专题04 抛物线与阿基米德三角形（解析版）-【高考总复习】2022高考数学满分突破之解析几何篇

这是一份高中数学人教版新课标A必修5本册综合同步达标检测题，共42页。

专题04 抛物线与阿基米德三角形
【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明 如下结论：
抛物线与阿基米德三角形定理：
抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．
下面来逐一介绍阿基米德三角形的一些推论:
如图，已知是抛物线准线上任意一点，过作抛物线的切线
、分别交抛物线于、两点，为 中点，则：
1.若过焦点，则的端点的两条切线的交点在其准线上．
2.阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即．
3.过抛物线的焦点
4.
5.阿基米德三角形面积的最小值为
【考点精选例题精析】：
例1．（1）（2021·全国高二课时练习）抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：
①点必在抛物线的准线上；②．
若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，得到点，进而得到直线的斜率，再由，得到直线的斜率即可.
【详解】
设抛物线的焦点为，
由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，
所以点必在抛物线的准线上，
所以点，
直线的斜率为．
又因为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
故选：A．
（2）．（2020·云南师大附中高三月考（理））过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述：
①点必在抛物线的准线上；
②；
③设、，则的面积的最小值为；
④；
⑤平行于轴.
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作出图形，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出点的坐标，可判断①的正误；利用直线、斜率的关系可判断②的正误；计算出的面积的表达式，可判断③的正误；利用直线、的斜率关系可判断④的正误；求出直线的斜率，可判断⑤的正误.综合可得出结论.
【详解】
先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为.
证明如下：
由于点在抛物线上，则，
联立，可得，即，，
所以，抛物线在其上一点处的切线方程为.
如下图所示：

设、，设直线的方程为，
联立，消去得，
由韦达定理可得，，
对于命题①，抛物线在点处的切线方程为，即，
同理可知，抛物线在点处的切线方程为，
联立，解得，所以点的横坐标为，
即点在抛物线的准线上，①正确；
对于命题②，直线的斜率为，直线的斜率为，，
所以，，②正确；
对于命题④，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时；
当不与轴垂直时，直线的斜率为，
直线的斜率为，，则.
综上，，④正确；
对于命题③，，
，
所以，，
当且仅当时，等号成立，③错误；
对于命题⑤，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时直线与轴重合，⑤错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，考查了抛物线的焦点弦的几何性质以及韦达定理法的应用，考查计算能力，属于中等题.
【变式训练1-1】．（2020·昆明市·云南师大附中高三（理））阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于P.给出如下结论，其中正确的为（ ）
（1）若弦过焦点，则为直角三角形且；
（2）点P的坐标是；
（3）的边所在的直线方程为；
（4）的边上的中线与y轴平行（或重合）.

A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）
【答案】D
【分析】
设，，，由导数的几何意义得切线斜率，
利用焦点弦性质得，正确；
写出切线方程，联立求出点坐标，得（2）错误；
用两点坐标表示出，写出直线方程，并化简可得（3）正确；
设为抛物线弦的中点，立即得（4）正确；
【详解】
由题意设，，，由，得，则，所以，，若弦过焦点，∴，∴，∴，故（1）正确；
以点为切点的切线方程为，以点为切点的切线方程为，联立消去得，将代入，得，所以，故（2）错误；
设为抛物线弦的中点，的横坐标为，因此则直线平行于轴，即平行于抛物线的对称轴，故（4）正确；设直线的斜率为，故直线的方程为，化简得，故（3）正确，
故选：D.．
【点睛】
本题考查直线与抛物线相交，考查导数的几何意义，焦点弦性质，考查学生的推理论证能力，属于中档题．
【变式训练1-2】．（2019·福建厦门双十中学高二期中）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则的面积的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数的知识，可得，即三角形为直角三角形，利用基本不等式，可得当直线垂直轴时，面积取得最小值.
【详解】
设，过A，B的切线交于Q，
直线的方程为：，
把直线的方程代入得：，
所以，则，
由导数的知识得：，
所以，
所以，所以，
因为，
当时，可得的最大值为，故选B.
【点睛】
本题是一道与数学文化有关的试题，如果能灵活运用阿基米德三角形的结论，即当直线过抛物线的焦点，则切线与切线互相垂直，能使运算量变得更小.
【变式训练1-3】．（2021·浙江高三期末）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的．已知为抛物线上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为_______；弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为_________．
【答案】
【分析】
由，求得，则，写出在A点处和B点处抛物线C的切线方程，求得交点，再求得阿基米德三角形面积，再根据弦与抛物线所围成的封闭图形的面积与阿基米德三角形面积的关系求解.
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以在A点处抛物线C的切线的斜率为-1，
切线方程为：，即，
同理在B点处抛物线CD 切线方程，
由，解得，
所以两切线的交点为，
所以阿基米德三角形面积，
所以弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为，
故答案为：-1，
例2.(2020年模拟题精选)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的纵坐标为8，且。
（1）求抛物线的方程；
（2）若点是抛物线准线上的任意一点，过点作直线与抛物线相切于点，证明：．
【解析】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为，又点的纵坐标为8，且，于是，∴，故抛物线的方程为。
（2） 设点，，，∵，∴，切线方程为，即，令，可解得，∴，又，∴，
∴。∴。
【考点点睛】当点在准线上时，过焦点，底边的中线平行于对称轴，且的最小值为。
证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）
设抛物线方程为：，设，由前面步骤可知：，即过焦点。
的中点为，而由上面步骤可知：，即底边的中线平行于对称轴。
==，当
时，其面积最小为。
【变式训练2-1】．已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，AB所在直线经过抛物线的焦点F，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
证明：为定值.
【解析】：由题意，设直线AB的方程为代入得
设则
又所以切线方程分别为，
从而
所以，故即所以为定值.
例3．已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点．
（1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；
（2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据抛物线的定义可求圆心到准线的距离为，从而可求抛物线的方程．
（2）设，利用导数求出两点处的切线方程，从而可求的交点的坐标，再联立直线和抛物线的方程可得，从而可得的交点的纵坐标为定值，故的交点在定直线上．
【详解】
（1）设中点为，到准线的距离为，到准线的距离为，
到准线的距离为，则且.
由抛物线的定义可知，，所以，
由梯形中位线可得，所以，可得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）证明：设，由，得，则，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
联立得，解得，
即直线的交点坐标为.
因为过焦点，
由题可知直线的斜率存在，故可设直线方程为，
代入抛物线中，得，
所以，故，所以的交点在定直线上．
【点睛】
关键点点睛：抛物线中过焦点的弦长问题要注意利用定义转化为到准线的距离问题，对于焦点在轴上的抛物线的切线问题，可以利用导数来求切线方程，从而简化运算．
【变式训练3-1】．已知动点在轴上方，且到定点距离比到轴的距离大.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，点，分别异于原点，在曲线的，两点处的切线分别为，，且与交于点，求证：在定直线上.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】
（1）设，由到定点距离比到轴的距离大，可得，化简可得点的轨迹的方程；
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为与联立，设，，可得，的值，又，所以，可得切线的方程，同理可得切线的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上.
【详解】
解：（1）设，
则有，化简得，
故轨迹的方程为.
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为与
联立得，
设，，
则，，
又，所以，
所以切线的方程为，
即，
同理切线的方程为
联立得，.
两式消去得，
当时，，，
所以交点的轨迹为直线，去掉点.
因而交点在定直线上.
【点睛】
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.
例4．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.
（1）判断点是否在直线上？说明理由；
（2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值.
【答案】（1）不在，证明见详解；（2）
【分析】
（1）假设直线方程，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算，可得，然后验证可得结果.
（2）分别计算线段中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点的轨迹方程，然后可得焦点，结合抛物线定义可得，计算可得结果.
【详解】
（1）设直线方程，
根据题意可知直线斜率一定存在，
则



则




由
所以
将代入上式
化简可得，所以
则直线方程为，
所以直线过定点，
所以可知点不在直线上.
（2）设
线段的中点为
线段的中点为
则直线的斜率为，
直线的斜率为
可知线段的中垂线的方程为
由，所以上式化简为
即线段的中垂线的方程为
同理可得：
线段的中垂线的方程为
则
由（1）可知：
所以
即，所以点轨迹方程为
焦点为，
所以
当三点共线时，有最大
所以
【点睛】
本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处，第（2）问中关键在于得到点的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.
【变式训练4-1】．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.
（1）判断点是否在直线上？说明理由；
（2）设点是△的外接圆的圆心，求点的轨迹方程.
【答案】（1）点在直线上，理由见解析（2）
【分析】
（1）由抛物线的方程可得顶点的坐标，设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积，再由题意可得直线恒过，即得在直线上；
（2）设，的坐标，可得直线，的斜率及线段，的中点坐标，进而求出线段，的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心的坐标，由（1）可得的横纵坐标关于参数的表达式，消参数可得的轨迹方程．
【详解】
(1) 点在直线上.理由如下，
由题意, 抛物线的顶点为
因为直线与抛物线有2个交点，
所以设直线AB的方程为

联立得到，
其中，


所以，



因为
所以



，
所以，
解得，
经检验，满足，
所以直线AB的方程为，恒过定点.
（2）因为点是的外接圆的圆心，所以点是三角形三条边的中垂线的交点，
设线段的中点为，线段的中点为为，
因为，设，，，
所以，，，，，，
所以线段的中垂线的方程为：，
因为在抛物线上，所以，
的中垂线的方程为：，即，
同理可得线段的中垂线的方程为：，
联立两个方程，解得，
由（1）可得，，
所以，，
即点，所以，
即点的轨迹方程为：．
【点睛】
本题考查求直线恒过定点的方程及直三角形外接圆的性质，和直线与椭圆的综合应用，属于难题．
【变式训练4-2】．抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于两点，为原点，的面积为2.
（1）求拋物线的方程.
（2）为直线上一个动点，过点作拋物线的切线，切点分别为，过点作的垂线，垂足为，是否存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点的坐标.
【答案】（1）；（2）存在这样的，当时，坐标为.
【分析】
（1）先根据抛物线的性质，结合题中条件，得到，由三角形面积列出方程求出，即可得出抛物线方程；
（2）先设，直线的方程为，根据直线与抛物线相切，得到，进而推出的方程为，根据，得到方程，由两直线方程，即可求出，确定出结果.
【详解】
（1）由题意得，点的纵坐标均为，由，解得，
则，
由，解得，
故抛物线的方程为.
（2）假设存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点，
设，直线的方程为，
将抛物线方程变形为，则，
所以，
所以的方程为.
因为，所以直线的方程为.
把代入的方程得.
同理可得
构造直线方程为，易知两点均在该直线上，
所以直线的方程为.
故恒过点.
因为，
所以可设方程为，化简得
所以恒过点.
当，即时，与均恒过，
故存在这样的，当时，坐标为.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题第二问的关键在于用分别表示出直线和的方程；根据题中条件，先设点的坐标，以及直线的方程，由直线与抛物线相切，得出直线方程，推出的方程，进而确定的方程，即可求解.
【达标检测】：
A卷 基础巩固
1．（2021·全国高三专题练习（文））数学家阿基米德建立了这样的理论：“任何由直线与抛物线所围成的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四.”如图，直线与抛物线交于､两点，､两点在轴上的射影分别为､，从长方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出，两点坐标，由阿基米德理论计算抛物线中弓形，从而得阴影部分面积，然后由几何概型概率公式计算概率．
【详解】
由题可知，，，
，
由阿基米德理论可知：弓形面积为，，
概率.
故选：B．
2．（2021·全国高二课时练习）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随位置变化前三种情况都有可能关系
【答案】B
【分析】
本题首先可根据题意绘出图像，然后设出直线，与抛物线方程联立得出，再然后设出过点的切线，与抛物线方程联立得出，用同样的方式设出过点的切线，得出，最后根据即可得出结果.
【详解】
如图，结合题意绘出 图像：

设，，则，，
设直线，
联立，整理得，则，，
设过点的切线为，
联立，整理得，
则，即，
设过点的切线为，同理可得，
则，即，，
故是直角三角形，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与抛物线的相关问题的求解，考查韦达定理和判别式的应用，考查学生对“阿基米德三角形”的理解，若两条直线的斜率乘积为，则这两条直线互相垂直，考查计算能力，是中档题.
3．（2020·全国（理））古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四.”如图，已知直线交抛物线于A，B两点，点A，B在y轴上的射影分别为D，C.从长方形ABCD中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出两点坐标，由阿基米德理论计算抛物线中弓形，从而得阴影部分面积，然后由几何概型概率公式计算概率．
【详解】
把代入抛物线方程得，即，，
，，
∴，
∴所求概率为．
故选：C.
【点睛】
本题考查几何概型，解题关键是求出阴影部分面积，读懂并能应用阿基米德理论是基础．
4．（2020·云南高三（理））抛物线上任意两点､处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且；③.若经过抛物线焦点的一条弦为，阿基米德三角形为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线焦点，可得：P点必在抛物线的准线上，可求出点P（−1，4），从而得到直线PF的斜率为−2，又，所以直线AB的斜率为，再利用点斜式即可求出直线AB的方程.
【详解】
解：由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为：x＝﹣1，由△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，可得：P点必在抛物线的准线上，
∴点P（﹣1，4），
∴直线PF的斜率为：＝﹣2，
又∵PF⊥AB，
∴直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为：y﹣0＝，即x﹣2y﹣1＝0，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题.
5.(2014年辽宁卷)已知点在抛物线：的准线上，过点的直线与在第一象限相切于点，记的焦点为，则直线的斜率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】D
【解析】：知抛物线为：，设，则切线方程为：，代入点A，得，选D。秒杀公式：阿基米德三角形：由，选D。
6. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=2px（p＞0），弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ为（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．随Q位置变化前三种情况都有可能
【答案】B
【解析】秒杀公式：阿基米德三角形
7. 已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,－2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________.
【答案】
8.已知点 P (- 3, 2)在抛物线 C： y 2 = 2 px (p > 0)的准线上，过点 P 的直线与抛物线 C 相切于 A，B 两点，则直线 AB 的斜率为（ ）
2
A．1 B．
3
C． D． 3
【答案】
【解析】P（﹣3，2）在抛物线 C： y 2 = 2 px (p > 0)的准线上，故 p=6，抛物线
C：y2=12x，根据秘籍中的性质（1）可知，AB 中点的纵坐标与 P 点纵坐标相等
即 y0 = 2 ，且 AB 过抛物线的焦点；设 AB 方程为 x = ky + 3 ，代入抛物线方程得：y -12ky - 36 = 0
故直线 AB 的斜率为 3



9．（2021·福建高三期中）被誉为“数学之神”之称的阿基米德最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之于二，这个结论就是著名的阿基米德定理，在平面直角坐标系中，已知直线：与抛物线：交于，两点，则弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为___________.
【答案】
【分析】
利用积分的几何意义，进行求积分即可得解.
【详解】
联立，得，.
所以弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为
.
故答案为：.
10．（2021·河南高二期中（理））被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287~前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二，这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，是焦点为的抛物线上的任意一点，且的最小值是．若直线与抛物线交于，两点，则弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为________．
【答案】
【分析】
由题意求得到抛物线，联立，解得，结合导数的几何意义，求得抛物线过点，点的切线方程，联立方程组，求得，进而得到所以围成的三角形面积为，结合题意，即可求得封闭图形的面积．
【详解】
由的最小值是，可得，解得，所以抛物线的方程是，
联立方程组，解得，
又由抛物线可化为，可得，
设抛物线在点的切线斜率分别为，，则，，
所以抛物线过点，点的切线方程分别是和，
联立方程组，解得，
所以抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为，
所以弦与抛物线所围成的封闭图形的面积．
故答案为：.
11．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点．
（1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程；
（2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上．
【答案】（1）x2＝2y（2）证明见解析
【分析】
（1）设直线的方程为，代入抛物线方程，消去，设，，，，运用韦达定理，以及中点坐标公式，可得，即可得到所求抛物线方程；
（2）求得的导数，可得抛物线在，处的切线的斜率，由点斜式方程和点，满足抛物线方程，可得在，处的切线方程，联立两切线方程，相加，结合中点坐标公式，即可得到所求点所在的定直线方程．
【详解】
解：（1）设直线的方程为，代入抛物线，
可得，
设，，则，
点为线段的中点，可得，即，
则抛物线的方程为；
（2）证明：设，，点为线段的中点，
可得，，
由的导数为，可得抛物线在处的切线斜率为，切线方程为，
由，可得，①
同理可得，②
①②可得，
即为，即．
可得交点在一条定直线上．
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
12．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为.
（1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值；
（2）记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.
【答案】(1)2;(2)有最小值4，此时.
【分析】
（1）先求出以点为切点的抛物线的切线方程，得出，利用面积求出点的纵坐标，然后求出．
（2）先分别写出直线PA，PB方程，利用都过点P写出直线，代入抛物线方程利用弦长公式求出，及点到直线的距离，写出表达式及最值．
【详解】
（1）设，，，则，抛物线方程写成，，则以点为切点的抛物线的切线的方程为：，又，即，，， ，故 ，∴，，从而.
（2）由（1）知，即：，同理，由直线，都过点，即，则点，的坐标都满足方程，
即直线的方程为：，又由直线过点，∴，
联立得，
，
点到直线的距离，

，
当且仅当时，有最小值4，此时.

B卷 能力提升
13．（多选题）阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（ ）
A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上
B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为
C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值
D．一般情况下，阿基米德三角形的面积
【答案】ABC
【分析】
设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.
A：把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；
B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；
C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；
D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可..
【详解】
由题意可知：直线一定存在斜率，
所以设直线的方程为：，
由题意可知：点，不妨设，
由，所以直线切线的方程分别为：
，
两方程联立得：，
解得：，所以点坐标为：，
直线的方程与抛物线方程联立得：
.
A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为 ，
因为过抛物线的焦点，所以，而，
显然点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；
B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，
即，
因为 ，所以化简得：，
此时， 点坐标为：，
因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，
所以，
因此正三角形的边长为，
所以正三角形的面积为，
故本选项说法正确；
C：阿基米德三角形为直角三角形，当时，
所以，
直线的方程为：
所以点坐标为：，点 到直线的距离为：
，

，
因为，所以 ，
因此直角的面积为：，
当且仅当时，取等号，显然其面积有最小值，故本说法正确；
D：因为，所以
，
点到直线的距离为：

所以阿基米德三角形的面积，
故本选项说法不正确.
故选：ABC
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.
14．（2021·苏州市第三中学校）（多选题）阿基米德（公元前287年—公元前212年是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他研究抛物线的求积法，得出一个著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”，如图所示，在抛物线上有两个不同的点A，B，坐标分别为，，以A，B为切点的切线PA，PB相交于点P，给出以下结论，其中正确的为（ ）

A．点P的坐标是
B．的边AB所在的直线方程为：
C．的面积为
D．的边AB上的中线平行（或重合）于y轴
【答案】ABD
【分析】
写出点处的切线方程，同理得点处的切线方程，联立解得坐标，进而可得AD正确，由坐标求出，再写出直线的方程，进而得B正确，写出点到直线的距离，由弦长公式得，进而得，然后可判断C错误．
【详解】
由，得，
由题意，点处的切线方程为，
点处的切线方程为，
联立两个方程并消去得，
代入点处的切线方程得，
所以点坐标为，，故AD正确，
设直线的斜率为，则，
故直线的方程为，
化简得，故B正确，
由得点到直线的距离，
，
故，故C错误．
故选：ABD
【点睛】
方法点睛：在解决焦点在轴上的抛物线的切线问题时，常利用导数的几何意义求解.
15．（2018·上海交大附中高二月考）过抛物线的一条弦的中点作平行于抛物线对称轴的平行线（或与对称轴重合），交抛物线于一点，称以该点及弦的端点为顶点的三角形为这条弦的阿基米德三角形（简称阿氏三角形）.
现有抛物线:，直线：（其中，，是常数，且），直线交抛物线于，两点，设弦的阿氏三角形是.

（1）指出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）求的面积（用，，表示）；
（3）称的阿氏为一阶的；、的阿氏、为二阶的；、、、的阿氏三角形为三阶的；……，由此进行下去，记所有的阶阿氏三角形的面积之和为，探索与之间的关系，并求.
【答案】（1）焦点坐标：，准线方程：；（2）；（3），
【分析】
（1）将抛物线方程化为标准方程后即可求得焦点坐标和准线方程；
（2）将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理可求得，根据可整理得到，代入整理可得结果；
（3）由（2）知，继续求解阿氏三角形面积可知，进而分析得到；可知为无穷等比数列，利用无穷等比数列前项和的极限的求法可求得结果.
【详解】
（1）由得：
抛物线焦点坐标为，准线方程为：
（2）将代入抛物线方程得：，则
设，
则中点，
又，


（3）设是抛物线上的任意一条弦，由（2）知

设弦、的阿氏三角形依次为，


上述讨论表明，阶中的每一个阿氏三角形都可以生成阶中的两个阿氏三角形，且后者的面积之和是前者面积的
阶中的个阿氏三角形面积之和与阶中的个阿氏三角形面积之和满足
是首先为，公比为的无穷等比数列

【点睛】
本题考查直线与抛物线综合应用中的新定义运算的问题，关键是能够明确新定义运算实际是直线与抛物线应用中的三角形面积的求解问题，只需结合韦达定理表示出所需的长度即可求得结果；本题结合了无穷等比数列极限的求解，难点在于能够分析得到所求数列的特征，证得所求数列为无穷等比数列.
16．已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；
（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【分析】
设的方程为
．（Ⅰ）由在线段上，又；（Ⅱ）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．
【详解】
由题设，设，则，且
．
记过两点的直线为，则的方程为
（Ⅰ）由于在线段上，故，
记的斜率为的斜率为，则，
所以
（Ⅱ）设与轴的交点为，
则，
由题设可得，所以（舍去），．
设满足条件的的中点为．
当与轴不垂直时，由可得．
而，所以．
当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为
【点睛】
本题考查了1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．
17．如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|–1.

（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.
【答案】（Ⅰ）p=2；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
试题解析：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=–1的距离，由抛物线的定义得，即p=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线的方程为，可设.
因为AF不垂直于y轴，可设直线AF: x=sy+1，，由消去x得，
故，所以，.
又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为.
从而得直线FN:，直线BN:.所以.
设M(m,0)，由A，M，N三点共线得，
于是.
所以m＜0或m＞2.
经检验，m＜0或m＞2满足题意.
综上，点M的横坐标的取值范围是.
【考点】抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.
【思路点睛】（Ⅰ）当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离；（Ⅱ）通过联立方程组可得点的坐标，进而可得点的坐标，再利用，，三点共线可得用含有的式子表示，进而可得的横坐标的取值范围.
18．设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB．
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
本试题主要考查了轨迹方程的求解和证明角的相等问题．
解：（1）设切点，坐标分别为和，
切线的方程为：；切线的方程为：；
由于既在又在上，所以解得，
所以的重心的坐标为，
，
所以，由点在直线上运动，从而得到重心的轨迹方程为：
，即．
（2）方法1：因为，，．
由于点在抛物线外，则．
，
同理有，
．
方法2：①当时，由于，不妨设，则，所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：；而直线的方程：，
即．所以P点到直线BF的距离为：所以，即得．
②当时，直线AF的方程：，即，
直线的方程：，即，
所以P点到直线AF的距离为：
，
同理可得到P点到直线BF的距离，因此由，可得到．
19．如下图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．

（Ⅰ）设线段的中点为；
（ⅰ）求证：平行于轴；
（ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）或；（Ⅱ）仅存在一点适合题意.
【分析】
（Ⅰ）（ⅰ）设出的坐标，利用导数求得切线的方程，结合是线段的中点进行化简，得到两点的横坐标相等，由此证得平行于轴.
（ⅱ）利用列方程，解方程求得，进而求得抛物线方程.
（Ⅱ）设出点坐标，由点坐标求得线段中点的坐标，由直线的方程和抛物线的方程，求得点的坐标，由此进行分类讨论求得点的坐标.
【详解】
（Ⅰ）（ⅰ）证明：由题意设，，，，．
由得，则，所以，．
因此直线的方程为，
直线的方程为．
所以，①．②
由①、②得，因此，即，也即.所以平行于轴．
（ⅱ）解：由（ⅰ）知，当时，将其代入①、②并整理得：
，，所以，是方程的两根，
因此，，又，
所以．
由弦长公式的．
又，所以或，
因此所求抛物线方程为或．
（Ⅱ）解：设，由题意得，
则的中点坐标为，
设直线的方程为，
由点在直线上，并注意到点也在直线上，
代入得．
若在抛物线上，则，
因此或．
即或．
（1）当时，则，此时，点适合题意．
（2）当，对于，此时，，
又，，所以，
即，矛盾．
对于，因为，此时直线平行于轴，
又，
所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，
所以时，不存在符合题意得点．
综上所述，仅存在一点适合题意．
【点睛】
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题.