC＝2，
∴OB＝2，
∴BD＝2．
28．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣，0）、B两点，交y轴于点C（0，﹣3），点D是线段BC下方的抛物线上一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，交线段BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△BCD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．
（3）是否存在点D，使得△CDF与△BEF相似，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）△BCD面积＝S△DFC+S△DFB＝×FD×OB＝2×（m﹣3﹣m2+m+3）＝﹣2m2+8m，即可求解；
（3）当∠EDC为直角时，则∠FCD＝∠EBF，则CD∥x轴，进而求解；当∠BCD为直角时，证明∠DCM＝∠OBC，则tan∠DCM＝tan∠OBC，即可求解．
【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）令y＝x2﹣x﹣3＝0，解得x＝4或﹣，故点B（4，0），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣3，
设点D（m，m2﹣m﹣3），则点F（m，m﹣3），
则△BCD面积＝S△DFC+S△DFB＝×FD×OB＝2×（m﹣3﹣m2+m+3）＝﹣2m2+8m，
∵﹣2＜0，故△BCD面积存在最大值，此时m＝﹣＝2，△BCD面积最大值为8，
故点D的坐标为（2，﹣）；
（3）存在，理由：
设点D（m，m2﹣m﹣3），由抛物线的表达式知，点B（4，0），则OB＝4，
①当∠EDC为直角时，
∵△CDF与△BEF相似，则∠FCD＝∠EBF，
∴CD∥x轴，则点C、D关于函数的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为x＝，则点D（，﹣3）；
②当∠BCD为直角时，
如下图，过点D作DM⊥y轴于点M，
∵∠OCB+∠DCM＝90°，∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠DCM＝∠OBC，
∴tan∠DCM＝tan∠OBC，即，
则，解得m＝0（舍去）或，
故点D的坐标为（，﹣），
故点D的坐标为（，﹣3）或（，﹣）．
相关试卷
2022年甘肃省兰州市中考数学试卷（解析版）： 这是一份2022年甘肃省兰州市中考数学试卷（解析版），共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年甘肃省兰州市中考数学二诊试卷(含答案)： 这是一份2023年甘肃省兰州市中考数学二诊试卷(含答案)，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年甘肃省兰州市中考数学二诊试卷（含解析）： 这是一份2023年甘肃省兰州市中考数学二诊试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
