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2020年甘肃省酒泉市肃州区中考数学一模试卷 解析版
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这是一份2020年甘肃省酒泉市肃州区中考数学一模试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年甘肃省酒泉市肃州区中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，将正确选项填入题后的括号内．
1．数2020的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2020 D．﹣2020
2．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．x7÷x＝x7 B．（﹣3x2）2＝﹣9x4
C．x3•x3＝2x6 D．（x3）2＝x6
5．2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km，把384000km用科学记数法可以表示为（ ）
A．38.4×104km B．3.84×105km
C．0.384×10 6km D．3.84×106km
6．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A．54° B．36° C．32° D．27°
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若＝0，则x等于（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝±1
9．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题8个小题，每小题3分，共24分．将答案填在题中的横线上．
11．分解因式：x2y2﹣4x2＝ ．
12．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是 ．
13．在，，π，﹣1.6，这五个数中，有理数有 个．
14．扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数n
20
50
100
200
500
1000
1500
2000
优等品的频数m
19
47
91
184
462
921
1379
1846
优等品的频率
0.950
0.940
0.910
0.920
0.924
0.921
0.919
0.923
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 ．（精确到0.01）
15．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
16．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝ ．
17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
18．我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4．…（即当n为大于1的奇数时，Sn＝1﹣Sn﹣1，当n为大于1的偶数时．Sn＝1+，按此规律．S2020＝ ．
三、解答题：（一）本大题共5个小题，共26分，解答时，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．计算：2sin60°+|﹣2|+（﹣1）﹣1﹣
20．在“端午”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
（1）他们共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助算算，小明用更省钱的购票方式是指什么？
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
22．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
23．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，摸到红球的概率是多少？
（2）搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率．
24．为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？
（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？
25．直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B （6，n），与坐标轴分别交于点C和点 D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当S△ADP＝S△BOD时，求点P的坐标．
26．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，EF＝8，求⊙O的半径．
27．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
（1）探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．求证：△BCD的面积为a2．（提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE）
（2）探究2：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
（3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．
28．如图．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（0，3）两点，与x轴的另一个交点为C，对称轴是直线l．
（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）在抛物线的对称轴l上是否存在一点D，使得△BCD的周长最小，若存在，求出点D的坐标及△BCD周长的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）设点Q是抛物线上一点，点R是平面内一点是否存在四边形AQBR是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年甘肃省酒泉市肃州区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．数2020的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2020 D．﹣2020
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：D．
2．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：它的俯视图为
故选：A．
4．下列计算正确的是（ ）
A．x7÷x＝x7 B．（﹣3x2）2＝﹣9x4
C．x3•x3＝2x6 D．（x3）2＝x6
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、x7÷x＝x6，故此选项错误；
B、（﹣3x2）2＝9x4，故此选项错误；
C、x3•x3＝x6，故此选项错误；
D、（x3）2＝x6，故此选项正确；
故选：D．
5．2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km，把384000km用科学记数法可以表示为（ ）
A．38.4×104km B．3.84×105km
C．0.384×10 6km D．3.84×106km
【分析】利用科学记数法的表示形式即可
【解答】解：
科学记数法表示：384 000＝3.84×105km
故选：B．
6．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A．54° B．36° C．32° D．27°
【分析】由切线的性质得出∠OAB＝90°，由直角三角形的性质得出∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，由等腰三角形的性质得出∠ADC＝∠OAD，再由三角形的外角性质即可得出答案．
【解答】解：∵AB为⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°，
∵∠ABO＝36°，
∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，
∵OA＝OD，
∴∠ADC＝∠OAD，
∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD，
∴∠ADC＝∠AOB＝27°；
故选：D．
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，
解不等式5﹣2x≥1得x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
故选：C．
8．若＝0，则x等于（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝±1
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得|x|﹣1＝0且x﹣1≠0，
解得x＝﹣1．
故选：C．
9．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【解答】解：∵÷
＝•
＝•
＝•
＝
＝，
∴出现错误是在乙和丁，
故选：D．
10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
①0≤x≤2时，根据S△APQ＝AQ•AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；
②2≤x≤4时，根据S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；
②当2＜x≤4时，
y＝S△APQ
＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）
＝﹣x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
11．分解因式：x2y2﹣4x2＝ x2（y+2）（y﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2（y2﹣4）＝x2（y+2）（y﹣2），
故答案为：x2（y+2）（y﹣2）
12．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是 x1＝2，x2＝1 ．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x（x﹣2）＝x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0，x﹣1＝0，
x1＝2，x2＝1，
故答案为：x1＝2，x2＝1．
13．在，，π，﹣1.6，这五个数中，有理数有 3 个．
【分析】根据有理数定义可得．
【解答】解：根据题意可得有理数有，﹣1.6，＝5
故答案为3．
14．扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数n
20
50
100
200
500
1000
1500
2000
优等品的频数m
19
47
91
184
462
921
1379
1846
优等品的频率
0.950
0.940
0.910
0.920
0.924
0.921
0.919
0.923
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 0.92 ．（精确到0.01）
【分析】由表中数据可判断频率在0.92左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率为0.92．
【解答】解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92，
故答案为0.92．
15．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＞且a≠0 ．
【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式是b2﹣4ac＞0即可进行解答
【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根
得△＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，
解得a＞
则a＞且a≠0
故答案为a＞且a≠0
16．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝ ．
【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，
∴＝，
则＝＝．
故答案为：．
17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 8﹣2π （结果保留π）．
【分析】根据S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE计算即可；
【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，
故答案为8﹣2π．
18．我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4．…（即当n为大于1的奇数时，Sn＝1﹣Sn﹣1，当n为大于1的偶数时．Sn＝1+，按此规律．S2020＝ 0 ．
【分析】根据题意，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点，从而可以得到S2020的值．
【解答】解：由题意可得，
S1＝1，
S2＝1+＝1+＝2，
S3＝1﹣S2＝1﹣2＝﹣1，
S4＝1+＝1+＝0，
S5＝1﹣S4＝1﹣0＝1，
…，
故这列数依次以1，2，﹣1，0循环出现，
∵2020÷4＝505，
∴S2020＝0，
故答案为：0．
三．解答题
19．计算：2sin60°+|﹣2|+（﹣1）﹣1﹣
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×+2﹣﹣1+2
＝+2﹣﹣1+2
＝3．
20．在“端午”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
（1）他们共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助算算，小明用更省钱的购票方式是指什么？
【分析】（1）设去了x个成人，y个学生，根据12个人共需400元购票，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）求出购买16张团体票总钱数，将其与400进行比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设去了x个成人，y个学生，
依题意，得：，
解得：．
答：他们一共去了8个成人，4个学生．
（2）若按团体票购票：16×40×0.6＝384（元），
∵384＜400，
∴按团体票购票更省钱．
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．
（2）设AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图直线MN即为所求．
（2）∵MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，
在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴BD＝5．
22．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
【分析】延长EF交CH于N，根据等腰直角三角形的性质得到CN＝NF，根据正切的定义求出DN，结合图形计算即可．
【解答】解：能，
理由如下：延长EF交CH于N，
则∠CNF＝90°，
∵∠CFN＝45°，
∴CN＝NF，
设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，
∴EN＝5+（x+3）＝x+8，
在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，
则DN＝EN•tan∠DEN，
∴x≈0.6（x+8），
解得，x＝12，
则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），
答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．
23．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，摸到红球的概率是多少？
（2）搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次都摸到白球的情况，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵袋子中装有2个白球和1个红球，共有3个球，
∴摸到红球的概率是；
（2）根据题意画图如下：
共有6种等情况数，其中两次都摸到白球的有2种，
则两次都摸到白球的概率是＝．
24．为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？
（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？
【分析】（1）根据C类人数有15人，占总人数的25%可得出总人数，求出A类人数，进而可得出结论；
（2）直接根据概率公式可得出结论；
（3）求出“实践活动类”的总人数，进而可得出结论．
【解答】解：（1）总人数＝15÷25%＝60（人）．
A类人数＝60﹣24﹣15﹣9＝12（人）．
∵12÷60＝0.2＝20%，
∴m＝20．
条形统计图如图；
（2）抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率＝＝；
（3）∵800×25%＝200，200÷20＝10，
∴开设10个“实验活动类”课程的班级数比较合理．
25．直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B （6，n），与坐标轴分别交于点C和点 D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当S△ADP＝S△BOD时，求点P的坐标．
【分析】（1）先通过反比例函数解析式确定A（2，3），B（6，1），然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）先利用直线AB的解析式确定D（8，0），根据三角形面积公式计算出S△OBD＝4，则S△ADP＝6，设P（t，0），根据三角形面积公式得到×|t﹣8|×3＝6，然后求出t即可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（m，3）、B （6，n）分别代入y＝得3m＝6，6n＝6，解得m＝2，n＝1，
∴A（2，3），B（6，1），
把A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；
（2）当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝8，则D（8，0），
∵S△OBD＝×8×1＝4，
∴S△ADP＝S△BOD＝6，
设P（t，0），
∴×|t﹣8|×3＝6，解得t＝4或t＝12，
∴点P的坐标为（4，0）或（12，0）．
26．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，EF＝8，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理，可得∠BOD＝∠A，则OD∥AC，从而得出∠ODF＝90°，即EF是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，证明△EOD∽△EAF，可得比例线段，由此可求出r．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵EF⊥AF，
∴∠F＝90°．
∵D是的中点，
∴＝．
∴∠EOD＝∠DOC＝∠BOC，
∵∠A＝∠BOC，
∴∠A＝∠EOD，
∴OD∥AF．
∴∠EDO＝∠F＝90°．
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△AFE中，∵AF＝6，EF＝8，
∴＝＝10，
设⊙O半径为r，
∴EO＝10﹣r．
∵∠A＝∠EOD，∠E＝∠E，
∴△EOD∽△EAF，
∴＝，
∴．
∴r＝，即⊙O的半径为．
27．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
（1）探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．求证：△BCD的面积为a2．（提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE）
（2）探究2：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
（3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．
【分析】（1）如图1，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE＝BC＝a．进而由三角形的面积公式得出结论；
（2）如图2，过点D作BC的垂线，与CB的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE＝BC＝a．进而由三角形的面积公式得出结论；
（3）如图3，过点A作AF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC，与CB的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF＝BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF＝DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E，
∴∠BED＝∠ACB＝90°，
由旋转知，AB＝BD，∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC＝DE＝a．
∵S△BCD＝BC•DE
∴S△BCD＝；
解：（2）△BCD的面积为．
理由：如图2，过点D作BC的垂线，与CB的延长线交于点E．
∴∠BED＝∠ACB＝90°，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°．
∴∠ABC+∠DBE＝90°．
∵∠A+∠ABC＝90°．
∴∠A＝∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC＝DE＝a．
∵S△BCD＝BC•DE
∴S△BCD＝；
（3）如图3，过点A作AF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC交CB的延长线于点E，
∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a．
∴∠FAB+∠ABF＝90°．
∵∠ABD＝90°，
∴∠ABF+∠DBE＝90°，
∴∠FAB＝∠EBD．
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，
∴AB＝BD．
在△AFB和△BED中，
，
∴△AFB≌△BED（AAS），
∴BF＝DE＝a．
∵S△BCD＝BC•DE＝•a•a＝a2．
∴△BCD的面积为．
28．如图．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（0，3）两点，与x轴的另一个交点为C，对称轴是直线l．
（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）在抛物线的对称轴l上是否存在一点D，使得△BCD的周长最小，若存在，求出点D的坐标及△BCD周长的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）设点Q是抛物线上一点，点R是平面内一点是否存在四边形AQBR是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）点C、A关于直线l对称，则AB与对称轴l的交点即为所求的点D，进而求解；
（3）证明△AOB为等腰直角三角形，则直线AB的表达式为y＝﹣x，则直线AB中垂线和抛物线的交点即为点Q，进而求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在点D，理由：
∵点C、A关于直线l对称，
∴AB与对称轴l的交点即为点D，如下图，
则此时△BCD周长＝BC+CD+BD＝BC+AD+BD＝BC+AD为最小，
对于y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝3或﹣1，
故点A、C的坐标为（3，0）、（1，0），
∴抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴OB＝3，CO＝1，
则BC＝，AB＝3，
∵直线AB的表达式为y＝x+3，
当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，故点D（﹣1，2），
由点A、D的坐标得：AD＝3，
则△BCD周长的最小值＝BC+AD＝；
（3）存在，理由：
∵OA＝OB＝3，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB的中垂线过点O，
则直线AB的表达式为y＝﹣x，
则直线AB中垂线和抛物线的交点即为点Q，
联立，解得，
故点Q的坐标为（，）或（，）．
2020年甘肃省酒泉市肃州区中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，将正确选项填入题后的括号内．
1．数2020的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2020 D．﹣2020
2．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．x7÷x＝x7 B．（﹣3x2）2＝﹣9x4
C．x3•x3＝2x6 D．（x3）2＝x6
5．2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km，把384000km用科学记数法可以表示为（ ）
A．38.4×104km B．3.84×105km
C．0.384×10 6km D．3.84×106km
6．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A．54° B．36° C．32° D．27°
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若＝0，则x等于（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝±1
9．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题8个小题，每小题3分，共24分．将答案填在题中的横线上．
11．分解因式：x2y2﹣4x2＝ ．
12．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是 ．
13．在，，π，﹣1.6，这五个数中，有理数有 个．
14．扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数n
20
50
100
200
500
1000
1500
2000
优等品的频数m
19
47
91
184
462
921
1379
1846
优等品的频率
0.950
0.940
0.910
0.920
0.924
0.921
0.919
0.923
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 ．（精确到0.01）
15．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
16．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝ ．
17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
18．我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4．…（即当n为大于1的奇数时，Sn＝1﹣Sn﹣1，当n为大于1的偶数时．Sn＝1+，按此规律．S2020＝ ．
三、解答题：（一）本大题共5个小题，共26分，解答时，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．计算：2sin60°+|﹣2|+（﹣1）﹣1﹣
20．在“端午”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
（1）他们共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助算算，小明用更省钱的购票方式是指什么？
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
22．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
23．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，摸到红球的概率是多少？
（2）搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率．
24．为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？
（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？
25．直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B （6，n），与坐标轴分别交于点C和点 D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当S△ADP＝S△BOD时，求点P的坐标．
26．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，EF＝8，求⊙O的半径．
27．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
（1）探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．求证：△BCD的面积为a2．（提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE）
（2）探究2：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
（3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．
28．如图．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（0，3）两点，与x轴的另一个交点为C，对称轴是直线l．
（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）在抛物线的对称轴l上是否存在一点D，使得△BCD的周长最小，若存在，求出点D的坐标及△BCD周长的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）设点Q是抛物线上一点，点R是平面内一点是否存在四边形AQBR是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年甘肃省酒泉市肃州区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．数2020的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2020 D．﹣2020
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：D．
2．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：它的俯视图为
故选：A．
4．下列计算正确的是（ ）
A．x7÷x＝x7 B．（﹣3x2）2＝﹣9x4
C．x3•x3＝2x6 D．（x3）2＝x6
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、x7÷x＝x6，故此选项错误；
B、（﹣3x2）2＝9x4，故此选项错误；
C、x3•x3＝x6，故此选项错误；
D、（x3）2＝x6，故此选项正确；
故选：D．
5．2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km，把384000km用科学记数法可以表示为（ ）
A．38.4×104km B．3.84×105km
C．0.384×10 6km D．3.84×106km
【分析】利用科学记数法的表示形式即可
【解答】解：
科学记数法表示：384 000＝3.84×105km
故选：B．
6．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A．54° B．36° C．32° D．27°
【分析】由切线的性质得出∠OAB＝90°，由直角三角形的性质得出∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，由等腰三角形的性质得出∠ADC＝∠OAD，再由三角形的外角性质即可得出答案．
【解答】解：∵AB为⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°，
∵∠ABO＝36°，
∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，
∵OA＝OD，
∴∠ADC＝∠OAD，
∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD，
∴∠ADC＝∠AOB＝27°；
故选：D．
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，
解不等式5﹣2x≥1得x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
故选：C．
8．若＝0，则x等于（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝±1
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得|x|﹣1＝0且x﹣1≠0，
解得x＝﹣1．
故选：C．
9．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【解答】解：∵÷
＝•
＝•
＝•
＝
＝，
∴出现错误是在乙和丁，
故选：D．
10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
①0≤x≤2时，根据S△APQ＝AQ•AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；
②2≤x≤4时，根据S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；
②当2＜x≤4时，
y＝S△APQ
＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）
＝﹣x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
11．分解因式：x2y2﹣4x2＝ x2（y+2）（y﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2（y2﹣4）＝x2（y+2）（y﹣2），
故答案为：x2（y+2）（y﹣2）
12．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是 x1＝2，x2＝1 ．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x（x﹣2）＝x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0，x﹣1＝0，
x1＝2，x2＝1，
故答案为：x1＝2，x2＝1．
13．在，，π，﹣1.6，这五个数中，有理数有 3 个．
【分析】根据有理数定义可得．
【解答】解：根据题意可得有理数有，﹣1.6，＝5
故答案为3．
14．扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数n
20
50
100
200
500
1000
1500
2000
优等品的频数m
19
47
91
184
462
921
1379
1846
优等品的频率
0.950
0.940
0.910
0.920
0.924
0.921
0.919
0.923
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 0.92 ．（精确到0.01）
【分析】由表中数据可判断频率在0.92左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率为0.92．
【解答】解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92，
故答案为0.92．
15．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＞且a≠0 ．
【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式是b2﹣4ac＞0即可进行解答
【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根
得△＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，
解得a＞
则a＞且a≠0
故答案为a＞且a≠0
16．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝ ．
【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，
∴＝，
则＝＝．
故答案为：．
17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 8﹣2π （结果保留π）．
【分析】根据S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE计算即可；
【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，
故答案为8﹣2π．
18．我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4．…（即当n为大于1的奇数时，Sn＝1﹣Sn﹣1，当n为大于1的偶数时．Sn＝1+，按此规律．S2020＝ 0 ．
【分析】根据题意，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点，从而可以得到S2020的值．
【解答】解：由题意可得，
S1＝1，
S2＝1+＝1+＝2，
S3＝1﹣S2＝1﹣2＝﹣1，
S4＝1+＝1+＝0，
S5＝1﹣S4＝1﹣0＝1，
…，
故这列数依次以1，2，﹣1，0循环出现，
∵2020÷4＝505，
∴S2020＝0，
故答案为：0．
三．解答题
19．计算：2sin60°+|﹣2|+（﹣1）﹣1﹣
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×+2﹣﹣1+2
＝+2﹣﹣1+2
＝3．
20．在“端午”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
（1）他们共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助算算，小明用更省钱的购票方式是指什么？
【分析】（1）设去了x个成人，y个学生，根据12个人共需400元购票，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）求出购买16张团体票总钱数，将其与400进行比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设去了x个成人，y个学生，
依题意，得：，
解得：．
答：他们一共去了8个成人，4个学生．
（2）若按团体票购票：16×40×0.6＝384（元），
∵384＜400，
∴按团体票购票更省钱．
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．
（2）设AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图直线MN即为所求．
（2）∵MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，
在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴BD＝5．
22．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
【分析】延长EF交CH于N，根据等腰直角三角形的性质得到CN＝NF，根据正切的定义求出DN，结合图形计算即可．
【解答】解：能，
理由如下：延长EF交CH于N，
则∠CNF＝90°，
∵∠CFN＝45°，
∴CN＝NF，
设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，
∴EN＝5+（x+3）＝x+8，
在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，
则DN＝EN•tan∠DEN，
∴x≈0.6（x+8），
解得，x＝12，
则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），
答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．
23．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，摸到红球的概率是多少？
（2）搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次都摸到白球的情况，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵袋子中装有2个白球和1个红球，共有3个球，
∴摸到红球的概率是；
（2）根据题意画图如下：
共有6种等情况数，其中两次都摸到白球的有2种，
则两次都摸到白球的概率是＝．
24．为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？
（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？
【分析】（1）根据C类人数有15人，占总人数的25%可得出总人数，求出A类人数，进而可得出结论；
（2）直接根据概率公式可得出结论；
（3）求出“实践活动类”的总人数，进而可得出结论．
【解答】解：（1）总人数＝15÷25%＝60（人）．
A类人数＝60﹣24﹣15﹣9＝12（人）．
∵12÷60＝0.2＝20%，
∴m＝20．
条形统计图如图；
（2）抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率＝＝；
（3）∵800×25%＝200，200÷20＝10，
∴开设10个“实验活动类”课程的班级数比较合理．
25．直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B （6，n），与坐标轴分别交于点C和点 D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当S△ADP＝S△BOD时，求点P的坐标．
【分析】（1）先通过反比例函数解析式确定A（2，3），B（6，1），然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）先利用直线AB的解析式确定D（8，0），根据三角形面积公式计算出S△OBD＝4，则S△ADP＝6，设P（t，0），根据三角形面积公式得到×|t﹣8|×3＝6，然后求出t即可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（m，3）、B （6，n）分别代入y＝得3m＝6，6n＝6，解得m＝2，n＝1，
∴A（2，3），B（6，1），
把A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；
（2）当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝8，则D（8，0），
∵S△OBD＝×8×1＝4，
∴S△ADP＝S△BOD＝6，
设P（t，0），
∴×|t﹣8|×3＝6，解得t＝4或t＝12，
∴点P的坐标为（4，0）或（12，0）．
26．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，EF＝8，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理，可得∠BOD＝∠A，则OD∥AC，从而得出∠ODF＝90°，即EF是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，证明△EOD∽△EAF，可得比例线段，由此可求出r．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵EF⊥AF，
∴∠F＝90°．
∵D是的中点，
∴＝．
∴∠EOD＝∠DOC＝∠BOC，
∵∠A＝∠BOC，
∴∠A＝∠EOD，
∴OD∥AF．
∴∠EDO＝∠F＝90°．
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△AFE中，∵AF＝6，EF＝8，
∴＝＝10，
设⊙O半径为r，
∴EO＝10﹣r．
∵∠A＝∠EOD，∠E＝∠E，
∴△EOD∽△EAF，
∴＝，
∴．
∴r＝，即⊙O的半径为．
27．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
（1）探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．求证：△BCD的面积为a2．（提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE）
（2）探究2：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
（3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．
【分析】（1）如图1，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE＝BC＝a．进而由三角形的面积公式得出结论；
（2）如图2，过点D作BC的垂线，与CB的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE＝BC＝a．进而由三角形的面积公式得出结论；
（3）如图3，过点A作AF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC，与CB的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF＝BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF＝DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E，
∴∠BED＝∠ACB＝90°，
由旋转知，AB＝BD，∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC＝DE＝a．
∵S△BCD＝BC•DE
∴S△BCD＝；
解：（2）△BCD的面积为．
理由：如图2，过点D作BC的垂线，与CB的延长线交于点E．
∴∠BED＝∠ACB＝90°，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°．
∴∠ABC+∠DBE＝90°．
∵∠A+∠ABC＝90°．
∴∠A＝∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC＝DE＝a．
∵S△BCD＝BC•DE
∴S△BCD＝；
（3）如图3，过点A作AF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC交CB的延长线于点E，
∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a．
∴∠FAB+∠ABF＝90°．
∵∠ABD＝90°，
∴∠ABF+∠DBE＝90°，
∴∠FAB＝∠EBD．
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，
∴AB＝BD．
在△AFB和△BED中，
，
∴△AFB≌△BED（AAS），
∴BF＝DE＝a．
∵S△BCD＝BC•DE＝•a•a＝a2．
∴△BCD的面积为．
28．如图．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（0，3）两点，与x轴的另一个交点为C，对称轴是直线l．
（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）在抛物线的对称轴l上是否存在一点D，使得△BCD的周长最小，若存在，求出点D的坐标及△BCD周长的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）设点Q是抛物线上一点，点R是平面内一点是否存在四边形AQBR是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）点C、A关于直线l对称，则AB与对称轴l的交点即为所求的点D，进而求解；
（3）证明△AOB为等腰直角三角形，则直线AB的表达式为y＝﹣x，则直线AB中垂线和抛物线的交点即为点Q，进而求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在点D，理由：
∵点C、A关于直线l对称，
∴AB与对称轴l的交点即为点D，如下图，
则此时△BCD周长＝BC+CD+BD＝BC+AD+BD＝BC+AD为最小，
对于y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝3或﹣1，
故点A、C的坐标为（3，0）、（1，0），
∴抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴OB＝3，CO＝1，
则BC＝，AB＝3，
∵直线AB的表达式为y＝x+3，
当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，故点D（﹣1，2），
由点A、D的坐标得：AD＝3，
则△BCD周长的最小值＝BC+AD＝；
（3）存在，理由：
∵OA＝OB＝3，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB的中垂线过点O，
则直线AB的表达式为y＝﹣x，
则直线AB中垂线和抛物线的交点即为点Q，
联立，解得，
故点Q的坐标为（，）或（，）．
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