知识讲解_《解三角形》全章复习与巩固_提高

《解三角形》全章知识复习与巩固

编稿：李霞     审稿：张林娟

【学习目标】

1.正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题

2.应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：

要点诠释：

（1）正弦定理适合于任何三角形，且（为的外接圆半径）；

（2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．

（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.

要点二：余弦定理

在△ABC中，

，，

变形为：

，，

要点诠释：

（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；

（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；

（3）正、余弦定理可以结合使用.

要点三：三角形的面积公式

(1) ，其中为边上的高

(2)

（3），其中

要点四：三角形形状的判定方法

设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C，

解斜三角形的主要依据是：

（1）角与角关系：由于A+B+C = π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；；

（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a < b；

（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理

常用两种途径：

（1）由正余弦定理将边转化为角；

（2）由正余弦定理将角转化为边.

要点诠释：①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.②在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列.

要点五：解三角形应用的分类

（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；

（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；

（3）角度问题；

（4）面积问题.

【典型例题】

类型一：正、余弦定理的基本应用

例1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C＝2B．

    (1)求cos B的值；

(2)若b2＝ac，求sin A sin C的值．

【思路点拨】由题设“A+C＝2B”易知B＝60°，又由边之间的关系“b2＝ac”，如何求“sin A sin C”的值？正、余弦定理的运用都可以求出值.

【解析】(1)由已知2B＝A+C，A+B+C＝180°，解得B＝60°，所以．

(2)解法一：由已知，及，

根据正弦定理得，

所以．

解法二：由已知，及，根据余弦定理得，

解得a＝c，所以A＝C＝B＝60°，故．

【总结升华】利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的边、角等基本量是考试的重点，注意灵活利用三角形中的内角和定理，实现角的互化，灵活利用正、余弦定理的变形.

举一反三：

【变式1】在△ABC中，a＝1，b＝2，，则c＝　　　；sinA＝　　．

【答案】∵在△ABC中，a＝1，b＝2，，

∴由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－1＝4，即c＝2；

∵，C为三角形内角，

∴

∴由正弦定理得：．

故答案为：2；

【变式2】在△ABC中,若,,,则___________.

【答案】在中,得用余弦定理

,化简得,与题目条件联立,可解得.  故答案为.

类型二：正、余弦定理的综合应用

例2. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知＝2，cosB＝，b＝3，求：(Ⅰ)a和c的值；(Ⅱ)cos(B－C)的值．

【答案】(Ⅰ) a＝3，c＝2，(Ⅱ)．

【思路点拨】（1）由平面向量的数量积，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）画出简易图，将已知条件在图上标出来，运用正弦定理求得角的正弦值.

【解析】(Ⅰ)∵＝2，cosB＝，

∴c•acosB＝2，即ac＝6①，

∵b＝3，

∴由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋c2－4，

∴a2＋c2＝13②，

联立①②得：a＝3，c＝2；

(Ⅱ)在△ABC中，sinB＝，

由正弦定理得：sinC＝sinB＝，

∵a＝b＞c，∴C为锐角，

∴cosC＝，

则cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋．

【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.

举一反三：

【变式1】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（　　）

A．4:3:2      B. 5：6：7     C. 5:4:3       D. 6:5:4

【答案】由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为 a、a-1、a-2．

由余弦定理可得 

又3b=20acosA，可得

解得，故三边是6,5,4.

由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=6:5:4

【变式2】已知△ABC 中，试判断△ABC的形状.

【答案】方法一：用余弦定理化角为边的关系

由得，

整理得，

即，

当时，为等腰三角形；

当即时，则为直角三角形；

综上：为等腰或直角三角形。

方法二：用正弦定理化边为角的关系

由正弦定理得：

即，

∵，

∴

即

∵   

∴或，即或

故为等腰三角形或直角三角形。

类型三：利用正、余弦定理解决实际问题

例3.（2016春  宜宾校级期中）一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了海里到达海岛C。如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程（海里）分别为（    ）

A．北偏东80°，    B．北偏东65°，

C．北偏东65°，    D．北偏东80°，

【答案】C

【思路点拨】在△ABC中，∠ABC=70°+35°=105°，AB=40，，故可由余弦定理求出边AC的长度，在△ABC中，可由正弦定理建立方程，求出∠CAB。

【解析】由题意，在△ABC中，∠ABC=70°+35°=105°，AB=40，

根据余弦定理得

∴。

根据正弦定理，∴∠CAB=45°，

∴此船航行的方向和路程（海里）分别为北偏东65°、。

故选C。

【总结升华】

本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的一个易错点，破解此类问题的关键在于结合图形正确理解“南偏东”、“北偏东”等概念，把相关条件转化为三角形中的内角和边长，然后利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式进行求解．

举一反三：

【变式1】（2016  河南模拟）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40 m，并在点C测得塔顶A的仰角为30°。则塔高AB为（    ）m。

A．20         B．        C．          D．40

【答案】∵∠BCD=75°，∠BDC=60°，∴∠CBD=45°，

在△BCD中，由正弦定理得：，即，

解得，

又，∴。

故选B。

【高清课堂：解三角形应用举例377493 变式演练3】

【变式2】如图所示，海中小岛A的周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？

【答案】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小.于是，只要先算出AC(或AB)，再算出A到BC所在直线的距离，将它与38海里比较即得问题的解.

在中，，，，

∴，

由正弦定理知：，∴

∴

于是A到BC所在直线的距离为(海里)

它大于38海里，所以继续向南航行无触礁危险.

类型四：解三角形与其他知识的交汇

例4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.

(1)求证:

(2)若,求△ABC的面积.

 【解析】(1)证明:由 及正弦定理得:

,

即

整理得:,所以,又

所以

(2) 由(1)及可得,又

所以,

所以三角形ABC的面积

【总结升华】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.

举一反三：

【变式1】在中,已知.

(1)求证:;

(2)若求A的值.

【答案】 (1)∵,∴,即.

由正弦定理,得,∴.

又∵,∴.∴即.

(2)∵ ,∴.∴.

∴,即.∴.

由 (1) ,得,解得.

∵,∴.∴.

【变式2】在中,已知.

(1)求证:;

(2)若求A的值.

【答案】 (1)∵,∴,即.

由正弦定理,得,∴.

又∵,∴.∴即.

(2)∵ ,∴.∴.

∴,即.∴.

由 (1) ,得,解得.

∵,∴.∴.