巩固练习_《解三角形》全章复习与巩固_提高

【巩固练习】

一、选择题

1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，c＝120°，则sin A＝(    )

A．           B．          C．            D．

2．设a、b、c为△ABC的三条边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，则A的大小是(    )

A．  120°          B．90°            C．60°             D．30°

3．△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，，则△ABC外接圆的直径为(    )

    A．            B．5             C．              D．

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若∠C＝120°，，则(    )

    A．a＞b             B．a＜b           C．a＝b             D．a与b的大小关系不能确定

5． 已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a＝4，b+c＝5，tan B+tan C+，则△ABC的面积为(    )

A．             B．          C．             D．

6．（2016  长春四模）如图，从高为h的气体（A）上测量铁桥（BC）的长，如果测得桥头B的俯角是α，桥头C的俯角是β，则该桥的长可表示为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．已知△ABC中，，那么△ABC的形状是(    )

    A．等腰三角形      B．等腰直角三角形      C．等边三角形          D．直角三角形

8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝(   )

    A．    B．    C．    D．

二、填空题

9． 若△ABC中，已知，当时，△ABC的面积为　　  ．

10．在△ABC中，已知sin A:sin B＝，，则三内角A、B、C的度数依次是________．

11．（2016  衡阳一模）如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为________km。

12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为　　．

三、解答题

13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a＋b＋c＝8．

(Ⅰ)若a＝2，b＝，求cosC的值；

(Ⅱ)若sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，且△ABC的面积SsinC，求a和b的值．

14. 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

15. 设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边，并且．

    (1)求角A的值；

    (2)若，，求b，c(其中b＜c)．

16. （2016  南通模拟）如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA=3 km，km，∠AOB=90°。当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场。为安全起见，需在△OAN的一周安装防护网。

    （1）当时，求防护网的总长度；

（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？

【答案与解析】

1．【答案】　A

【解析】，或（舍去），又，

       即，∴  ．

2．【答案】C

【解析】 ∵  △＝4(b2+C2)-4(a2+bc)＝0，∴  b2+c2-a2＝bc，∴  2cosA＝1，∴  A＝60°．

3．【答案】C

【解析】 ∵  ，∴  ．

由余弦定理，得，

所以b＝5或b＝-5(舍去)．

      由正弦定理，得(R为△ABC外接圆的半径)，故选C．

4．【答案】A

【解析】由余弦定理得，又∠C＝120°，，

∴  ，∴  ，∴  ，故选A．

5．【答案】C 

【解析】∵  ，，

      ∴  ，∴  B+C＝120°，A＝60°．

      ∵  ，而，

∴  ，∴  16＝25-2bc-2bc cos60°＝25-3bc，

∴  bc＝3．

∴  ．

   6．【答案】A 

【解析】 由∠EAB=α，得∠DBA=α，

在Rt△ADB中，∵AD=h，

∴，

又∠EAC=β，∴∠BAC=α－β。

在△ABC中，。

故选A。

7．【答案】D

【解析】 由已知条件及正弦定理得

，

∴ 

，

∴  sin2C＝sin2B．

又由题设可知，B≠C，．∴  2C＝π－2B，

∴  ．

    ∴  △ABC为直角三角形．

8．【答案】A

【解析】由正弦定理得，将8b＝5c及C＝2B代入得，

化简得，则．

所以，故选A．

9．【答案】

【解析】△ABC中，∵·＝AB•AC•cosA＝tanA，∴当时，有 AB•AC•＝，解得AB•AC＝，

△ABC的面积为 AB•AC•sinA＝，

故答案为：．

10．【答案】  45°，30°，105°

【解析】  由已知条件可得，又

∵  ，

∴  ，又，

∴  ，A＝45°，，B＝30°，∴  C＝105°．

11．【答案】 7

【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2－2AB×BCcosB=89－80cosB，

在△ACD中，由余弦定理得AC2=CD2+AD2－2AD×CDcosD=34－30cosD，

∴89―80cosB=34―30cosD，

∵A+C=180°，∴cosB=－cosD，

∴，

∴。

∴AC=7。

故答案为7。

12. 【答案】－

【解析】在△ABC中，

∵b－c＝a ①，2sinB＝3sinC，

∴2b＝3c ②，

∴由①②可得a＝2c，b＝．

再由余弦定理可得 ，

故答案为：－．

13． 【解析】(Ⅰ)∵a＝2，b＝，且a＋b＋c＝8，

∴c＝8－(a＋b)＝，

∴由余弦定理得：；

(Ⅱ)由sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC可得：

sinA•＋sinB•＝2sinC，

整理得：sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC，

∵sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinC，

∴sinA＋sinB＝3sinC，

利用正弦定理化简得：a＋b＝3c，

∵a＋b＋c＝8，

∴a＋b＝6①，

∵S＝absinC＝sinC，

∴ab＝9②，

联立①②解得：a＝b＝3．

14.  【解析】  解法一：设相遇时小艇航行的距离为S海里，则

．

故当时，，

此时．

即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．

设小艇与轮船在C处相遇．

在Rt△OAC中，，

AC＝20 sin30°＝10．

又AC＝30t，OC＝vt．

此时，轮船航行时间．

．

即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

15．【解析 】(1)因为

，

所以．又因为△ABC为锐角三角形，所以．

(2)由可得．

由(1)知，所以cb＝24．  ②

由余弦定理知，

将及①代入，得

，    ③

③+②×2，得，

所以c+b＝10或c+b＝-10(舍去)．

因此，c，b是一元二次方程的两个根．

解此方程并由c＞b知c＝6，b＝4．

16. 【解析】（1）∵OA=3 km，，∠AOB=90°，∴A=60°，AB=6。

在△OAM中，由余弦定理得：OM2=OA2+AM2－2OA·AM·cosA=。

∴。

由正弦定理得：，即，

∴。∴A=30°。

∴∠AON=∠AOM+∠MON=60°。

∴△OAN是等边三角形。

∴△OAN的周长C=3OA=9。

∴防护网的总长度为9 km。

（2）设∠AOM=θ（0°＜θ＜60°），则∠AON=θ+30°，∠OMA=120°－θ，∠ONA=90°－θ。

在△OAM中，由正弦定理得，即。

∴，

在△AON中，由正弦定理得，即，

∴，

∴。

∴当且仅当2θ+60°=90°，即θ=15°时，△OMN的面积最小值为km2。