三角函数综合_知识讲解_提高练习题

三角函数综合

【学习目标】

1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义.

3.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.

4.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解的物理意义.

5．掌握正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质并能灵活应用．

6．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状，理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：终边相同的角

1．终边相同的角

凡是与终边相同的角，都可以表示成的形式.

要点诠释：

(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；

(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；

(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.

特例：

终边在x轴上的角集合，

终边在y轴上的角集合，

终边在坐标轴上的角的集合.

在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小.

2．弧度和角度的换算

(1)角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度

(2)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.

要点诠释：

(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.

(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.

要点二：任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：

1.三角函数定义：

角终边上任意一点为，设则：

要点诠释：

三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,．

2.三角函数符号规律：

一全正，二正弦，三正切，四余弦(为正)；

要点诠释：

口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．

3.特殊角的三角函数值

4.同角三角函数的基本关系：

要点诠释：

(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；

(2)是的简写；

(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．

5.诱导公式(奇变偶不变，符号看象限):

sin()=sin，cos()=-cos，tan()=-tan

sin()=-sin，cos()=-cos，tan()=tan

sin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tan

sin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tan

sin()=sin，cos()=cos，tan()=tan，

sin()=cos，cos()=sin

sin()=cos，cos()=-sin

要点诠释：

(1)要化的角的形式为(为常整数)；

(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；

(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；

(4)；.

要点三：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

1.三角函数的图象与性质：

y=cosx的图象是由y=sinx的图象左移得到的.

2．三角函数的图象与性质：

要点四：函数的图象与性质

 1．“五点法”作简图

用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.

要点诠释：

用“五点法”作图的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为.

2．的性质

(1)三角函数的值域问题

三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题，常用方法有：化为代数函数的值域或化为关于的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域.

(2)三角函数的单调性

函数的单调区间的确定，基本思想是把看作一个整体，比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间；

要点诠释：

（1）注意复合函数的解题思想；

（2）比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在转化为属于同一单调区间上的两个同名函数值，再利用单调性比较.

3．确定的解析式的步骤

①首先确定振幅和周期，从而得到；

②确定值时，往往以寻找“五点法”中第一个零点作为突破口，要注意从图象的升降情况找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点.

要点五：正弦型函数的图象变换方法

先平移后伸缩

的图象

的图象

的图象

的图象的图象.

先伸缩后平移

的图象

的图象

的图象

的图象的图象.

【典型例题】

类型一：三角函数的概念

例1. 已知角的终边过点，求的三个三角函数值.

【思路点拨】分两种情况求的三个三角函数值．

【解析】因为过点，所以，.

当；

，.

当，；.

【总结升华】(1)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论；

(2)若角已经给定，不论点选在的终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角终边上点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角的三角函数值也是确定的.

举一反三：

【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.

【解析】由题设知，，所以，得，

从而，

解得或.

当时，， ；

当时，， ；

当时，， .

类型二：扇形的弧长与面积的计算

例2．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？

【答案】 

【解析】设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是

依题意，得

≈≈

【总结升华】弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：

类型三：同角三角函数的基本关系式

例3．已知，求的值.

【思路点拨】由题意知，所以A为钝角，然后求出即可求得．

【解析】

方法一：由，得

又

由 得

 方法二：由可得

即整理得

即

或，由已知知不合题意，舍去.

，两边平方得：，所以

【总结升华】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法．

举一反三：

【变式1】已知cosθ－sinθ= －， 求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．   

【答案】  

【解析】

，，

 ，

【变式2】证明：.

【证明】 [法1]——右到左，切化弦，由繁到简.

右左.

[法2](证与原式等价的式子)即证：.

左右.

类型四：三角函数的诱导公式

例4．已知sin(3π＋θ)＝，求的值．

【思路点拨】利用诱导公式，求出sin θ＝－．然后化简要求的式子，即可求得结果．

【答案】18

【解析】　∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，∴sin θ＝－，

∴原式＝

＝

＝＋＝

＝＝＝18.

【总结升华】 诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin与cos对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中的整数k来讲的，象限指中，将看作锐角时，所在象限，如将写成，因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，又看作第四象限角，为“+”，所以有.

举一反三：

【变式1】（2016 东湖区期末）已知，则的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

则．

故选B．

【变式2】化简(1)

(2)．

【解析】(1)当n=4k(k∈Z)时，

当n=4k+1(k∈Z)时，

当n=4k+2(k∈Z)时，

当n=4k+3(k∈Z)时，

(2)①当时，

原式．

②当时，

原式．

【总结升华】关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论．

类型五：三角函数的图象和性质

例5.（2015 山东临沂模拟）函数的图象大致是（    ）

【解析】∵函数，∴x+sin x≠0，x≠0，故函数的定义域为{x｜x≠0}．

再根据y=f（x）的解析式可得，

故函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除B、D．

当x∈（0，1）时，∵0＜sin x＜x＜1，∴，

∴函数，故排除C，只有A满足条件，

故选：A．

举一反三：

【高清课堂：三角函数的综合395043 例1】

【变式1】函数在内 （  ）

A．没有零点                  B．有且仅有一个零点

C．有且仅有两个零点          D．有无穷多个零点

【答案】B

例6．把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是（     ）

【思路点拨】首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．

【答案】A

【解析】将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，∴曲线y=cos（x+1）经过点和，且在区间上函数值小于0，由此可得，选项A正确，故选A．

举一反三：

【变式1】已知函数的最小正周期为，为了得到函数     的图象，只要将的图象（     ） 

     A． 向左平移个单位长度      B．向右平移个单位长度

     C．向左平移个单位长度       D．向右平移个单位长度

【思路点拨】对于不同三角函数图象之间的平移变换，一定要根据诱导公式将二者之间变换清楚．

【答案】A

【解析】

由题知又，所以所以

     =

     =

显然将的图象向左平移个单位长度便可得到的图象．故选A．

例7．已知函数其中，

   （I）若求的值；

（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数．

【思路点拨】（1）把所给的式子化简，然后结合平方关系式得出，由，

，求出的值．（Ⅱ）由题意求得，，故，进一步求出的解析式．

【答案】（I）（Ⅱ） 

【解析】

（I）由，得，得

    又．

（Ⅱ）由（I）得，

     依题意，

     又故

     函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为

     是偶函数当且仅当

      即

      从而，最小正实数

　【总结升华】本题考查了同角三角函数的基本关系式及函数的性质，属中等难度题．

举一反三：

【变式1】（2015 安徽枞阳县模拟）已知f（x）的定义域为[－π，π]，且f（x）为偶函数，且当x∈[0，π]时，．

    （1）求f（x）的解析式及f（x）的单调递增区间；

（2）若，求x的所有可能取值．

【答案】（1）和；（2）0，，

【解析】（1）当x∈[―π，0]时，―x∈[0，π]，

由于f（x）为偶函数，则f（－x）=f（x），

故，x∈（－π，0]

即．

画出f（x）的图象

由图象易得f（x）的单调增区间为和．

（2）方程等价于f（x）=0或，

当时f（x）=0；

当0或时

综上可知x的所有可能取值为0，，．