专题04 抛物线与阿基米德三角形（原卷版）-【高考总复习】2022高考数学满分突破之解析几何篇

专题04 抛物线与阿基米德三角形

【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明 如下结论：

抛物线与阿基米德三角形定理：

抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．

下面来逐一介绍阿基米德三角形的一些推论:

如图，已知是抛物线准线上任意一点，过作抛物线的切线

、分别交抛物线于、两点，为 中点，则：

1.若过焦点，则的端点的两条切线的交点在其准线上．

2.阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即． 

3.过抛物线的焦点

4.

5.阿基米德三角形面积的最小值为

【考点精选例题精析】：

例1．（1）（2021·全国高二课时练习）抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：

①点必在抛物线的准线上；②．

若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

（2）．（2020·云南师大附中高三月考（理））过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述：

①点必在抛物线的准线上；

②；

③设、，则的面积的最小值为；

④；

⑤平行于轴.

其中正确的个数是（    ）

A． B． C． D．

【变式训练1-1】．（2020·昆明市·云南师大附中高三（理））阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于P.给出如下结论，其中正确的为（    ）

（1）若弦过焦点，则为直角三角形且；

（2）点P的坐标是；

（3）的边所在的直线方程为；

（4）的边上的中线与y轴平行（或重合）.

A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）

【变式训练1-2】．（2019·福建厦门双十中学高二期中）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则的面积的最小值为

A． B． C． D．

【变式训练1-3】．（2021·浙江高三期末）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的．已知为抛物线上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为_______；弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为_________．

例2.(2020年模拟题精选)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的纵坐标为8，且。

（1）求抛物线的方程；

（2）若点是抛物线准线上的任意一点，过点作直线与抛物线相切于点，证明：．

【变式训练2-1】．已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，AB所在直线经过抛物线的焦点F，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.

证明：为定值.

例3．已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点．

（1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；

（2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上．

【变式训练3-1】．已知动点在轴上方，且到定点距离比到轴的距离大.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与曲线交于，两点，点，分别异于原点，在曲线的，两点处的切线分别为，，且与交于点，求证：在定直线上.

例4．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.

（1）判断点是否在直线上？说明理由；

（2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值.

【变式训练4-1】．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.

（1）判断点是否在直线上？说明理由；

（2）设点是△的外接圆的圆心，求点的轨迹方程.

【变式训练4-2】．抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于两点，为原点，的面积为2.

（1）求拋物线的方程.

（2）为直线上一个动点，过点作拋物线的切线，切点分别为，过点作的垂线，垂足为，是否存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点的坐标.

【达标检测】：

A卷  基础巩固

1．（2021·全国高三专题练习（文））数学家阿基米德建立了这样的理论：“任何由直线与抛物线所围成的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四.”如图，直线与抛物线交于､两点，､两点在轴上的射影分别为､，从长方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·全国高二课时练习）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为（    ）.

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．随位置变化前三种情况都有可能关系

3．（2020·全国（理））古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四.”如图，已知直线交抛物线于A，B两点，点A，B在y轴上的射影分别为D，C.从长方形ABCD中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·云南高三（理））抛物线上任意两点､处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且；③.若经过抛物线焦点的一条弦为，阿基米德三角形为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

5.(2014年辽宁卷)已知点在抛物线：的准线上，过点的直线与在第一象限相切于点，记的焦点为，则直线的斜率为   (      )

A.            B.            C.            D.

6. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=2px（p＞0），弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ为（　　）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．随Q位置变化前三种情况都有可能

7. 已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,－2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________.

8.已知点 P  3, 2在抛物线 C： y 2  2 px p  0的准线上，过点 P 的直线与抛物线 C 相切于 A，B 两点，则直线 AB 的斜率为（              ）

A．1 B．

C． D． 3

9．（2021·福建高三期中）被誉为“数学之神”之称的阿基米德最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之于二，这个结论就是著名的阿基米德定理，在平面直角坐标系中，已知直线：与抛物线：交于，两点，则弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为___________.

10．（2021·河南高二期中（理））被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287~前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二，这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，是焦点为的抛物线上的任意一点，且的最小值是．若直线与抛物线交于，两点，则弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为________．

11．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点．

（1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程；

（2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上．

12．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为.

（1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值；

（2）记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.

B卷 能力提升

13．（多选题）阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（    ）

A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上

B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为

C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值

D．一般情况下，阿基米德三角形的面积

14．（2021·苏州市第三中学校）（多选题）阿基米德（公元前287年—公元前212年是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他研究抛物线的求积法，得出一个著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”，如图所示，在抛物线上有两个不同的点A，B，坐标分别为，，以A，B为切点的切线PA，PB相交于点P，给出以下结论，其中正确的为（    ）

A．点P的坐标是

B．的边AB所在的直线方程为：

C．的面积为

D．的边AB上的中线平行（或重合）于y轴

15．（2018·上海交大附中高二月考）过抛物线的一条弦的中点作平行于抛物线对称轴的平行线（或与对称轴重合），交抛物线于一点，称以该点及弦的端点为顶点的三角形为这条弦的阿基米德三角形（简称阿氏三角形）.

现有抛物线:，直线：（其中，，是常数，且），直线交抛物线于，两点，设弦的阿氏三角形是.

（1）指出抛物线的焦点坐标和准线方程；

（2）求的面积（用，，表示）；

（3）称的阿氏为一阶的；、的阿氏、为二阶的；、、、的阿氏三角形为三阶的；……，由此进行下去，记所有的阶阿氏三角形的面积之和为，探索与之间的关系，并求.

16．已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；

（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

17．如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|–1.

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.

18．设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程.

（2）证明∠PFA=∠PFB．

19．如下图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．

（Ⅰ）设线段的中点为；

（ⅰ）求证：平行于轴；

（ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；

（Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．