2021年甘肃省兰州市中考数学二诊【试卷+答案】

这是一份2021年甘肃省兰州市中考数学二诊【试卷+答案】，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年甘肃省兰州市中考数学二诊试卷
一、选择题（共12小题；每小题3分，满分36分）
1．﹣2的绝对值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
2．2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　）
A．0.215×108 B．2.15×107 C．2.15×106 D．21.5×106
3．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的三角形学具进行展示．设三角形的一边长为xcm，该边上的高为ycm，那么这些同学所制作的三角形的高y（cm）与边长x（cm）之间的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．函数y＝自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x≤5 C．x≤5且x≠3 D．x＜5且x≠3
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．cosB＝ D．tanB＝
7．某中学组织全区优秀九年级毕业生参加学校冬令营，一共有x名学生，分成y个学习小组．若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人．若求冬令营学生的人数，所列的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．下列说法正确的是（　　）
A．两个等腰三角形一定相似
B．两个等边三角形一定相似
C．两个矩形一定相似
D．两个直角三角形一定相似
9．如图，△ABC中，∠CAB＝72°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C'C∥AB，则∠BAB'的度数为（　　）

A．34° B．36° C．72° D．46°
10．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．4﹣ B．4﹣ C．8﹣ D．8﹣
11．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝kx+n（k≠0）上．下列结论错误的是（　　）

A．a+b+c＞﹣k+n
B．不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1
C．abc＜0
D．方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根
12．平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2020A2021B2021（n是正整数）的顶点A2021的坐标是（　　）

A．（4041，） B．（4041，﹣） C．（4043，） D．（4043，﹣）
二、填空题（本题共计4小题，每题3分，共计12分）
13．将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的解析式为 　 　．
14．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝　 　°．

15．如果方程+＝0不会产生增根，那么k的取值范围是　 　．
16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为　 　．

三、解答题（本题共计12小题，共计72分）
17．计算：|﹣1|﹣2sin45°+﹣20．
18．化简：（+1）÷．
19．解不等式2（x+1）＞3x﹣4，并在数轴上表示它的解集．
20．如图，已知∠C＝∠D＝90°，CE与AD交于点B，AC＝ED．求证：AB＝EB．

21．某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
22．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（B，C，D，E均在同一平面内）．已知斜坡CD的坡度（或坡比）i＝4：3，且点C到水平面的距离CF为8米，在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，求建筑物AB的高度．（参考数据：sin24°＝0.41，cos24°＝0.91，tan24°＝0.45）

23．如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．

24．甲、乙两班分别选5名同学组成代表队参加学校组织的“国防知识”选拔赛，现根据成绩（满分10分）制作如图统计图和统计表（尚未完成）
甲、乙两班代表队成绩统计表

平均数
中位数
众数
方差
甲班
8.5
8.5
a
0.7
乙班
8.5
b
10
1.6
请根据有关信息解决下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派　 　代表队参加市比赛；（填“甲”或“乙”）
（3）现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市国防知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲，乙班各一个学生的概率．

25．小涛根据学习函数的经验，对函数y＝ax|x﹣2|的图象与性质进行了探究，下面是小涛的探究过程，请补充完整：
（1）如表是x与y的几组对应值
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
1+
3
…
y
…
﹣8
﹣3
0
m
n
1
3
…
请直接写出：a＝　 　，m＝　 　，n＝　 　；
（2）如图，小涛在平面直角坐标系中，描出了上表中已经给出的部分对应值为坐标的点，再描出剩下的点，并画出该函数的图象；
（3）请直接写出函数y＝ax|x﹣2|的图象性质：　 　；（写出一条即可）
（4）请结合画出的函数图象，解决问题：若方程ax|x﹣2|＝t有三个不同的解，请直接写出t的取值范围．

26．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，∠ACB的平分线与⊙O交于点D，与AB交于点E．点F为DC的延长线上一点，满足∠FBC＝∠BDC．
（1）求证：BF与⊙O相切；
（2）若BD＝6，BC＝2，求△ABC的面积．

27．如图1，两个直角三角形拼成一个四边形ABCD，其中∠B＝∠D＝90°，AD＝BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）△ABC不动，△ADC沿CA方向平移，重新标注字母后如图2，割掉Rt△AEG和Rt△CFH后，得到一个正方形DGBH，若AD＝18，DF＝12，求正方形DGBH的边长．
28．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点F．
（1）抛物线的解析式为：　 　；直线BC的解析式为：　 　；
（2）若点P为抛物线位于第四象限图象上的一个动点，设△PBC的面积为S，求S最大时点P的坐标及S的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，在x轴上是否存在点M，使得以B、D、M为顶点的三角形与△BFC相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
一、选择题（共12小题；每小题3分，满分36分）
1．﹣2的绝对值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【分析】根据绝对值的性质，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a，解答即可．
解：﹣2的绝对值是2；
故选：A．
2．2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　）
A．0.215×108 B．2.15×107 C．2.15×106 D．21.5×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将21500000用科学记数法表示为2.15×107，
故选：B．
3．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：（A）、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
（B）、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
（C）、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
（D）、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
4．数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的三角形学具进行展示．设三角形的一边长为xcm，该边上的高为ycm，那么这些同学所制作的三角形的高y（cm）与边长x（cm）之间的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意有：xy＝200；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y的实际意义有x、y应大于0；故答案为A．
解：∵xy＝200
∴y＝（x＞0，y＞0）．
故选：B．
5．函数y＝自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x≤5 C．x≤5且x≠3 D．x＜5且x≠3
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得，5﹣x≥0，x﹣3≠0，
解得，x≤5且x≠3，
故选：C．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．cosB＝ D．tanB＝
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，cosA，cosB和tanB即可．
解：
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝，
即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误；
故选：B．
7．某中学组织全区优秀九年级毕业生参加学校冬令营，一共有x名学生，分成y个学习小组．若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人．若求冬令营学生的人数，所列的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】相应的关系式为：10×组数+5＝实际人数；9×组数﹣3＝实际人数，即可列出方程．
解：每组10人时，实际人数可表示为10y﹣5；每组9人时，实际人数可表示为9y+3；
可列方程组为：，
故选：C．
8．下列说法正确的是（　　）
A．两个等腰三角形一定相似
B．两个等边三角形一定相似
C．两个矩形一定相似
D．两个直角三角形一定相似
【分析】利用相似图形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、两个顶角或底角相等等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意；
B、两个等边三角形一定相似，故本选项符合题意；
C、两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项不符合题意；
D、两个直角三角形的两个锐角不一定对应相等，不一定相似，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．如图，△ABC中，∠CAB＝72°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C'C∥AB，则∠BAB'的度数为（　　）

A．34° B．36° C．72° D．46°
【分析】由旋转的性质可得AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，由等腰三角形的性质可求∠ACC'＝∠AC'C＝72°，即可求解．
解：∵C′C∥AB，
∴∠C'CA＝∠CAB＝72°，
∵将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，
∴∠ACC'＝∠AC'C＝72°，
∴∠BAB'＝∠CAC'＝180°﹣72°×2＝36°，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．4﹣ B．4﹣ C．8﹣ D．8﹣
【分析】连接AD，BC是切线，点D是切点，则AD⊥BC，由圆周角定理知，∠A＝2∠P＝80°，可求S扇形AEF＝＝π，S△ABC＝AD•BC＝4，即可求阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形AEF＝4﹣π．
解：连接AD，
∵BC是切线，点D是切点，
∴AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠P＝80°，
∴S扇形AEF＝＝π，
S△ABC＝AD•BC＝4，
∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形AEF＝4﹣π．
故选：A．

11．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝kx+n（k≠0）上．下列结论错误的是（　　）

A．a+b+c＞﹣k+n
B．不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1
C．abc＜0
D．方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到x＝﹣＝﹣1得b＝2a，抛物线开口向上得到a＞0，则b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对C进行判断；利用二次函数的增减性可对A进行判断；结合函数图象可对B进行判断；利用抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点可对D进行判断．
解：∵直线y2＝kx+n（m≠0）经过抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），
∴a﹣b+c＝﹣k+n，
∴a+b+c＞﹣k+n，所以A正确；
∵当﹣4＜x＜﹣1时，y2＞y1，
∴不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．所以B正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以C正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以D错误；
故选：D．
12．平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2020A2021B2021（n是正整数）的顶点A2021的坐标是（　　）

A．（4041，） B．（4041，﹣） C．（4043，） D．（4043，﹣）
【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可．
解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为：（1，），B1的坐标为：（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，
∴点A2的坐标是：（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（﹣）＝，
∴点A3的坐标是：（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，2×0﹣＝﹣，
∴点A4的坐标是：（7，﹣），
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是：2n﹣1，A2n+1的横坐标是：2（2n+1）﹣1＝4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是：，当n为偶数时，An的纵坐标是：﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是：，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是：（4n+1，），
∴△B2020A2021B2021的顶点A2021的横坐标是：4×1010+1＝4041，纵坐标是：，
故选：A．
二、填空题（本题共计4小题，每题3分，共计12分）
13．将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的解析式为 　y＝﹣（x﹣2）2﹣1　．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律写出平移抛物线解析式．
解：将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线解析式为 y＝﹣（x﹣2）2+2﹣3，即y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
故答案是：y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
14．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝　58　°．

【分析】由作法得EF垂直平分AC，则∠1+∠2＝90°，再根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ACB＝64°，接着利用基本作图得到∠1＝∠DAC＝32°，然后利用互余计算出∠2，从而得到∠α的度数．
解：由作法得EF垂直平分AC，
∴∠AFE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝64°，
由作法得∠1＝∠DAC＝32°，
∴∠2＝90°﹣32°＝58°，
∴∠α＝58°．
故答案为58．

15．如果方程+＝0不会产生增根，那么k的取值范围是　k≠1　．
【分析】先解方程，再根据不会产生增根，即可得出k的取值范围．
解：+＝0，
去分母得，2k+x＝0，
当x＝﹣2时，会产生增根，
把x＝﹣2代入整式方程得，2k﹣2＝0，
解得k＝1，
∴解方程+＝0时，不会产生增根，实数k的取值范围为k≠1．
故答案是：k≠1．
16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为　5　．

【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理列式计算，得到答案．
解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣2，
∵CD⊥AB，
∴CE＝CD＝4，
由勾股定理得，OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣2）2+42，
解得，R＝5，
则⊙O的半径为5，
故答案为：5．

三、解答题（本题共计12小题，共计72分）
17．计算：|﹣1|﹣2sin45°+﹣20．
【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
解：|﹣1|﹣2sin45°+﹣20
＝1﹣2×+2﹣1
＝
18．化简：（+1）÷．
【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则进行计算．
解：原式＝．
19．解不等式2（x+1）＞3x﹣4，并在数轴上表示它的解集．
【分析】先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求出不等式的解集，把不等式的解集在数轴上表示出来即可．
解：去括号得，2x+2＞3x﹣4，
移项、合并同类项得，﹣x＞﹣6，
系数化为1得，x＜6．
故此不等式的解集为：x＜6，
在数轴上表示为：

20．如图，已知∠C＝∠D＝90°，CE与AD交于点B，AC＝ED．求证：AB＝EB．

【分析】证明△ACB≌△EDB（AAS），由全等三角形的判定与性质得出AB＝EB．
【解答】证明：在△ACB和△EDB中，
，
∴△ACB≌△EDB（AAS），
∴AB＝EB．
21．某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
【分析】（1）利用用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本得出等式求出答案；
（2）根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．
解：（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，
根据题意可得：﹣＝24，
解得：x＝20，
经检验得：x＝20是原方程的根，
则2.5x＝50，
答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；

（2）设购买甲图书本数为a，则购买乙图书的本数为：2a+8，
故50a+20（2a+8）≤1060，
解得：a≤10，
故2a+8≤28，
答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．
22．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（B，C，D，E均在同一平面内）．已知斜坡CD的坡度（或坡比）i＝4：3，且点C到水平面的距离CF为8米，在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，求建筑物AB的高度．（参考数据：sin24°＝0.41，cos24°＝0.91，tan24°＝0.45）

【分析】延长AB交直线DE于M，则BM⊥ED，则四边形BMFC是矩形，首先解直角三角形Rt△CDF，求出DF，再根据tan24°＝，构建方程即可解决问题．
解：延长AB交直线DE于M，则BM⊥ED，如图所示：
则四边形BMFC是矩形，
∵CF⊥DE，
在Rt△CDF中，∵＝，CF＝8，
∴DF＝6，
∴CD＝＝10，
∵四边形BMFC是矩形，
∴BM＝CF＝8，BC＝MF＝20，EM＝MF+DF+DE＝20+6+40＝66，
在Rt△AEM中，tan24°＝，
∴0.45＝，
解得：AB＝21.7（米），
答：建筑物AB的高度为21.7米．

23．如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．

【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式；
（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB＝，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA＝OC即可判定出四边形OABC的形状．
解：（1）设反比例函数的解析式为y＝（k＞0），
∵A（m，﹣2）在y＝2x上，
∴﹣2＝2m，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣2），
又∵点A在y＝上，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1；

（3）四边形OABC是菱形．
证明：∵A（﹣1，﹣2），
∴OA＝＝，
由题意知：CB∥OA且CB＝，
∴CB＝OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵C（2，n）在y＝上，
∴n＝1，
∴C（2，1），
OC＝＝，
∴OC＝OA，
∴四边形OABC是菱形．
24．甲、乙两班分别选5名同学组成代表队参加学校组织的“国防知识”选拔赛，现根据成绩（满分10分）制作如图统计图和统计表（尚未完成）
甲、乙两班代表队成绩统计表

平均数
中位数
众数
方差
甲班
8.5
8.5
a
0.7
乙班
8.5
b
10
1.6
请根据有关信息解决下列问题：
（1）填空：a＝　8.5　，b＝　8　；
（2）学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派　甲班　代表队参加市比赛；（填“甲”或“乙”）
（3）现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市国防知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲，乙班各一个学生的概率．

【分析】（1）利用条形统计图，结合众数、中位数的定义分别求出答案；
（2）利用平均数、方差的定义分析得出答案；
（3）首先根据题意列表，然后由列表求得所有等可能的结果与恰好抽到甲，乙班各一个学生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：（1）甲的众数为：8.5，乙的中位数为：8，
故答案为：8.5，8；
（2）从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．
故答案为：甲班；
（3）列表如下：

甲
乙1
乙2
甲
﹣﹣﹣
乙1 甲
乙2 甲
乙1
甲 乙1
﹣﹣﹣
乙2乙1
乙2
甲 乙2
乙1乙2
﹣﹣﹣
所有等可能的结果为6种，其中抽到甲班、乙班各一人的结果为4种，
所以P（抽到A，B）＝＝．
25．小涛根据学习函数的经验，对函数y＝ax|x﹣2|的图象与性质进行了探究，下面是小涛的探究过程，请补充完整：
（1）如表是x与y的几组对应值
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
1+
3
…
y
…
﹣8
﹣3
0
m
n
1
3
…
请直接写出：a＝　1　，m＝　1　，n＝　0　；
（2）如图，小涛在平面直角坐标系中，描出了上表中已经给出的部分对应值为坐标的点，再描出剩下的点，并画出该函数的图象；
（3）请直接写出函数y＝ax|x﹣2|的图象性质：　当x＜1时，y随x的增大而增大　；（写出一条即可）
（4）请结合画出的函数图象，解决问题：若方程ax|x﹣2|＝t有三个不同的解，请直接写出t的取值范围．

【分析】（1）把（3，3）代入y＝ax|x﹣2|，即可求得a＝1，把x＝1和x＝2代入y＝x|x﹣2|，即可求出m、n的值；
（2）画出该函数的图象即可；
（3）根据画出函数y＝x|x﹣2|的图象，即可得出函数y＝ax|x﹣2|的图象性质；
（4）根据图象即可求得．
解：（1）把（3，3）代入y＝ax|x﹣2|得，3＝3a，解得a＝1，
∴函数为y＝x|x﹣2|，
把x＝1代入y＝x|x﹣2|，得m＝1×1＝1．
把x＝2代入y＝x|x﹣2|，得n＝2×0＝0．
故答案为1，1，0；
（2）如图：

（3）由图象可知：当x＜1时，y随x的增大而增大；
故答案为：当x＜1时，y随x的增大而增大；
（4）由图形可知，若方程ax|x﹣2|＝t有三个不同的解，t的取值范围是0＜t＜1．
26．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，∠ACB的平分线与⊙O交于点D，与AB交于点E．点F为DC的延长线上一点，满足∠FBC＝∠BDC．
（1）求证：BF与⊙O相切；
（2）若BD＝6，BC＝2，求△ABC的面积．

【分析】（1）由圆周角定理得∠A＝∠BDC，∠FBC＝∠BDC，证出∠FBC+∠ABC＝90°，即∠ABF＝90°，则BF⊥OB，即可得出结论；
（2）连接AD，先由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB＝90°，再证出△ABD是等腰直角三角形，则AB＝BD＝6，然后由勾股定理得AC＝8，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠A＝∠BDC，∠FBC＝∠BDC，
∴∠A＝∠FBC，
∴∠FBC+∠ABC＝90°，
即∠ABF＝90°，
∴BF⊥OB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF与⊙O相切；
（2）解：连接AD，如图所示：
∵∠ACB的平分线与⊙O交于点D，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴，
∴AD＝BD，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD＝6，
∴AC＝＝＝8，
∴△ABC的面积＝AC×BC＝8×2＝8．

27．如图1，两个直角三角形拼成一个四边形ABCD，其中∠B＝∠D＝90°，AD＝BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）△ABC不动，△ADC沿CA方向平移，重新标注字母后如图2，割掉Rt△AEG和Rt△CFH后，得到一个正方形DGBH，若AD＝18，DF＝12，求正方形DGBH的边长．
【分析】（1）首先利用HL证得Rt△ABC≌Rt△CDA，从而得到∠ACB＝∠CAD，进一步得到AD∥BC，从而判定四边形ABCD是平行四边形，证得四边形ABCD为矩形；
（2）设DG＝BG＝x，根据GE∥DF，得到△AGE∽△ADF，从而列出有关x的方程求得x的值即可．
【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC和Rt△CDA中，

∴Rt△ABC≌Rt△CDA，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形；

（2）解：设DG＝BG＝x，
∵GE∥DF，
∴△AGE∽△ADF，
∴，
即：，
解得：x＝．
答：正方形DGBH的边长．
28．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点F．
（1）抛物线的解析式为：　y＝x2﹣x﹣4　；直线BC的解析式为：　y＝x﹣4　；
（2）若点P为抛物线位于第四象限图象上的一个动点，设△PBC的面积为S，求S最大时点P的坐标及S的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，在x轴上是否存在点M，使得以B、D、M为顶点的三角形与△BFC相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入可得抛物线解析式，再求出C坐标即可得到直线BC解析式；
（2）设P横坐标为m，用m表示△PBC的面积即可得到答案；
（3）根据相似三角形对应边成比例列出比例式可得到答案．
解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣4可得：
，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣4，
令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC解析式为y＝kx+t，将C（0，﹣4），B（3，0）代入得：
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4；
故答案为：y＝x2﹣x﹣4，y＝x﹣4；
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，如图：

设P（m，m2﹣m﹣4），则Q（m，m﹣4），
∴PQ＝（m﹣4）﹣（ m2﹣m﹣4）＝﹣m2+4m，
∴S△PBC＝PQ•（xB﹣xC）＝（﹣m2+4m）×（3﹣0）＝﹣2m2+6m＝﹣2（m﹣）2+
∴当m＝时，S△PBC有最大值，最大值为，
而m＝时，m2﹣m﹣4＝﹣5，
∴点P的坐标为（，﹣5）；
（3）∵P（，﹣5），过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，直线BC为y＝x﹣4，
∴D（，﹣2），
∵抛物线y＝x2﹣x﹣4，对称轴与x轴交于点F，
∴F（1，0），
而B（3，0），C（0，﹣4），
∴BC＝5，BD＝，BF＝2，
以B、D、M为顶点的三角形与△BFC相似，分两种情况：
①△BFC∽△BMD，则，
∴，
∴BM＝1，
又B（3，0），
∴OM＝2，
∴M（2，0），
②△BFC∽△BDM′，则，
∴
∴BM′＝，
又B（3，0），
∴OM′＝﹣3＝，
∴M′（﹣，0），
综上所述，以B、D、M为顶点的三角形与△BFC相似，M坐标是（2，0）或（﹣，0）．