知识讲解_平面向量应用举例_提高练习题

平面向量应用举例

【学习目标】

1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力。

【要点梳理】

要点一：向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：

（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义。

（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）。

（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）。

（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式。

（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题。

要点诠释：

用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了。

要点二：向量在解析几何中的应用

在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决。

常见解析几何问题及应对方法：

（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质。

（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程。

（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件。

（4）夹角问题：利用公式。

要点三：向量在物理中的应用

（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象。

（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积。

（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论。

【典型例题】

类型一：向量在平面几何中的应用

例1．（2016 苏州月考）已知A（3，2）、B（―2，1），C（1，―1），且

（1）证明：△ABC是等腰直角三角形；

（2）求cos∠APC．

【思路点拨】（1）由题意得，由，能够证明△ABC是等腰直角三角形．

    （2）设点P（x，y），则．由，知x―3=4+2x且y―2=2y―2，由此能求出cos∠APC．

【答案】（1）略；（2）

【证明】（1）由题意得

因为，

所以CA⊥CB

所以△ABC是直角三角形

又∵，

∴，

∴△ABC是等腰直角三角形

（2）设点P（x，y），

则

∵，

∴x―3=4+2x且y―2=2y―2，

解得x=―7，y=0，

∴P（－7，0），

∴

∴，

，

∴．

【总结升华】本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要认真审题，注意平面向量数量积的坐标运算的灵活运用．

举一反三：

【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例3】

【变式1】平面内△ABC及一点O满足，，则点O是△ABC的（    ）

A．重心   B．垂心   C．内心   D．外心

【答案】D

【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例4】

【变式2】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________；的最大值为________.

 【答案】1  1

【解析】==1

=

             =

             =           （F是E点在上的投影）

    当F与C点重合时，上式取到等号。

例2．四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F。

求证：AF=AE。

     【思路点拨】建立直角坐标系，写出向量和，证明=。

【证明】如下图，以点C为坐标原点，以DC边所在直线为x轴，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（－1，1），B（0，1），若设E（x，y）（x＞0），则，。

因为BE∥AC，即，所以x+y―1=0。

又因为AC=CE，所以x2+y2―2=0。

由，得，即。

又设F（x＇，1），由和共线，

得，解得，

所以。

所以，。

所以。

所以AF=AE。

【总结升华】通过建立坐标系，将几何问题代数化，根据向量的相关运算，使问题得以解决。

举一反三：

类型二：向量在解析几何中的应用

例3．（2015秋 黑龙江泰来县月考）已知点P（―3，0），点Q在x轴上，点A在y轴上，且，．当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．

【思路点拨】设Q（a，0），A（0，b），M（x，y）是曲线上任意一点，由建立关系式得到．由等式解出a、b关于x、y的表达式，代入前一个式子化简即得动点M的轨迹方程．

【答案】

【解析】设Q（a，0），A（0，b），M（x，y）是曲线上任意一点，则

，，，

∴…①

∵，可得，∴…②

将②代入①，化简得．

所以动点M的轨迹方程为．

【总结升华】该题的难点是向量条件的转化与应用，解决此题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何的基本方法——坐标法，在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算。

举一反三：

【变式1】已知△ABC的三个顶点A（0，―4），B（4，0），C（―6，2），点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点。

（1）求直线DE、EF、FD的方程；

（2）求AB边上的高CH所在直线的方程。

【答案】（1）x―y+2=0  x+5y+8=0， x+y=0（2）x+y+4=0

【解析】 （1）由已知得点D（―1，1），E（―3，―1），F（2，―2），

设M（x，y）是直线DE上任意一点，

则。，。

∴(－2)×(x+1)―(―2)(y―1)=0，

即x―y+2=0为直线DE的方程。

同理可求，直线EF，FD的方程分别为

x+5y+8=0，x+y=0。

（2）设点N（x，y）是CH所在直线上任意一点，则。

∴。又，。

∴4(x+6)+4(y―2)=0，

即x+y+4=0为所求直线CH的方程。

【总结升华】（1）利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算。

（2）要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等。

类型三：向量在物理学中“功”的应用

例4．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m。问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？（g=10 m / s2）

【答案】   ―22

【解析】 设木块的位移为s，

则W=F·s=|F|·|s|cos30°=50×20×（J）。

F在竖直方向上的分力的大小为。

则（N）。

则f·s=|f|·|s|cos180°=1.1×20×(―1)=―22（J）。

即F与f所做的功分别是J与―22 J。

【总结升华】向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题。

举一反三：

【变式1】三个力F1=i+j，F2=4i―5j，F3作用于同一质点，使该质点从点A（20，15）平移到点B（7，0），其是i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，求该过程中，

（1）F1，F2分别对质点做的功；

（2）F1，F2的合力对质点做的功。

【答案】（1）―28，23；（2）―5

【解析】。

（1）F1做的功，

F2做的功。

（2）F=F1+F2=5i―4j，故合力F做的功W=F·s=（5，―4）·（―13，―15）=5×（―13）+（―4）×（―15）=―5。

类型四：向量在力学中的应用

例5．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G。两绳受到的拉力分别为F1、F2，夹角为。

（1）求其中一根绳子受的拉力|F1|与G的关系式，用数学观点分析F1的大小与夹角的关系；

（2）求F1的最小值；

（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求的取值范围。

【答案】（1）增大时，|F1|也增大（2）（3）[0°，120°]

【解析】（1）由力的平衡得F1+F2+G=0，设F1，F2的合力为F，

则F=―G，由F1+F2=F且|F1|=|F2|，|F|=|G|，解直角三角形得，

∴，∈[0°，180°]，由于函数y=cos在∈[0°，180°]上为减函数，∴逐渐增大时，逐渐减小，即逐渐增大，∴增大时，|F1|也增大。

（2）由上述可知，当=0°时，|F1|有最小值为。

（3）由题意，，

∴，即。

由于y=cos在[0°，180°]上为减函数，∴，

∴∈[0°，120°]为所求。

【总结升华】生活中“两人共提一桶水，夹角越大越费力”，“在单杠上做引体向上，两臂的夹角越小就越省力”等物理现象，通过数学推理与分析得到了诠释。

举一反三：

【变式1】（2015春 安徽亳州期末）如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则=________．

【答案】；（5，4）．

【解析】由题中图可得两个力的大小和方向，可得两个力的坐标为

，，

∴利用两向量的坐标加法运算，

，

从而得合力的坐标（5，4）以及大小．

故填：；（5，4）．

类型五：向量在速度中的应用

例6．某人骑摩托车以20 km / h的速度向东行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40 km / h时，感到风从东南方向吹来，求实际风向及风速的大小。

【答案】西南方向 

【解析】设a表示车的速度20 km / h，在无风时，此人感受到风速度为―a，实际风速为b时，此人所感受到的风速为b―a，如图，令，，实际风速为b。因为，所以，这就是当车的速度为20 km / h时，人感受到的由正南方向吹来的风速。因为，所以，这就是当车的速度为40 km / h时，人感到的风速，由题意得∠CBD=45°，CA⊥BD，BA=AD，所以△BCD为等腰三角形，CB=CD，∠CDA=45°，∠ACD=45°，所以CD=CB=DA=。所以km / h，b的方向是西南方向。

答：实际风向是西南方向，风速的大小为km / h。

【总结升华】本题主要考查向量在物理学中的应用。此类问题一般采用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则来解决，注意画图辅助思考。在本题中，人感到的风速在无风时与车速a互为相反向量，当实际风速为b时，此人感受到的风速是b―a，这一点要搞清，速度的合成与分解相当于向量的加法与减法。

举一反三：

【变式1】在风速为km / h的西风中，飞机以150 km / h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。

【答案】   北偏西60°

【解析】设风速为ω，飞机向西北方向飞行的速度为va，无风时飞机的速度为vb，则如图，vb=va－ω，设，，，过A点作AD∥BC，过C作CD⊥AD于D，过B作BE⊥AD于E，则∠BAD=45°，，。

所以，。

从而，∠CAD=30°。

所以没有风时飞机的航速为km / h，航向为北偏西60°。